и
По теореме косинусов
С2=А2+В2+2АВ cosα
По теореме косинусов
С2=А2+В2-2АВ cosαСложение
Вычитание
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
Содержание
- 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
- 2. ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРАМИ
- 3. Сложение и вычитания векторов
- 4. Если вектора и
- 5. Разность векторов находится по
- 6. Перемножение векторов
- 7. Векторное произведение
- 8. Слайд 8
- 9. Слайд 9
- 10. Основы математического анализаМожно без преувеличения сказать, что
- 11. ДифференцированиеИз математики: Пусть имеется некоторая функция f(x).Производная
- 12. Конкретный вопрос из физики : как найти
- 13. Пример №2. Равнопеременное
- 14. В данном случае мы можем найти только
- 15. Таким образом при Δt→0 уже можно воспользоваться
- 16. Применим этот подход к равнопеременномудвижению. Если начальная
- 17. Таблица производных
- 18. Интегрирование
- 19. Из математики:
- 20. Вернемся к вопросу о связи между координатой
- 21. Из «школьной» физики: График зависимости скорости от времени при равномерном движении имеет вид:
- 22. Из «школьной» физики: График зависимости скорости от
- 23. Для определения пути, пройденного телом при более
- 24. Тогда путь, пройденный телом можно приблизительно определить
- 25. Интеграл
- 26. Метод неопределенного интегралаЕсли к
- 27. Таблица интегралов
- 28. Примеры использования дифференцирования и интегрирования в физикеКруг
- 29. Задача о спасении утопающей девушкиПостановка задачи:В воде
- 30. В колебательном контуре напряжение на
- 31. Для получения необходимой информации довольно часто приходится
- 32. Однако, получаемый при этом полезный сигнал мал
- 33. В радиотехнике нашли широкое применение
- 34. Практический подход к определению скорости
- 35. Смещение на одну строчку внизВычитаниеДелениеЧисловой метод определения скорости из зависимости x(t)
- 36. Примеры использования определенных и неопределенных интегралов в
- 37. На тело действует только сила сопротивления пропорциональная
- 38. возьмем интеграл от левой и правой части
- 39. Пример №4При разряде конденсатора сила тока изменяется
- 40. Пример №Обе фундаментальные силы – сила Кулоновского
- 41. Как найти скорость тела при свободном падении,
- 42. Поделим это выражение на m:В этом выражении
- 43. Перейдем от ln к exp:Заменим z
- 44. Скачать презентанцию
ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРАМИ
Слайды и текст этой презентации
Слайд 4Если вектора и заданы через
компоненты
по осям координат X,Y,Z:
A (Ax, Ay, Az) и B
(Bx, By, Bz), то для определения суммы векторов необходимо сложить соответствующие
компоненты: (Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)
Абсолютная величина результирующего вектора:
Слайд 5
Разность векторов находится по аналогии:
(Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz)
абсолютная величина вектора :
Слайд 6Перемножение векторов
Пусть имеются вектора
и
Скалярное произведение векторов.
обозначается как
или через
компоненты векторов по осям X,Y,Z:Скалярное произведение не является вектором
Слайд 7 Векторное произведение векторов:
обозначается как
это вектор
Вектор С по абсолютной величине равен площади
параллелограмма, постро- енного на векторах А и В,
и направлен перпендику- лярно этим векторам.
Слайд 10Основы математического анализа
Можно без преувеличения сказать, что основу
математического анализа
(М.А.), интегрирование
и дифференцирование, родили насущные
проблемы физики. Основу
М.А. составляетпредставление о том, что любая сложная
зависимость может быть представлена как
совокупность бесконечного множества
бесконечно малых величин, для которых
применимы простейшие арифметические
действия.
Слайд 11Дифференцирование
Из математики: Пусть имеется некоторая функция f(x).
Производная f(x) обозначается как
Она показывает скорость
изменения функции.Скорость изменения - это отношение приращения
функции к приращению
аргумента:
Производная
Слайд 12Конкретный вопрос из физики : как найти скорость
из зависимости
координаты от времени?
Пример №1. Равномерное и прямолинейное движение
График зависимости пути
отвремени при равномерном
движении имеет вид:
Δх- изменение положения тела за время Δt
В данном случае величина скорости
не зависит от выбора момента времени t
и величины интервала времени Δt
Слайд 13Пример №2. Равнопеременное
движение
График
зависимости пути отвремени при имеет вид:
Теперь величина скорости
уже будет зависеть от выбора
значения времени t и величины
интервала времени Δt
Вопрос: как тогда найти скорость из зависимости координаты от времени?
Δt 1= Δt 2
Слайд 14В данном случае мы можем найти только среднюю
скорость для
моментов времени t1 и t2:
и чем меньше будет интервал времени
Δt, тем точнее мы определим величину скорости в моменты времени t1 и t2,и тем больше у нас оснований считать, что отрезок
кривой x(t) в интервале времени Δt является прямолинейным.
