Слайд 1ОМОИ
Логические основы модели Раша
План лекции
1. Модель Раша – ключевой аспект
теории измерения латентных переменных
2. История построения модели
3. Формальные предпосылки построения
модели
4. Логические основы построения модели
Слайд 2ОМОИ
Латентная переменная
это конструкт (теоретический), который представляет интерес для исследователя
Слайд 3ОМОИ
Расположение индивидов и тестовых заданий на линейном континууме
Слайд 4ОМОИ
Нелинейность тестового балла
Слайд 5ОМОИ
Вместо обоснования модели …
«логистическая модель используется наиболее широко, так
как она специально предназначена для тестов» [Дружинин В.К., с. 193];
«…
у G. Rasch возникла идея выразить вероятность правильного ответа на задание посредством так называемой логистической функции» [Аванесов В.С., с. 182];
«Простейшая модель вероятности успеха … предложена датским математиком Рашем» [Нейман Ю.М., Хлебников В.А., с. 12] и др.
«G. Rasch удалось предложить удачную форму связи между параметрами» [Челышкова М.Б. (2001), с. 61] и др.
Слайд 6ОМОИ
Первое применение модели Раша - измерение прогресса школьников в чтении
Ключевые
требования:
- при каждом тестировании должны использоваться различные тексты (тесты);
- тексты
должны соответствовать уровню подготовленности испытуемого – они должны быть ни слишком трудными, ни слишком легкими;
- оценки подготовленности должны измеряться на одной и той же шкале.
В качестве статистики выбрано число ошибок при чтении.
Слайд 7ОМОИ
Схема назначения текстов в тесте
(по возрастающей трудности)
Слайд 8ОМОИ
Ожидаемые результаты при назначении тестов с возрастающей трудностью
Слайд 9ОМОИ
Гипотеза Георга Раша
В качестве гипотезы (на основе многочисленных данных и
диаграмм) Георг Раш предположил, что среднее число ошибок можно представить
в виде
где Ave[xpt] среднее число ошибок, которое сделает p-ый школьник с уровнем подготовленности Bp при чтении t-ого текста с трудностью Dt.
Слайд 10ОМОИ
Сравнение двух тестов по трудности
В качестве примера сравним по трудности
тест 1 и тест 2, которые были пройдены p-ым испытуемым.
Оказалось,
что сравнение двух тестов по трудности не зависит от уровня подготовленности испытуемых, которые их прошли.
Слайд 11ОМОИ
Обобщение Георга Раша
Некоторый текст может быть выбран как стандарт, и
затем различные тексты можно откалибровать относительно этого стандарта.
Испытуемым можно
дать любой из текстов для чтения, и их уровень подготовки будет измерен на одной и той же шкале.
Исходя из этого относительные трудности могут быть выражены в логарифмической шкале:
Слайд 12ОМОИ
Формальные предпосылки модели Раша
Слайд 14ОМОИ
Отношение шансов на успех l-ого и m-ого студентов
Слайд 15ОМОИ
Вычисление вероятности правильного ответа
Слайд 16ОМОИ
Предпосылки конструирования модели измерения
логлинейная метрика
мультипликативная метрика
При заданных Bν и Di отношение (odds) Bν
/ Di является мультипликативным, вероятность правильного ответа равна
Для перехода к логарифмически линейной метрике используется преобразование
Слайд 17ОМОИ
Логические основы модели Раша
Простейшая модель Раша имеет вид
где pνi
– вероятность правильного ответа ν-го испытуемого на i-ое задание;
βν –
уровень знаний ν-го испытуемого;
δi – уровень трудности i-го задания.
Слайд 18ОМОИ
Для иллюстрации – «прыжки в высоту»
n-ый прыгун в высоту
пытается «взять» различные высоты (i = 1, 2, …, L).
При
«взятии» i-ой высоты возможны три исхода:
- высота взята (xni = 1),
- высота не взята (xni = 0),
- высота пропущена (xni = -).
Попытки n-ого прыгуна преодолеть все L высот представляются в виде вектора (1, 1, -, 0, 1, …, 0), где «1» обозначает успешную попытку, «0» обозначает неудачную попытку, а «-» обозначает то, что прыгун пропустил данную высоту.
Слайд 19ОМОИ
Сравнение прыгунов и прогноз
Общее число успехов n-ого прыгуна
При
использовании этой статистики для сравнения прыгунов необходимо, чтобы все они
пытались преодолеть один и тот же набор высот.
Однако с помощью этой статистики нельзя получить прогноз на будущее.
Для прогнозирования необходимо знать вероятность того, что в следующий раз n-ый прыгун возьмет i-ую высоту.
Rn = xni
Слайд 20ОМОИ
Число успешных исходов – достаточная статистика
Число успешных исходов Rn
является конкретной и вместе с тем ограниченной информацией.
Вероятность является
абстрактной и вместе с тем принципиально необходимой информацией для прогноза. Это очень важный аспект, потому что прогноз – это одна из важнейших задач науки.
В исходной матрице могут быть пропуски, однако в матрице ожиданий пропусков нет – для всех ni-ых комбинаций вычисляется вероятность успешной попытки.
