Линейные преобразования, линейный оператор

линейный оператор

Пусть u и v - векторы из U пусть c

- скаляр.
Говорят, что преобразование : U → V является линейным, если
(u + v) = (u) + (v) и
(cu) = c (u).

Определение 1.1
Пусть U и V - векторные пространства.
Преобразование : U → V есть отображение, которое каждому вектору u из U ставит в соответствие уникальный вектор v из V.

векторного пространства в себя называется линейным оператором.

y) = (x − y, 3x)
“×”: Пусть c - скаляр.

(c(x1, y1)) = (cx1, c y1) = (cx1 − cx2, 3cx1)
= c (x1 − y1, 3x1) = c (x1, y1)
– линейное преобразование.

является линейным.
(x, y, z) = (xy, z)
не является

линейным преобразованием.

И (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1y1, z1) + (x2y2, z2)

Поэтому ((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)) ≠ (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2).

n. Показать, что следующее преобразование : P2 →

P1 является линейным.
(ax2 + bx + c) = (a + b)x + c

Решение

“×”: Пусть k – произвольный скаляр.

есть то же самое, что и .)

D можно интерпретировать как отображение Pn в себя.
Например,

Пусть а c - скаляр. Следующие свойства производной показывают, что D есть линейный оператор.
D(f + g) = Df + Dg
D(cf) = cD(f)

вектор из V.
(0)= (0v)

= 0 (v) = 0
(2) (-v) = ((-1)v) = (-1) (v)= - (v)
(3) (u-v)= (u + (-1)v) = (u) + (-1) (v) = (u) - (v)

Доказательство.

v есть элемент пространства Fn, интерпретируемый как столбец. Преобразование

: Fn→Fm, определенное как (v)=Av, является линейным. Такое линейное преобразование называется матричным преобразованием.

(линейность)

A : m×n матрица, v : n×1 матрица, Av : m×1 матрица ⇒ (x)=Ax определяет преобразование из Fn в Fm.

Пусть u, v ∈ Fn, и c ∈ F.

(u+v)=A(u+v) = Au+Av = (u) + (v )

(cv)=A(cv) = cAv = c (v)

⇒ – линейное преобразование.

и

столбец из R3.

Эта матрица задает линейное преобразование (x)=Ax из R3 в R2, использующее матричное умножение.

Например,

и

-

матричный линейный оператор, заданный матрицей

(в полярных координатах)

r： длина v
α：угол, отсчитываемый от положительного направления оси 0x до вектора v против часовой стрелки

положительного направления оси 0x до вектора (v) против

часовой стрелки.

Следовательно, (v) есть вектор, полученный поворотом вектора v против часовой стрелки на угол θ.

U→V и произвольный базис {b1 , b2 , …, bn

} пространства U, тогда образ (v) произвольного вектора v из U можно вычислить из образов (b1), (b2), …, (bn)
базисных векторов. Это можно сделать, выражая v как линейную комбинацию базисных векторов
v = c1 b1+ c2 b2+ …+ cn bn
и затем используя Теорему 1.7:
(v) = c1 (b1) + c2 (b2) + … + cn (bn)
Другими словами, линейное преобразование полностью определяется образами векторов из любого из базисов исходного векторного пространства.

произвольный базис В={b1 , b2 , …, bn } пространства

V, тогда образ (v) произвольного вектора v = c1 b1+ c2 b2+ …+ cn bn из V равняется (v) = c1 (b1) + c2 (b2) + … + cn (bn)
С другой стороны, векторы (b1), (b2), …, (bn)являются векторами пространства V, поэтому
(b1) = t11 b1 + t21 b2 + … + tn1 bn
(b2) = t12 b1 + t22 b2 + … + tn2 bn
…………………………………………………………………………..
(bn) = t1n b1 + t2n b2 + … + tnn bn

В.

и G = векторного пространства V и Р – матрица перехода от базиса В к базису G:

Пусть Т – матрица линейного оператора в базисе В:
,
а S– матрица линейного оператора в базисе В:

Найдем связь между матрицами одного и того же оператора в различных базах.

.

Определение 4.1.

Две квадратные матрицы S и T одного размера называются подобными, если найдется невырожденная матрица Р, такая что



Теорема 4.2. Матрицы линейного оператора в различных базах подобны.

тогда


Доказательство.