Слайд 15Таким образом при Δt→0 уже можно
воспользоваться соотношением,
полученным для
равномерного движения
Такой подход и лежит в основе
дифференциального исчисления
Слайд 16Применим этот подход к равнопеременному
движению. Если начальная скорость тела равна
нулю, то координата тела изменяется по закону:
пренебрежимо
малоP.S. Поскольку Δt мало, то величиной Δt2 можно
пренебречь
Слайд 17Таблица производных
Правила
дифференцирования
1.С’=0 – производная
от const равна нулю2. (C·U)’=C ·U’- const можно выносить за знак дифференцирования
3. Правило дифференцирования
суммы/ разности
(V±U)’= V’ ± U’
4. Правило дифференцирования
произведения
(V·U)’= V’ ·U +V· U’
Таблица производных
Правила
дифференцирования
1.С’=0 – производная от const равна нулю
2. (C·U)’=C ·U’- const можно выносить за знак дифференцирования
3. Правило дифференцирования
суммы/ разности
(V±U)’= V’ ± U’
4. Правило дифференцирования
произведения
(V·U)’= V’ ·U +V· U’
Слайд 19Из математики:
где j(x) – называется первообразной, производная от
которой равна подынтегральной функции:
j’(x) = f(x)
т.е. интегрирование является процессом, обратным
дифференцированию.
Слайд 20Вернемся к вопросу о связи между координатой
и скоростью
Поскольку интегрирование
является процессом,
обратным дифференцированию, то теперь вопрос
формулируется «в обратном направлении»:
как на основании зависимости скорости от времени определить координаты тела?
Слайд 21Из «школьной» физики:
График зависимости скорости от времени при равномерном
движении имеет вид:
Слайд 22Из «школьной» физики:
График зависимости скорости от времени при равноперемерном
движении имеет вид:
В данном случае пройденный путь S за интервал
времениt2 –t1 определяется площадью трапеции.
V1=V0+a·t1
V2=V0+a·t2
Слайд 23Для определения пути, пройденного
телом при более сложной зависимости
скорости
от времени воспользуемся
идеей геометрической интерпретации
графика V(t)
Разобьем ось
времени на отрезкиΔt, найдем величину скорости для
каждого интервала времени,
определим среднее значение скорости внутри каждого интервала и будем считать, что внутри этих интервалов пройденный путь ΔS определяется как Vср· Δt
Слайд 24Тогда путь, пройденный телом
можно приблизительно
определить как
При уменьшении величины
интервала времени возрастает
точность определения
пройденного пути S
СУММИРОВАНИЕ
ПЕРЕХОДИТ
В ИНТЕГРИРОВАНИЕ:
Слайд 25Интеграл
носит название определенного,
поскольку мы суммируем элементарные участки
пути от времени
t1 до t2.В общем виде:
Определенный интеграл равен разности
первообразной конечного и начального
состояния
Слайд 26 Метод неопределенного интеграла
Если к первообразной добавить const,
то
производная от этого выражения все равно
будет равна подынтегральному выражению:
Поэтому если по известной величине f(x) необходимо найти первообразную j(x), то
это можно сделать с точностью до const.
Величина const определяется из начальных
или граничных условий.
и
Слайд 27Таблица интегралов правила
1.∫0dx=C- интеграл от нуля –это const
2. ∫adx = ax+C, ∫af(x)dx=a ∫f(x)dx –
Const можно выносить за знак интеграла
3. ∫(f(x)+j(x))dx = ∫f(x)dx + ∫j (x)dx –
Интеграл от суммы равен сумме интегралов
4. Переход к новой переменной интегрирования:
Слайд 28Примеры использования дифференцирования
и интегрирования в физике
Круг задач, решаемых в
рамках средней школы без применения
дифференцирования и интегрирования, весьма ограничен.
Курс
общей физики, читаемый в рамках высшей школы, затрагиваетмножество вопросов, ответы на которые можно получить только
при использовании методов математического анализа, возникновение которого во многом и было вызвано насущными физическими проблемами.
Слайд 29Задача о спасении утопающей девушки
Постановка задачи:
В воде тонет девушка. Какое
расcтояние
необходимо пробежать юноше по берегу
прежде чем броситься в
воду, чтобыдобраться до девушки за минимальное
время. Скорость бега V1, скорость плавания
V2.
А
В
b
a
x
a-x
t1- время бега
t2- время плавания
tобщ=t1+t2
Минимальное время находится путем
дифференцирования выражения для t общ
по варьируемому параметру х:
Слайд 30 В колебательном контуре напряжение на обкладках
конденсатора изменяется
по закону: U=U0sinω·t.
