Лекция 6. Проводники с током в магнитном поле. Теорема Гаусса для магнитного

для магнитного поля

магнитном поле. Механический вращающий момент.
Работа по перемещению проводника с током

в магнитном поле. Поток вектора магнитной индукции.
Теорема Гаусса для магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах.

скоростью и заряд q, испытывает действие магнитной силы Лоренца. Действие

этой силы передается всему проводнику с током. В результате магнитное поле действует с определенной силой на сам проводник. Определим эту силу.
Пусть  - объемная плотность заряда носителей тока; выделим мысленно элемент объема dV проводника, причем можно представить dV=dS∙dl, а заряд в этом элементе dq = ∙dV. Тогда сила, действующая на этот элемент dF = ∙(u x B)∙dV, где и – скорость упорядоченного движения носителей. Так как вектор плотности тока можно представить как j = ∙u, то для элементарной силы Ампера можно записать:
dFA = (j x B)∙dV (1)

проводнику с постоянным малым сечением ΔS, то объемный токовый элемент

(j∙dV) можно заменить линейным токовым элементом (I∙dl), т.е. j∙dV = I∙dl и тогда формула (1) принимает вид:
dFA =I∙(dl x B) (2)
где dl – элементарный вектор проводника с током.
Формулы (1) и (2) выражают так называемый закон Ампера и определяют силы Ампера. Ампер экспериментально установил соотношение в форме (2).
Интегрируя (1) или (2) по соответствующим элементам тока, можно определить результирующую силу (она также называется амперовой силой), действующую на тот или иной объем проводника ΔV или его линейный участок Δl, т. е. или

взаимодействия параллельных токов (см рис.). Согласно третьему закону Ньютона F12

ед = - F21 ед, где F12 ед =
= I1∙B2 = I1.

поле. Механический вращающий момент
Рассмотрим поведение замкнутого тонкого контура

с током I в однородном магнитном поле В, например в поле постоянного магнита. В этом случае (В = const) при I = const результирующая сила, действующая на контур,
А из механики известно, что если результирующая всех сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил не зависит от точки О, относительно которой определяют отдельные моменты этих сил. Поэтому здесь можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил:
где dF определяется по формуле (2).

поле. Механический вращающий момент
Магнитное поле оказывает ориентирующее воздейст-вие

на контур с током за счет вращающего момента М (т.е. разворачивает контур по направлению магнитного поля). На рисунке ниже действуют пары сил, прило-женных к соответствующим участкам контура: F1 = - F3 и F2 = - F4, модули которых равны F2 = F4 = I∙a∙B; F1 = F3 = I∙b∙B∙sin (π/2 +α) = I∙b∙B∙cosα . Причем силы F1 и F3 – осевые, они деформируют (растягивают) контур.

Результирующий (вращающий) момент равен моменту пары сил F2 и F4:
M = F2∙l = I∙a∙B∙b∙sinα = I∙S∙B∙sinα (5)
где l = b∙sinα – плечо пары сил, S = a∙b – площадь контура (рамки).

поле. Механический вращающий момент
Поведение элементарного контура с током

удобно описывать с помощью магнитного момента рm, который определяется как:
pm = I∙S∙n (6)
где I – ток в контуре, S – площадь контура, n – положительная нормаль-орт к контуру (ее направление связано с направлением тока в контуре правилом правого винта).

В связи с определением (6) выражение для вращающего момента (5) можно записать через магнитный момент M = pm∙B∙sinα, а в векторном виде:

Замечания: В случае рm↑↑В момент М = 0 и положение контура – устойчиво. В случае рm↑↓В момент также М = 0, но положение контура уже не устойчиво. Когда рm  В вращающий момент принимает свое максимальное значение Мmax = рm∙В = I∙S∙B .

поле. Механический вращающий момент
В случае неоднородного магнитного поля

на контур с током действует сила:
где - производная вектора индукции В по направлению нормали п.

Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление х, то здесь следует записать
Сила (8) является нескомпенси-рованной амперовой силой для данного контура с током (т.е. здесь
она направлена по производной (в сторону увеличения индукции В).

вектора магнитной индукции
Рассмотрим контур с током I

и подвижной перемычкой длиной l, который находится в однородном магнитном поле В, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка.

dx

I

l

FA

dS

В этом случае на перемычку будет действовать амперова сила FA = I∙l∙B. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает элементарную положи-тельную работу:
δA =F∙dx = I∙l∙B∙dx = I∙B∙dS = I∙Bn∙dS, где dS – приращение площади, ограниченной замкну-тым контуром.

вектора магнитной индукции
В общем случае – при

произвольном бесконечно малом перемещении dr элемента dl проводника с током в стационарном неоднородном магнитном поле элемен-тарная работа δ'А сил ампера также будет определяться произведением I∙Bn∙dS, где Вп – проекция вектора магнитной индукции на положительную нормаль к контуру (т. е. к плоскости, в которой осуществляется перемещение токового элемента dl). Другие составля-ющие поля: Вl, Br работы не совершают.

Определение: Алгебраическую величину d'ФВ = В·dS = B·(n·dS) = Bn·dS – называют элементарным магнитным потоком через площадку dS, обусловленную перемещением токового элемента dl, т. е. dS = (dr x dl) = n·dS.

I

dFA

n

dr

dl

B

dS

вектора магнитной индукции
Таким образом, в данном случае

элементарную работу δ'А можно определить как δ'А = dFA∙dr = I∙(dl x B)∙dr = I∙B∙(dr x dl) = I∙B∙dS = I∙d'ФВ. Причем для элемента dl магнитное поле в данной точке пространства принимается однородным. Сложив все δ'А от всех элементов dl проводника получаем работу сил Ампера при произвольном бесконечно малом перемещении dr всего проводника с постоянным током I
δА =

где dФВ – полное элементарное прира-щение магнитного потока через пло-щадку, обусловленную элементарным перемещением dr всего проводника.

I

dFA

n

dr

dl

B

dS

1

2

Работа амперовых сил при полном переме-щении контура с током из положения 1 в поло-жение 2 определяется интегрированием (9)

где ФВ1 и ФВ2 – полные магнитные потоки через контур в его начальном и конечном положениях, ΔФ12 – полное приращение магнитного потока при переходе из положения 1 в положение 2.

dFA

dl

I

B

dS

dr

2

1

форма
Поток вектора индукции магнитного поля сквозь любую

замкнутую поверхность равен нулю:
Эта теорема является фундаментальным законом для магнитного поля (она выполняется для любых магнитных полей) и выражает собой в постулативной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца – они замкнуты сами на себе (где-то, вообще говоря, на бесконечности).

Иначе можно трактовать теорему Гаусса для В, как отсутствие в природе «магнитных зарядов» (т.е. зарядов, имеющих значение как электрические заряды).

Число линий В, входящих в объем V, ограниченный

замкнутой поверхностью S, равно числу линий В, выходящих из этого объема. Следствием из этого является того, что магнитный поток не зависит от формы поверхности и определяется только ее размером S. Иначе говоря, магнитный поток не зависит от формы поверхности, «натянутой» на контур Г.

форма
Используя теорему Остроградского-Гаусса (для перехода от интеграла по

поверхности к интегралу по
объему) и с учетом (11), приходим к дифференциальной форме теоремы Гаусса для В:
Дивергенция вектора индукции магнитного поля всюду равна нулю, т.е. магнитное поле не имеет источников (в форме «сосредоточенных зарядов») и является вихревым (или соленоидальным) полем.
Замечание: Для магнитного поля существует ротор (вектор) В: который направлен по вектору плотности тока j.