Лекция 20 ( 26.03.201 4 ) Литература: 1. Н. Ашкрофт и Н. Мермин, “Физика

тела”.
2. М. Кардона, “Основы физики полупроводников”.
3. Г.Л. Бир, Г.Е. Пикус,

1. Структура зон соединений со структурой цинковой обманки и алмаза (Г точка зоны Бриллюэна)

2. Динамические свойства электрона в периодическом потенциале. Теорема о скорости.

3. Электрон в кристалле во внешнем электрическом поле. Квазиклассическое рассмотрение

4. Chuang, S.L. (2009). Physics of photonic devices. 2nd edn. John Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey.

Это означает, что минимум зоны проводимости и максимум валентной зоны

Зона проводимости в точке Γ происходит из уровней s-типа, невырождена и сферична.

Забудем на время, что у электрона есть спин...

Без учета спина

отсутствие спина была бы 3-кратно вырождена, изоэнергетические поверхности гофрированы.
Естественно

Валентная p 1 1,0,-1

трижды вырождена

орбитальным движением электронов вокруг ядер.
шестикратно вырождена:
3-кратное вырождение отражает симметрию 3-кратно

2-кратное вырождение - спиновое.

Включим спины...

дважды вырождена по проекциям спина электрона

Забудем на время про спин-орбитальное взаимодействие...

быть сохраняющимися величинами. Сохраняется только полный момент и проекция полного

спин-орбитальное взаимодействие не снимает спиновое вырождение

вырождение частично снимается:

4-кратное вырождение

2-кратное вырождение

центра зоны Бриллюэна
(в приближении квадратичной дисперсии)
Зоны (прямозонного) кристалла

2-кратно вырожденная спин-обитально отщепленная зона, спиновое вырождение сохраняется при удалении от центра зоны Бриллюэна

4-кратное вырождение в центре зоны Бриллюэна частично снимается

2-кратно вырожденная зона тяжелых дырок

2-кратно вырожденная зона легких дырок

- спин-орбитальное расщепление

- энергия валентных зон в Г – точке в пренебрежении спин-орбитальным расщеплением

для двух верхних валентных зон в центре зоны Бриллюэна.
M.L.Cohen,J.Chelikowsky: Electronic

Структура электронных зон GaAs с учетом спин-орбитального взаимодействия

типа цинковой обманки)
германий (решетка типа алмаза)
M.L.Cohen,J.Chelikowsky

электрона описывается уравнением Шредингера со временем:
Решение - монохроматическая плоская волна:
оператор

скорость (скорость движения центра волнового пакета)
волновой пакет:
- набор плоских волн

(См. Блохинцев, Гл. 1, пар.7)

-мало

монохроматическая плоская блоховская волна:
Как эти выражения выглядят для электрона в

Для изотропного закона дисперсии вблизи экстремальной точки k0:

на блоховскую функцию:
(волновые функции нормированы)

Среднее значение производной гамильтониана по параметру равно производной от энергии по этому параметру

Перепишем уравнение Шредингера для блоховских амплитуд в виде

Тогда и по теореме Фейнмана

составленного из блоховских функций, определяется тем же выражением
(Доказательство - см.

Выражение для квантовомеханической скорости блоховского электрона совпадает с выражением для групповой скорости свободного электрона

В этих точках выполняется условие брэгговского отражения и образуется стоячая волна, не сопровождаемая переносом энергии.

действует внешняя сила F, например, электрической природы. Будем считать, что

Закон сохранения энергии для средних квантовомеханических значений величин:

т.е. работа силы F, приложенной к электрону, в 1 сек равна скорости изменения его энергии

электрона в кристалле
Ускорение - скорость изменения средней квантовомеханической скорости

главным осям, получаем:
- классическое уравнение движения с "анизотропной" массой

движущийся по периодически гофрированной поверхности без трения
В приближении скалярной эффективной

Уравнение движения имеет вид обычного уравнения классической механики

Эффективная масса, как и обычная масса, связывает между собой силу и ускорение.

об эффективной массе
1. Величина эффективной массы зависит от ширины запрещенной

Чем шире запрещенная зона, тем больше эффективная масса

Это правило выполняется для большинства полупроводников

например:

в приближении сильной связи для минимума разрешенной зоны простой квадратной

этом Блоховские амплитуды раскладываются вблизи

и продифференцируем экспоненты. Получим уравнение для Блоховских амплитуд:
где
Тогда вблизи

(см. Ландау и Лифшиц, том 3, глава VI)

и искомые
функции

Ответ:

где

матричный элемент оператора импульса на блоховских амплитудах, соответствующих точке Г

тензор диагонален и закон дисперсии (в квадратичном по к приближении

Видно, что отклонение эффективной массы от m0 определяется действием члена в гамильтониане, который “связывает” электронные состояния в разных зонах

двумя факторами:
Простейший случай – учитывается взаимное влияние только 2-х зон:

двух зон можно решить точно. Для этого раскладываем Блоховские амплитуды

- уравнение:

Имеем систему из двух линейных уравнений. Для ее решения приравниваем нулю детерминант

“+” соответствует зоне проводимости, а знак “–” - зоне валентной
Тензор

Для изотропного случая эффективная масса – скаляр:

Если разложить точное решение в k0 с точностью до k2, то получим тот же результат

0.24 эВ (InSb) до 6 эВ (AlN). Эффективная масса электрона

Вопрос – что же это за матричный элемент в “реальной” структуре типа цинковой обманки, где 6-кратное вырождение валентных зон частично снимается из-за спин-орбитального взаимодействия?