Найти зависимость силы тока в контуре
от времени:q= C·U=C·U0sinω·t
При разряде конденсатора заряд на его обкладках изменяется по закону: q=q0e-kt
Найти зависимость силы тока в цепи от времени:
Слайд 31Для получения необходимой информации довольно часто
приходится прибегать к дифференцированию
экспериментальных
данных.
Пример:
Данные о химическом составе и электронной
структуре различныхматериалов можно определить с помощью рассеяния электронов.
Эти данные получают из анализа по энергии электронов, рассеянных
мишенью, путем вариации потенциала U, подаваемого на
задерживающую сетку.
Слайд 32Однако, получаемый при этом полезный сигнал мал и для его
выделения
на общем фоне требуется двойное дифференцирование
исходной зависимости
на кривой Ik(U) только слабые намеки
на существование максимумов
После первого дифференцирования
уже видны максимумы
После повторного дифференцирования
эти максимумы уже проявляются отчетливо
и их можно обрабатывать для получения
необходимой информации.
Слайд 33 В радиотехнике нашли широкое применение
дифференцирование и интегрирование
сигналов
с помощью R-C цепочек
Дифференцирующая
RC цепочка
Интегрирующая
RC цепочка
Слайд 34
Практический подход к определению скорости
из экспериментальных данных
Если в нашем распоряжении имеются
данныео положении тела через равные промежутки
времени Δt, то, вычитая из одного положения
тела xi в момент времени ti его положение в
предыдущий момент ti-1 , мы определим величину Δxi.
Поделив величину Δxi на интервал времени Δt,
мы получим среднее значение скорости в момент
времени ti.
Слайд 35Смещение
на одну строчку вниз
Вычитание
Деление
Числовой метод определения скорости
из зависимости
x(t)
Слайд 36Примеры использования определенных и неопределенных интегралов в физике
Скорость тела, как
функция времени, изменяется по закону V =1+2t. Определить путь, пройденный
за время от t=1c до t=3c.Решение:
2. Скорость тела, как функция времени изменяется по закону V =1+2t. Определить зависимость координаты х от времени,
если при t=0 x(0)=4
Решение: x(0)=0+02+C=4
Откуда С=4 Окончательно x=t+t2+4
Слайд 37На тело действует только сила сопротивления пропорциональная
скорости его движения
Fсопр=-r·V. В начальный момент времени
тело имело скорость, равную V0
: V(0)=V0. Найти зависимостьскорости движения тела от времени.
По II закону Ньютона
это простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
в этом выражении две переменных величины:
скорость V и время t. Разнесем их по разные
стороны.
Пример №3
Слайд 38возьмем интеграл от левой и правой части этого выражения
в данном
случае постоянную интегрирования удобнее представить в виде логарифма: lnC
Перейдем от
ln к expВеличину С найдем из начальных условий: при t=0 V(0)=V0
Окончательно:
Слайд 39Пример №4
При разряде конденсатора сила тока изменяется
по закону: I=I0e-kt
Найти величину заряда, находившегося на конденсаторе в начальный момент времени.
В данном случае мы будем пользоваться методом
определенного интеграла:
∞
0
Слайд 40Пример №
Обе фундаментальные силы – сила Кулоновского и гравитационного
взаимодействия,
изменяются с расстоянием как 1/r. Поэтому для
вычисления работы этих
сил нельзя пользоваться школьной формулой A=F·S.Определим работу силы Кулоновского взаимодействия по перемещению одного точечного заряда в поле другого. Для упрощения задачи будем считать, что второй заряд движется в поле первого в радиальном направлении, так что выражение для силы F и элементарного перемещения dr можно использовать в скалярной форме:
Слайд 41
Как найти скорость тела при свободном падении, если известно,
что
на него действует сила сопротивления воздуха,
пропорциональная скорости движения тела
Fсопр=-r·V?По II закону Ньютона F=m·a F= mg-rV= ma
С увеличением скорости сила сопротивления растет до тех пор,
пока она не станет равной силе тяжести (иначе скорость тела
должна уменьшаться). Тогда mg- rV=0 и
Однако, зависимость скорости движения тела от времени
может быть найдена только с помощью аппарата высшей
математики.
Более сложный пример
Слайд 42Поделим это выражение на m:
В этом выражении нельзя разделить переменные
V и t.
- Как быть?Введем новую переменную величину:
Тогда и
Теперь уже можно разделить
переменные z и t
Слайд 43Перейдем от ln к exp:
Заменим z на V:
Поделим левую
и правую часть на r/m, сделав коэффициент при
V
равным единице, и введем новую const интегрирования С1Тогда
Найдем С1 из начальных
условий: при t=0 V(0)=0
Тогда
Подставим С1 в выражение
для скорости
Окончательно
