.
Для обозначения элементов
матрицы используют двойную индексацию ,
где i - номер строки, а j - номер столбца.
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Матрицы
Содержание
- 1. Матрицы
- 2. Прямоугольная таблица виданазывается матрицей.
- 3. МатрицыУказанная матрица содержит m строк и nстолбцов
- 4. Виды матриц Если матрица состоит из одной строки
- 5. Виды матриц Если количество строк матрицы совпадает с
- 6. Виды матрицНапример, матрица
- 7. Виды матриц Элементы матрицы, у которых номер строки совпадает с номером столбца образуют главную диагональ матрицы.
- 8. Виды матриц Матрица, у которой все элементы, находящиеся
- 9. Виды матриц Матрица, у которой все элементы, находящиеся не на главной диагонали равны нулю, называется диагональной.
- 10. Виды матриц Диагональная матрица, у которой все элементы,
- 11. Виды матриц Матрица, у которой все элементы равны нулю называется нулевой или нуль-матрицей. Обозначается такая матрица 0.
- 12. Операции над матрицамиСложение и вычитание матриц. Осуществляется следующим образом:
- 13. Операции над матрицами2. Умножение (деление) матрицы на
- 14. Операции над матрицами3. Умножение матриц. Осуществляется следующим образом:
- 15. Операции над матрицами4. Возведение матрицы в степень.
- 16. Операции над матрицами5. Транспонирование матрицы.
- 17. Операции над матрицамиНапример:
- 18. ЗадачаПример №1. Найти матрицу , если
- 19. ЗадачаРешение. Найдём сначала ,
- 20. ЗадачаНайдём теперь элементы матрицы
- 21. ЗадачаТаким образом получили ответ:
- 22. Определитель матрицыОдной из важнейших числовых характеристик квадратной матрицы является её определитель. Обозначения:
- 23. Определитель матрицыОпределитель второго порядка вычисляется по следующему правилу:
- 24. Для каждой квадратной матрицы существуют миноры. Минором
- 25. МинорНапример:
- 26. Алгебраическое дополнениеАлгебраическое дополнение элементу матрицы вычисляется следующим образом:
- 27. Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме
- 28. ЗадачаПример №2. Вычислить определитель матрицы:
- 29. ЗадачаРешение. Согласно Теореме Лапласа возьмём, например, вторую
- 30. Свойства определителейОпределитель матрицы не меняется при её
- 31. Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной) если
- 32. Матрица, составленная из алгебраических дополнений элементам транспонированной
- 33. Для любой невырожденной матрицы A существует обратная
- 34. Определение. Матрица
- 35. ЗадачаПример №3. Найти обратную матрицу:
- 36. Задача
- 37. Задача
- 38. Задача
- 39. Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.Обозначается
- 40. Линейная комбинация Матрица-столбец является линейной комбинацией других матриц
- 41. Свойства определителей6. Определитель не меняется, если к
- 42. Элементарными преобразованиями матрицы являются следующие преобразования:
- 43. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях
- 44. ЗадачаПример №4. Найти ранг матрицы
- 45. ЗадачаРешение. Найти ранг матрицы можно приведя матрицу
- 46. Задача1-й шаг. Следует сделать так, чтобы количество
- 47. Задача2-й шаг. Удобнее начинать работу, когда элемент
- 48. Задача3-й шаг. Обнуляем 1-й столбец. Переписываем 1-ю
- 49. Задача4-й шаг. Обнуляем 2-й столбец. Переписываем 1-ю,
- 50. Задача5-й шаг. Обнуляем 3-й столбец. Переписываем 1-ю,
- 51. Задача6-й шаг. Отбрасываем 4-ю строку, полностью состоящую
- 52. Вычисление определителя
- 53. Вычисление определителя
- 54. Система линейных уравнений
- 55. Слайд 55
- 56. Слайд 56
- 57. Слайд 57
- 58. Слайд 58
- 59. Слайд 59
- 60. Скачать презентанцию
Прямоугольная таблица виданазывается матрицей.
Слайды и текст этой презентации
Слайд 3Матрицы
Указанная матрица содержит m строк и n
столбцов и может обозначаться
.
матрицы используют двойную индексацию ,
где i - номер строки, а j - номер столбца.
Слайд 4Виды матриц
Если матрица состоит из одной строки или из одного
столбца, то она называется матрицей-строкой или матрицей-столбцом соответственно.
Слайд 5Виды матриц
Если количество строк матрицы совпадает с количеством её столбцов,
то матрица называется квадратной.
При этом количество строк (столбцов) определяет порядок
квадратной матрицы.
Слайд 7Виды матриц
Элементы матрицы, у которых номер строки совпадает с номером
столбца образуют главную диагональ матрицы.
Слайд 8Виды матриц
Матрица, у которой все элементы, находящиеся под главной диагональю
(i>j) равны нулю, называется ступенчатой (или треугольной).
Слайд 9Виды матриц
Матрица, у которой все элементы, находящиеся не на главной
диагонали равны нулю, называется диагональной.
Слайд 10Виды матриц
Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной
диагонали равны единице, называется единичной.
