Математический анализ

f(x). Выражение Δx = x – a называется приращением аргумента.

Приращение функции можно выразить через приращение аргумента: Δf(Δx) = f(a + Δx) – f(a).
Функция f: X  ℝ называется дифференцируемой в точке x  X, если  такая линейная относительно Δx функция df(Δx) = A(x)Δx, что приращение функции можно представить в виде:
f(x + Δx) – f(x) = A(x)Δx + o(Δx).
Функция df(Δx) называется дифференциалом функции f(x).

в этой точке как функция приращения аргумента является линейной с

точностью до бесконечно малой в сравнении с приращением аргумента.
Так как o(Δx)  0 при Δx  0 получаем, что при Δx  0:
f(x + Δx) – f(x) = A(x)Δx.
Отсюда

и обозначается f’(x).
Другими словами, функция дифференцируема в точке x, если

у нее есть производная в этой точке.
Так как df(Δx) = A(x)Δx, значит df(Δx) = f’(x)Δx.
Очевидно, что если в качестве функции f(x) мы возьмем функцию f(x) = x, то ее производная будет равна:

записать в виде dx(Δx) = (x)’Δx = 1Δx = Δx.
То

есть дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением: Δx = dx.
Следовательно, df(x) = f’(x)dx.
Отсюда еще одно обозначение производной:

X  ℝ дифференцируемы в точке x  X. Тогда

их сумма, их разность, их произведение и их отношение (при g(x)  0) дифференцируемы в точке x, причем:
(f ± g)’ (x) = f’(x) ± g’(x);
(fg)’ (x) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x);

f’(x) = 0.
Утверждение 2: Если C = const, то (Сf(x))’

= Cf’(x).

f: X  Y дифференцируема в

точке x  X, а функция g: Y  ℝ дифференцируема в точке y = f(x)  Y, то их композиция h(x) = g◦f = g(f(x)) дифференцируема в точке x, причем h’(x) = g’(y)·f’(x) = g’(f(x))·f’(x).

f: X  Y и f–1:

Y  X взаимно обратны и непрерывны в точках x  X и y = f(x)  Y соответственно. Если функция f(x) дифференцируема в точке x и f’(x)  0, то функция f–1 также дифференцируема в точке y, причем (f–1)’ (y) = (f’(x))–1.

для производных основных элементарных функций:

(xn)’ = nxn – 1. В

частности: (x)’ = 1,
(ax)’ = ax lna. В частности: (ex)’ = ex.
В частности:
(sin x)’ = cosx.
(cos x)’ = – sin x.

10.

11.

Проведём прямую MM1 через эти точки. Далее будем двигать точку

M1 по графику функции по направлению к точке M. Прямая, которая получается в пределе при M1  M, называется касательной к графику функции f(x) в точке M.
Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке M(x0, y0):
y = f’(x0)(x – x0) + f(x0).

функции f(x) в точке x0.
Это утверждение представляет геометрический смысл производной.

Напомним, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой относительно положительного направления оси Ox.
Физический смысл производной: производная функции f(x) в точке x0 представляет собой скорость изменения величины f(x) в момент времени x0.

проходящая через точку x0 перпендикулярно касательной.
Уравнение нормали:
x = f’(x0)(y –

y0) + x0.
Таким образом, если производная в точке x0 не равна нулю, то уравнение нормали примет вид:
y = (1/f’(x0))(x – x0) + f(x0).

то производная производной называется второй производной функции f(x) в точке

x0.
Аналогично вводится понятие третьей, четвертой, пятой производной и т.д.
Обозначения: f’’(x), f’’’(x), fIV(x) = f(4)(x), fV(x) = f(5)(x), …
Таким образом, f(n)(x) = (f(n – 1)(x))’. Из определения следует, что f(0)(x) = f(x).
Другое обозначение:

производные до порядка n включительно, образуют класс функций, обозначаемый Cn(E).
Утверждение:

Если функция дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

в некоторой окрестности этой точки f(x) < f(x0).
Точка x0 называется

точкой локального минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки f(x) > f(x0).
Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума. А значение функции в этих точках – локальными экстремумами (соответственно, локальными минимумами и локальными максимумами).

x0 и x0 является точкой локального экстремума для функции f(x),

то f’(x0) = 0.
Эта теорема представляет собой необходимое условие существования локального экстремума функции. То есть локальный экстремум функции может находиться только в тех точках, где производная равна 0. Такие точки называются стационарными точками функции.

(a, b) f’(x) < 0, то функция f(x) убывает на

интервале (a, b). Если  x  (a, b) f’(x) > 0, то функция f(x) возрастает на интервале (a, b).
Утверждение (критерий постоянства функции): Непрерывная на отрезке [a, b] функция f(x) постоянна на этом отрезке тогда и только тогда, когда  x  [a, b] f’(x) = 0.

точки x0. Тогда, если в некоторой окрестности точки x0 f’(x)

< 0  x < x0 и f’(x) > 0  x > x0, то функция f(x) имеет локальный минимум в точке x0. Если в некоторой окрестности точки x0 f’(x) > 0  x < x0 и f’(x) < 0  x > x0, то функция f(x) имеет локальный максимум в точке x0. Если же в некоторой окрестности точки x0 f’(x) имеет один и тот же знак  x, то в точке x0 локального экстремума нет.

точке x0. Тогда, если f’’(x0) < 0, то x0 –

точка локального максимума. Если f’’(x0) > 0, то x0 – точка локального минимума.

если график функции лежит ниже любой своей касательной на этом

интервале.
Функция f(x) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если график функции лежит выше любой своей касательной на этом интервале.
Теорема: Пусть f(x) дважды дифференцируема на интервале (a, b). Тогда, если f’’(x) < 0  x  (a, b), то f(x) выпукла вверх на (a, b). Если f’’(x) > 0  x  (a, b), то f(x) выпукла вниз на (a, b).

отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и f(a)

= f(b), то  ξ  (a, b): f’(ξ) = 0.
Теорема Лагранжа: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то  ξ  (a, b):
f(b) – f(a) = f’(ξ)(b – a).
Теорема Коши: Если функции x(t) и y(t) непрерывны на отрезке [α, β] и дифференцируема на интервале (α, β), то  τ  (α, β):
x’(τ)(y(β) – y(α)) = y’(τ)(x(β) – x(α)).

представить в виде:


Многочленом Тейлора порядка n функции f(x) в точке

x0. называется многочлен


Rn(x) = f(x) – Pn(x) называется остаточным членом формулы Тейлора.

Пеано остаточного члена:

g(x) дифференцируемы на интервале (a, b),

и существует предел


Тогда

g(x) дифференцируемы на интервале (a, b),

и существует предел


Тогда