Слайд 21ОМОИ
Исходы попыток преодоления i-ой высоты двумя прыгунами
Слайд 22ОМОИ
Обозначения числа успешных прыжков
N11-число успешных прыжков у обоих прыгунов
N10-число прыжков
успешных у m-ого прыгуна и неуспешных у n-ого прыгуна
N01-число прыжков
успешных у n-ого прыгуна и неуспешных у m-ого прыгуна
N00-число неуспешных прыжков у обоих прыгунов
Слайд 23ОМОИ
Информативность исходов попыток преодоления i-ой высоты
Числа N11 и N00
бесполезны для целей сравнения. Информативными являются только исходы, когда один
из прыгунов не берет высоту, а другой прыгун берет, т.е. информативны для целей сравнения только числа N10 и N01.
Обозначим через Pni вероятность того, что n-ый прыгун возьмет i-ую высоту, тогда (1-Pni) – вероятность того, что этот прыгун не возьмет эту высоту. Аналогичные обозначения – для m-ого прыгуна.
Слайд 25ОМОИ
Статистики «отношение»
и «разность»
N10 – это число прыжков, в которых
«победа» на стороне m-ого прыгуна;
N01 – это число прыжков, в
которых «победа» на стороне n-ого прыгуна.
Сравнение этих двух прыгунов по уровню их подготовленности отражает статистика
(N10 / N01), а не статистика (N10 - N01).
Слайд 26ОМОИ
Сравнение m-ого и n-ого прыгунов по исходам взятия i-ой высоты
Слайд 27ОМОИ
Сравнение m-ого и n-ого прыгунов по исходам взятия любых высот
Естественно
предположить, что соотношение в уровне подготовленности прыгунов не должно зависеть
от «штурмуемой» высоты.
Математически это можно записать так, что для всех i и j
Слайд 28ОМОИ
Вероятностная модель для n-ого прыгуна
Из предыдущего выражения следует, что
Слайд 29ОМОИ
Обобщение вероятностной модели для n-ого прыгуна
Для обеспечения объективности необходимо, чтобы
соотношение между любой парой высот i и j должно быть
справедливо для любого прыгуна m.
Любой прыгун и любая высота могут быть выбраны в качестве точки отсчета для проведения этих сравнений.
Удобно выбрать прыгуна 0 и высоту 0 эквивалентными, т.е. Р00=0,5.
Слайд 30ОМОИ
Вероятностная модель для n-ого прыгуна
Выбрав прыгуна 0 и высоту 0
как эквивалентные получаем P00 = 0,5. В результате:
Откуда
где f(n) =
bn (уровень подготовленности n-ого прыгуна);
g(i) = 1/di (уровень трудности высоты).
Слайд 31ОМОИ
Условие объективности измерений
Необходимо подчеркнуть, что для объективности измерений отношение
шансов для n-ого прыгуна преодолеть i-ую высоту должно быть произведением
уровня подготовленности прыгуна, выраженного как f(n) = bn и уровня трудности высоты, выраженного как g(i) = 1/di. Ничего другого здесь не требуется.
Слайд 32ОМОИ
Оценка параметров модели
Отметим, что
является исключительно свойством прыгуна n
в выбранной системе отсчета.
Точно так же
является исключительно свойством
i-ой высоты в той же самой системе отсчета.
Слайд 33ОМОИ
Параметры прыгуна и высоты полностью разделены
В модели измерения параметры прыгуна
и высоты полностью разделены
Это позволяет оценивать:
- уровень подготовленности прыгуна
независимо от уровня высоты;
- уровень высоты независимо от уровня подготовленности прыгуна.
Слайд 34ОМОИ
Диапазон варьирования найденных показателей
Подчеркнем, что
bn – это отношение вероятностей
(odds), которое варьируется от нуля до бесконечности и зависит только
от прыгуна n и выбранной системы отсчета;
di также варьируется от нуля до бесконечности и зависит только от i-ой высоты и той же самой выбранной системы отсчета.
Слайд 35ОМОИ
Дихотомическая модель Раша
Таким образом, определен способ выявления сильнейшего прыгуна.
Следующий,
важный для практики вопрос – насколько сильнее? Однако «насколько» это
уже не отношение – это разность.
Прологарифмировав обе части полученного выше уравнения получаем
Слайд 36ОМОИ
Дихотомическая модель Раша
Удобно ввести следующие обозначения
Откуда следует, что
где
Слайд 37ОМОИ
Дихотомическая модель является базовой в семействе моделей Раша
Модель Раша, используемая
для представления результатов тестирования, выводится на основе аналогии с прыгунами,
преодолевающими i-ую высоту. Параметры Bn и Di рассматриваются как уровень подготовленности испытуемого и трудность задания соответственно.
Все остальные виды моделей Раша являются производными от этой дихотомической модели.
Слайд 38ОМОИ
Благодарю за внимание!
Маслак Анатолий Андреевич,
дтн, проф., проректор по научной работе,
e-mail:
anatoliy_maslak@mail.ru
Славянский-на-Кубани государственный педагогический институт
www.sgpi.ru
