Слайд 1ЛЕКЦИЯ №6
ТЕМА ЛЕКЦИИ:
«КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА»
Слайд 2Кривые второго порядка
Общее уравнение кривой второго порядка
Эллипс
Гипербола
Парабола
Слайд 3Общее уравнение кривой второго порядка
К кривым второго порядка относятся: эллипс,
частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола.
Они задаются уравнением
второй степени относительно x и y:
Общее уравнение кривой второго порядка
В некоторых частных случаях это уравнение может определять также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.
Слайд 4Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из
которых до двух точек той же плоскости F1 и F2,
называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, а середину отрезка F1F2 – центром эллипса.
F1
F2
-c
c
M(x; y)
r1
r2
Зададим систему координат и начало координат выберем в середине отрезка [F1 F2]
Слайд 5Эллипс
Каноническое уравнение эллипса
Слайд 6Эллипс
где a > 0 , b >
0, a > b > 0 — большая и малая
полуоси эллипса, то фокусы эллипса расположены симметрично на оси абсцисс и имеют координаты (−c, 0) и ( c, 0), где
Величина e = c/a называется эксцентриситетом эллипса
Слайд 7Эллипс
Отношение b/a характеризует "сплюснутость" эллипса. Чем меньше это отношение,
тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости
эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.
Слайд 8Эллипс
По определению эллипса r1 + r2 = 2a,
r1 и r2 − фокальные радиусы, их длины вычисляются по
формулам
Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс является окружностью.
Слайд 9Эллипс
Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением
, эллипсом.
Слайд 11Эллипс
Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если
расстояние между фокусами равно 8 и большая ось равна 10.
Решение. Если большая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5, если расстояние между фокусами равно 8, то число c равно 4.
Слайд 12Решение
Подставляем и вычисляем:
Получаем искомое каноническое уравнение эллипса:
Слайд 13Эллипс
Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если его большая
ось равна 26 и эксцентриситет
Решение.
Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, большая полуось эллипса a = 13. Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:
Слайд 15Эллипс
Пример 4. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .
Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:
Получаем фокусы эллипса:
Слайд 16Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из
которых до двух точек той же плоскости F1 и F2,
называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, а середину отрезка F1F2 – центром гиперболы.
F1
F2
-c
c
M(x; y)
r1
r2
Слайд 17Гипербола
Каноническое уравнение гиперболы
Слайд 18Гипербола
где a > 0, b > 0 — параметры
гиперболы.
Система координат, в которой гипербола описывается каноническим уравнением,
называется канонической.
В канонической системе оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии.
Точки пересечения гиперболы с осью OX ( ± a, 0) называются вершинами гиперболы.
Слайд 19Гипербола
С осью OY гипербола не пересекается.
Отрезки a и
b называются полуосями гиперболы.
Слайд 20Гипербола
Прямые ay − bx = 0 и ay +
bx = 0 — асимптоты гиперболы, при удалении точки гиперболы
в бесконечность, соответствующая ветвь гиперболы приближается к одной из асимптот.
Уравнение описывает гиперболу, вершины которой лежат на оси OY в точках (0, ± b).
Слайд 21Гипербола
Такая гипербола называется сопряженной . Говорят о
паре сопряжённых гипербол.
Слайд 22Гипербола
Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная
полуось a = 5 и мнимая = 3.
Решение. Подставляем значения полуосей
в формулу канонического уравнения гиперболы и получаем:
Слайд 23Гипербола
Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т.
е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0).
Точки и , где
называются фокусами гиперболы .
Число
называется эксцентриситетом гиперболы.
Слайд 24Гипербола
Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между
фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.
Решение.
Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4,
Если расстояние между фокусами равно 10, то число c равно 5. Для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.
Слайд 26Гипербола
Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная
ось равна 48 и эксцентриситет .
Решение. Действительная полуось a = 24. А эксцентриситет - это пропорция и так как a = 24, то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26. Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:
Слайд 28Гипербола
Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот - прямых,
к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра. Асимптоты
гиперболы определяются уравнениями
Прямые, определяемые уравнениями
называются директрисами гиперболы
Слайд 30Парабола
Параболой называется множество всех точек плоскости, таких, каждая
из которых находится на одинаковом расстоянии от точки, называемой фокусом,
и от прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Каноническое уравнение параболы имеет вид:
, где число p, называемое параметром параболы, есть расстояние от фокуса до директрисы.
Слайд 31Парабола
Фокус параболы имеет координаты
Директриса параболы определяется
уравнением
Расстояние r
от любой точки параболы до фокуса определяется формулой .
Для каждой из точек параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.
Слайд 33Парабола
Пример 1. Определить координаты фокуса параболы
Решение. Число p расстояние от фокуса параболы до её директрисы.
Находим p:
Слайд 34Преобразование общего уравнения к каноническому виду
Общее уравнение кривой называется пяти-членным,
если 2Bxy=0:
Приведение пяти-членного уравнения к каноническому виду рассмотрим на примере:
