Логические величины, операции, выражения. (10 класс)

или отрицается.
По поводу любого высказывания можно сказать, истинно оно или

ложно.
Например: « На улице идёт дождь» будет истинным или ложным в зависимости от состояния погоды в данный момент.
Истинность высказывания «Значение больше, чем », записанного в форме неравенства: > , будет зависеть от значений переменных и .

лента?
Прослушайте сообщение.
Делайте утреннюю зарядку!
Назовите устройство ввода информации.
Кто отсутствует?
Париж — столица

Англии.
Число 11 является простым.
4 + 5 = 10.
Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.
Сложите числа 2 и 5.
Некоторые медведи живут на севере.
Все медведи - бурые.
Чему равно расстояние от Москвы до Ленинграда?

истинность высказывания выражается через логические величины.
Логическая переменная: символически обозначенная логическая

величина.
Например: если известно, что А,В,Х, Y и др. – переменные логические величины, то , значит они могут принимать значение только ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Логическое выражение – простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится на простых с помощью логических операций(связок)

такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение хотя бы одного операнда

ложно.

Дизъюнкция(логическое сложение)
Двухместная операция, записывается в виде
A V B. Значение такого выражения будет ИСТИНА, если значение хотя бы одного операнда истинно.

Отрицание – унарная(одноместная) операция. Записывается в виде ¬ А или Ā.

называется таблицей истинности логических операций(здесь И «истина», Л «ложь»)

логических операций.
Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ
Последовательность выполнения

операций в логических формулах определяется старшенством операций. В порядке убывания старшенства логические операции расположены так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Кроме того, на порядок выполнения операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах.
Например: (A&B)v(Ā&B)v(Ā&В)

¬ X & Y v X & Z
Если логические переменные имеют следующие значения: Х=ЛОЖЬ,Y= ИСТИНА, Z=ИСТИНА.
Решение:
Отметим цифрами сверху порядок выполнения операций в формуле:



Используя таблицу истинности, вычислим формулу по шагам:

¬ ЛОЖЬ = ИСТИНА;
ИСТИНА & ИСТИНА = ИСТИНА;
ЛОЖЬ & ИСТИНА = ЛОЖЬ;
ИСТИНА v ЛОЖЬ = ИСТИНА.

¬ X & Y v X & Z

1

2

3

4

не (X = Y),
если:
1) X = 3, Y =

5, Z = 2;
2) X = 0, Y = 1, Z = 19;
3) X = 5, Y = 0, Z = -8;
4) X = 9,Y = -9, Z = 9.

логики в тех случаях, когда приходится проверять принадлежность значений алгебраических

выражений некоторому множеству.

Например, принадлежность значения числовой переменной Х множеству положительных чисел выражается через высказывание: «Х больше нуля». Символически это записывается так: Х > 0. В алгебре такое выражение называется неравенством, а в логике – отношением.
Отношение Х>0 может быть истинным или ложным. Если Х положительная величина, то оно истинно, если отрицательная, то ложно. В общем виде отношение имеет следующую структуру:

<выражение 1> <знак отношения> <выражение2>
Знаки отношений: = ; <>; >; <; >= ; <=.

быть как постоянной: 5>0 –всегда ИСТИНА, 3≠6:2 –всегда ЛОЖЬ;
так

и переменной:a


Например:F(x)=(x>0) или P(x,y)=(xАргументы определены на бесконечном множестве действительных чисел, а значение функции – на множестве, состоящем из двух логических величин: ИСТИНА, ЛОЖЬ.
Логические величины от числовых аргументов называют ПРЕДИКАТ.
Предикаты могут быть как простыми логическими функциями, не содержащими логических операций, так и сложными, содержащими логические операции.

Отношение – можно рассматривать как логическую функцию
от числовых аргументов.

который будет принимать значение ИСТИНА, если точка на координатной плоскости

с координатами X и Y лежит внутри единичной окружности с центром в начале координат.

Решение:
Из геометрических соображений понятно, что для всех точек, лежащих внутри единичной окружности, будет истинным значение следующей логической функции:
F(X,Y)=(X2 +Y2 <1)
Для значений координат точек, лежащих на окружности и вне её, значение функции Y будет ложным.

типом Boolean.
Операции отношения: осуществляют сравнение двух операндов и определяют, истинно

или ложно соответствующее отношение между ними.
Знаки операций отношения
Логические операции:
not –отрицание;
and – логическое умножение(конъюнкция);
or –логическое сложение (дизъюнкция);
xor – исключение ИЛИ.
Таблица истинности для этих операций(T- true, F-false)

= ; <>; >; <; >= ; <=.

логических операций. Логическое выражение принимает значение true или false.
Например, логическая

формула

На Паскале запишется в виде следующего логического выражения:
not X and Y or X and Z ,
где X,Y,Z –переменные Boolean.
Логические переменные располагаются в следующем порядке по убыванию старшенства(приоритета):
not
and
or, xor.
Операции отношения имеют самый низкий приоритет. Поэтому если операндами логической операции являются отношения, то их следует заключать в круглые скобки. Например, математическому неравенству 1≤ Х ≤ 50 соответствует следующее логическое выражение:
(1<=X) and (X<=50)

¬ X & Y v X & Z

true, если x- нечетное, и равна false, если x- четное;

trunc (x) – целочисленная функция от вещественного аргумента, возвращающая ближайшее целое число, не превышающее x по модулю.

предикаты арифметических, логических операций и операций отношений, поскольку все они

могут присутствовать в логическом выражении. По убыванию приоритета операции располагаются в следующем порядке:
Арифметические операции:
(минус унарный)
*, /
+, -
2. Логические операции:
not
and
or, xor
3. Операции отношения:
=, <>, >,<, >=, <=