Лекция 3

и пусть А и В – произвольные события. Если

то условной вероятностью события А при условии, что В произошло, называется отношение: , где –

произведение (пересечение) событий.
Последнюю формулу можно привести к виду:


В этой форме она называется формулой умножения вероятностей

того, что «герб» выпадет ровно один раз, то есть произойдёт

одно из событий: (грр); (ргр); (ррг) в классической схеме равна 3/8, так как общее число исходов эксперимента равно 8: (грр); (ггр); (ггг); (ргр); (ррг); (ргг); (грг); (ррр).
Событие А={ «герб» выпадет ровно один раз } Об исходе эксперимента дополнительно известно, что произошло событие В={число выпавших гербов нечётно}. Какова вероятность свершения события А при условии, что В произошло?
Событие В состоит из четырёх элементарных исходов: (грр); (ггг); (ргр); (ррг). Событие же состоит из трёх исходов: (грр); (ргр); (ррг). Согласно формуле условной вероятности получим, что

из исходов; событие В – из исходов, а событие

состоит из исходов. Вероятность событий А при условии, что произошло событие В, по аналогии с предыдущим примером, естественно определить следующим образом:

, т.к. , где

.
Свойства независимых событий:
Если , то для независимых событий

А и В верно равенство: и аналогично ( ). Верно и обратное: Если , , то события А и В – независимы.
Это следует из определения независимых событий: .

Аналогично для второй части утверждения. Доказательство обратного утверждения очевидно.

и (аналогично и )

также независимы.
Рассмотрим (Рис.5,6)

так как






Рис. 5 Рис. 6

герба в первом из двух бросаний монеты}, событие В={выпадение решки

во втором бросании}. При каждом бросании монеты вероятность выпадения "орла" (либо "решки") равна . Найдём .
Событие А состоит из следующих исходов эксперимента:
{г; р} {г; г} , множество элементарных исходов: {г; р};
{г; г}; {р; г}; {р; р}, откуда . Исходы, составляющие событие В: {г; р} {р; р}, откуда . Событие состоит из одного исхода: {г; р}, тогда .

Таким образом, имеем:

то есть события А и В являются независимыми.

стороной, равной 1. Рассмотрим следующие события: А={случайно брошенная точка попала

в область }, В={случайно брошенная точка попала в область }. Событие – это событие, отмеченное на рис. 7 тёмным цветом.
; ;
; ;


Рис.7 т.е. события А и В – независимые.

и . Тогда

верно утверждение:
Теорема Для любого события B:
Поскольку события образуют полную группу .

Так как , то

Ввиду попарной несовместности событий события , также попарно несовместны, тогда (здесь пользуемся формулой умножения вероятностей). Таким образом имеем:

два ящика. Причём в ящиках первого стола имеются только золотые

монеты, в одном ящике второго стола–золотые, в другом–серебряные, а в ящиках третьего стола–только серебряные монеты. Наугад выбирается стол, ящик и достаётся монета. Какова вероятность того, что она золотая?
Пусть событие {выбор стола с номером “ i ”}, i=1,2,3, событие В={вынута золотая монета}. Из условий ясно, что , . ; ; . Тогда по формуле полной вероятности, имеем:

в среднем 0,2 % брака; второй–0,1 %. Найти вероятность того,

что на сборку поступила бракованная деталь, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго 3000.
Пусть событие Ai={на сборку поступила деталь с i–го автомата}, В={деталь, поступившая на сборку – бракованная}. Тогда, учитывая, что и , имеем по формуле полной вероятности: , где вероятности

и . Тогда для любого события ,

такого, что , верно равенство:


которое называется формулой Байеса.
Действительно, пользуясь формулой умножения вероятностей и формулой полной вероятности, получаем:

золотую монету. Какова вероятность того, что был выбран первый стол?

То есть, необходимо найти условную вероятность .
Согласно формуле Байеса, имеем:

эксперимента имеются предположений (гипотез) относительно характера эксперимента, характеризующих событиями

При этих предположениях проводится эксперимент.
В результате эксперимента произошло событие В. Считаем, что до эксперимента известны вероятности: , , ... , (или их легко подсчитать). Эти вероятности называются априорными вероятностями гипотез. Известны также вероятности появления события В, при условиях реализации той или иной из гипотез : , ,…,
Нас интересуют вероятности после эксперимента: , , ... , , которые называются апостериорными вероятностями гипотез. Эти вероятности вычисляются по формулам Байеса.

второго завода в раз превосходит объём продукции первого. Доля брака

первого завода составляет величину , второго . Изделия, выпущенные за одинаковый промежуток времени пустили в продажу. Какова вероятность того, что вы приобрели изделие со второго завода, если оно оказалось испорченным?
Пусть события: А1 ={приобретено изделие с первого завода}, А2 ={приобретено изделие с второго завода}. Легко видеть, что , ; здесь за единицу принят объём,
выпущенный на первом заводе за
некоторый промежуток времени

один и тот же промежуток времени. Полученные вероятности появления событий

являются так называемыми априорными вероятностями. Пусть далее событие В={приобретено бракованное изделие}. Нам дано: , . Тогда имеем по формуле Байеса:


Эти вероятности являются апостериорными вероятностями событий А1 и А2 после того, как произошло событие В.