Лекция 16

колебательного контура.
5.3. Вынужденные электрические колебания. Метод векторных диаграмм.
5.4. Резонансные явления

в колебательном контуре. Резонанс напряжений и резонанс токов.

цепи, содержащей индуктивность L и емкость C. Такая цепь называется

колебательным контуром. Возбудить колебания в таком контуре можно, например, предварительно зарядив конденсатор от внешнего источника напряжения, соединить его затем с катушкой индуктивности.




Поскольку внешнее напряжение к контуру не приложено, сумма падений напряжений на емкости и индуктивности должна быть равна нулю в любой момент времени:


откуда, учитывая, что сила тока , получаем дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний электрического заряда в колебательном контуре
.

,
то полученное уравнение принимает вид:

.
Решением этого уравнения, как известно, является функция

.
Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω0, называемой собственной частотой колебательного контура. Период колебаний определяется по формуле Томсона (Thomson W., 1824-1907):

Напряжение на конденсаторе:

,
где - амплитуда напряжения.
Сила тока в контуре:
.

значит энергия электрического поля, обращается в нуль, сила тока, а,

следовательно, энергия магнитного поля, достигает максимального значения. Таким образом, электрические колебания в контуре сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.




Амплитуды тока Im и напряжения Um связаны между собой очевидным соотношением:

.

обладает сопротивлением. Энергия электрических колебаний в таком контуре постепенно расходуется

на нагревание сопротивления, переходя в джоулево тепло, вследствие чего колебания затухают.






Уравнение свободных затухающих колебаний можно получить, исходя из того, что в отсутствии внешнего источника напряжения, сумма падений напряжений на индуктивности, емкости и сопротивлении равна нулю для любого момента времени:


или, поскольку ,
.
Введя обозначение
,
этому уравнению можно придать вид:

,
где .

, где

Мы видим, что частота свободных затухающих колебаний ω′ меньше собственной частоты ω0. Подставив значения ω0 и β, получим:


Амплитуда затухающих колебаний заряда конденсатора q0(t) уменьшается со временем по экспоненциальному закону. Коэффициент β называется коэффициентом затухания.

.
Легко видеть, что декремент колебаний обратен по величине числу колебаний Ne, совершаемых за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз: λ=1/Ne. Добротностью колебательного контура называется величина:

Из этой формулы видно, что добротность тем выше, чем меньше коэффициент затухания β. При малых затуханиях (λ<<1) можно приближенно считать, что

.
Амплитуда тока в контуре, как и заряд на конденсаторе, убывает со временем по закону e-βt. Энергия W, запасенная в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды тока (или квадрату напряжения на конденсаторе). Следовательно, W убывает со временем по закону e-2βt. Относительное уменьшение энергии за период колебания Т (при малом затухании) есть:

.
Таким образом, потери энергии в колебательном контуре тем меньше, чем выше его добротность.

контура, содержащего емкость, индуктивность и сопротивление, включить источник переменной ЭДС,

то в нем, наряду с собственными затухающими колебаниями, возникнут незатухающие вынужденные колебания. Частота этих колебаний совпадает с частотой изменения переменной ЭДС.





Чтобы получить уравнение вынужденных колебаний, надо, согласно второму правилу Кирхгофа, приравнять сумму падений напряжений на элементах контура приложенной ЭДС:

или

где Е0 - амплитуда переменной ЭДС; ω – ее циклическая частота.

где




Решение соответствующего однородного уравнения, как мы видели в п.5.2, представляет собой свободные затухающие колебания, которые с течением времени становятся исчезающе малыми, и их можно в дальнейшем не учитывать.
Выпишем формулы для силы тока в цепи и падений напряжений на каждом из элементов контура.
Сила тока: ,

.
По аналогии с законом Ома для полной цепи по постоянному току величину


называют полным сопротивлением цепи по переменному току. Эта величина представляет собой модуль комплексного сопротивления ,
называемого также импедансом цепи. Сопротивление R называют активным сопротивлением (на нем выделяется тепло). Чисто мнимые сопротивления ωL и называют соответственно индуктивным и емкостным реактивными сопротивлениями (на них тепло не выделяется).

, .

Напряжение на конденсаторе С:

, .

Напряжение на катушке индуктивности L:

, .

Сравнивая написанные формулы, видим, что изменение напряжения на сопротивлении следует за изменением силы тока в цепи без отставания или опережения по фазе, изменение напряжение на конденсаторе отстает по фазе на , а на индуктивности опережает по фазе на изменение тока. Наглядно это можно изобразить с помощью векторной диаграммы, вещественная ось которой (ось Х) совпадает с осью токов. Длина каждого вектора на этой диаграмме дает амплитуду соответствующего напряжения, а угол, который составляет данный вектор с осью токов – сдвиг фазы по отношению к изменению силы тока в цепи.

элементах контура, равная амплитуде Е0 действующей в контуре ЭДС, является

результатом векторного сложения символических напряжений и . Этот вектор образует с осью токов угол , показывающий разность фаз между током и ЭДС. Тангенс этого угла равен:

.

токов.
Как следует из приведенных формул, при частоте переменной ЭДС ω,

равной
,
амплитудное значение силы тока в колебательном контуре, принимает максимальное значение . При этом амплитуда напряжения на активном сопротивлении R также максимальна и равна UR0 =I0maxR =E0. Падения напряжения на емкости UC и индуктивности UL одинаковы по амплитуде, но противоположны по фазе, и они взаимно компенсируют друг друга. Это явление, имеющее место в последовательном колебательном контуре, называется резонансом напряжений. Векторная диаграмма, соответствующая этому случаю, показана на рисунке.

.
Резонансные кривые для UC0(ω) представлены на рисунке. Максимум получается тем выше и острее, чем меньше коэффициент затухания β, то есть чем меньше активное сопротивление R и больше индуктивность контура L.

контур, который называется параллельным RLC-контуром.

Е



В таком контуре при наблюдается другое резонансное явление, получившее название резонанса токов. При резонансе токов токи, текущие через емкость и индуктивность одинаковы по амплитуде, но противоположны по фазе. При этом общий ток в цепи ЭДС близок к нулю, хотя токи в самом контуре могут быть очень велики. Векторная диаграмма, соответствующая этому случаю, приведена на рисунке.

контура максимально и равно чисто активному сопротивлению R. Резонансная частота,

при которой Z(ω) максимально, определяется из условия равенства нулю реактивной части комплексного сопротивления :

ωL(1 – ω2LC) – ωCR2 = 0 ,
откуда

.
Резонансные кривые для амплитудных значений IC0(ω) тока, текущего через конденсатор, приведены на рисунке.
Резонансные явления в колебательных контурах широко используются в электро- и
радиотехнике (резонансные усилители, частотные фильтры
и другие). В частности, явление резонанса используется
для выделения из сложного сигнала нужной частотной
составляющей. Настроив контур (путем изменения его
параметров C и/или L) на одну из выбранных частот,
можно получить на конденсаторе напряжение, в Q раз
превышающее величину напряжения данной частотной
составляющей. Такой процесс осуществляется, например,
при настройке радиоприемника на нужную длину волны.