E. O. (1957). Band structure of indium antimonide. Phys. Chem.

4 решения – это дважды вырожденные зоны проводимости (c), тяжелых дырок (hh), легких дырок (lh) и спин-орбитально отщепленной (so) зоны

не взаимодействует ни с одной из 3-х других зон.
Примем энергию

где

- параметр Кейна

- параметр Кейна в единицах энергии.

обманки (S.L. Chuang, “Physics of Photonic devices”)
InAs

0K 0.42 1.424 1.519

300K 0.354 1.344 1.424

a0 (Å) 6.0584 5.8688 5.6533

22.2 20.7 25.7

0.38 0.11 0.34

0.4 0.6 0.5

0.026 0.12 0.087

0.023 0.077 0.067

0.0186 0.064 0.056

I. Vurgaftman et al., Band parameters for III-V compound semiconductors and their alloys,
J. Appl. Phys. 89, 5816 (2001) – критический разбор параметров всех полупроводников группы A3B5

в сферич. приближении

велика в узкозонных полупроводниках (с малой шириной запрещенной зоны) из-за

Но можно ограничиться разложением до степени k2 и получить аналитические выражения для дисперсии и эффективных масс:

зона проводимости

зона тяжелых дырок

зона легких дырок

спин-орбитально отщепленная зона

проводимости, но недостаточно для аккуратного описания дисперсии валентных зон.
Гамильтониан Латтинжера-Кона

Часто можно пренебречь взаимодействием зон тяжелых и легких дырок и спин-орбитально отщепленной зоны. Тогда дисперсия зон тяжелых и легких дырок находится аналитически

(приводятся в справочниках и обзорах)

вдоль направлений высокой симметрии [100], [110] и [111]. Для этих

Латтинжера-Кона (а такое бывает при описании спин-зависимых явлений), используют т.н.

(см. например Winkler, R. (2003). Spin-Orbit Coupling Effects in Two-Dimensional Electron and Hole Systems. Springer Tracts in Modern Physics, vol. 191. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg)

Латтинжера-Кона (а такое бывает при описании спин-зависимых явлений), используют т.н.

(см. например Winkler, R. (2003). Spin-Orbit Coupling Effects in Two-Dimensional Electron and Hole Systems. Springer Tracts in Modern Physics, vol. 191. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg)

В этой модели точно учитывается взаимодействие между 14-ю зонами:

- 6 валентных зон (Г7v и Г8v)

- 2 зоны проводимости (Г6с)

- еще 6 зон проводимости (Г7с и Г8с)

А все остальные “удаленные” зоны учитываются по теории возмущения Лёвдина.

Эта модель включает больше 10 параметров (часто плохо известных) и требует численной диагонализации матрицы 14х14

уравнение движения блоховского электрона?
4. Как величина эффективной массы зависит от

5. Как величина эффективной массы зависит от ширины запрещенной зоны?

6. Вид волновых функций в kp методе

7. Основные параметры kp метода для невырожденных состояний в пренебрежении спином

8. Взаимодействие каких зон необходимо учитывать в kp методе

9. Характерный диапазон значений эффективной массы электрона в зоне проводимости полупроводников типа цинковой обманки

10. Взаимодействие каких зон учитывается в 8-зонной моделе Кейна?

11. Параметры 8-зонной модели Кейна?

1. Структура валентной зоны GaAs в центре зоны Бриллюэна

в двухзонной kp модели?
13. Почему в 8-зонной модели Кейна для

14. Предпосылки и параметры модели Латтинжера-Кона

области физики)
1. Полупроводниковые наноструктуры (технология изготовления, свойства,..):
- квантовые точки
- квантовые

2. Графен (структура и электронные свойства)

3. Фуллерены и нанотрубки

4. Широкозонные полупроводники и их применения
- GaN
- ZnO
- Алмаз
- ZnSe

5. Аморфные твердые тела, стекла, жидкие кристаллы

6. Сильно-легированные полупроводники. Идеи теории протекания.

резонанс
- эффект де Гааза - ван Альфена
- эффект Шубникова де

13. Электрооптические явления в полупроводниках и наноструктурах (эффект Франка-Келдыша, квантоворазмерный эффект Штарка)

8. Фотонные кристаллы

10. Плазмонные эффекты в металлах и полупроводниках
- плазмонное усиление света
- оптика металлических наноструктур

7. Лево-сторонние среды. Супер-линза Веселаго

9. Микрорезонаторы. Поляритонный лазер. Бозе-Эйнштейновская конденсация экситон-поляритонов

11. Спинтроника
- ферромагнитные полупроводники
- спиновая инжекция
- спиновый транзистор

формате Word или pdf на 1 стр. A4 шрифтом 11

Не позднее чем за 2 недели до проведения (чтобы все могли ознакомиться) необходимо представить 1-страничные тезисы доклада

Семинар проводится с использованием компьютера и проектора. Время доклада с обсуждением ~25-40 мин.