Обозначается такая матрица буквой Е.
Слайд 11Виды матриц
Матрица, у которой все элементы равны нулю называется нулевой
или нуль-матрицей.
Обозначается такая матрица 0.
Слайд 13Операции над матрицами
2. Умножение (деление) матрицы на число.
Для получения результата все элементы
исходной матрицы умножаются (делятся) на данное число.
Слайд 15Операции над матрицами
4. Возведение матрицы в степень.
Осуществляется как умножение. Например:
Слайд 16Операции над матрицами
5. Транспонирование матрицы.
В результате этого действия
все элементы каждой строки исходной матрицы в том же порядке станут элементами соответствующего столбца новой матрицы.
Слайд 22Определитель матрицы
Одной из важнейших числовых характеристик квадратной матрицы является её
определитель.
Обозначения:
Слайд 24Для каждой квадратной матрицы существуют миноры. Минором элемента матрицы называется
определитель, полученный из определителя исходной матрицы вычёркиванием одной любой его
строки и одного любого столбца.
Слайд 25Минор
Например: - минор
элемента
матрицы
, который получен из определителя вычёркиванием i-ой
Строки и j-го столбца.
Слайд 26Алгебраическое дополнение
Алгебраическое дополнение элементу матрицы вычисляется следующим образом:
Слайд 27 Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений всех элементов
любой его строки (или столбца) на соответствующие этим элементам алгебраические
дополнения.
Слайд 29Задача
Решение. Согласно Теореме Лапласа возьмём, например, вторую строку и по
ней произведём вычисление определителя:
= 
Слайд 30Свойства определителей
Определитель матрицы не меняется при её транспонировании.
Если хотя бы
одна из строк полностью состоит из нулей, то определитель равен
нулю.Если все элементы какой-либо строки умножить на постоянное число, то определитель умножится на это число.
При перемене местами двух строк матрицы определитель меняет знак на противоположный.
Если соответствующие элементы двух строк матрицы пропорциональны, то определитель равен нулю.
Слайд 31 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной) если её определитель равен
нулю.
Если её определитель отличен от нуля, то матрица является невырожденной.
Слайд 32 Матрица, составленная
из алгебраических дополнений элементам транспонированной матрицы
называется присоединённой к матрице и обозначается
.
Слайд 33 Для любой невырожденной матрицы A существует обратная матрица
, которая получается
путём деления присоединённой матрицы на определитель
матрицы A.
Слайд 34Определение. Матрица называется обратной по
отношению к квадратной матрице , если справедливо
следующее равенство:где - единичная матрица.
Слайд 39 Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров
этой матрицы.
Обозначается
Слайд 40Линейная комбинация
Матрица-столбец является линейной комбинацией других матриц столбцов, если существует
равенство
Где
постоянные числа, среди которых хотя бы одно отлично от нуля.
Слайд 41Свойства определителей
6. Определитель не меняется, если к любой его строке
прибавить линейную комбинацию других строк.
7. Если хотя бы одна из
строк является линейной комбинацией других строк, то определитель равен нулю (верно и обратное утверждение).
Слайд 42Элементарными преобразованиями матрицы являются следующие преобразования:
Отбрасывание нулевой
строки (столбца).
Перемена мест строк (столбцов).
Умножение всех элементов строки столбца на
ненулевое число.
Транспонирование матрицы.
Прибавление к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов).
Слайд 43 Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.
Ранг матрицы оказывается
равным максимальному числу линейно независимых строк матрицы, при условии, что
количество строк не превосходит количество столбцов.
Слайд 45Задача
Решение. Найти ранг матрицы можно приведя матрицу к ступенчатому виду
при помощи элементарных преобразований. Количество оставшихся строк, при условии, что
на главной диагонали отсутствуют нули, будет равно рангу исходной матрицы.
Слайд 46Задача
1-й шаг. Следует сделать так, чтобы количество строк матрицы не
превышало количество её столбцов. В нашем случае необходимо матрицу транспонировать.
Слайд 47Задача
2-й шаг. Удобнее начинать работу, когда элемент матрицы, стоящий на
пересечении первой строки и первого столбца равен 1. Для этого
поменяем местами 1-ю и 3-ю строки.
Слайд 48Задача
3-й шаг. Обнуляем 1-й столбец. Переписываем 1-ю и 2-ю строки;
из 3-ей строки вычитаем удвоенную 1-ю, а из 4-ой учетверённую
1-ю строку.
Слайд 49Задача
4-й шаг. Обнуляем 2-й столбец. Переписываем 1-ю, 2-ю и 3-ю
строки; из 4-ой строки вычитаем 2-ю строку.
Слайд 50Задача
5-й шаг. Обнуляем 3-й столбец. Переписываем 1-ю, 2-ю и 3-ю
строки; из 4-ой строки вычитаем 3-ю строку.
Слайд 51Задача
6-й шаг. Отбрасываем 4-ю строку, полностью состоящую из нулей.
Получили ступенчатую
матрицу, у которой 3 строки и на главной диагонали
нет нулей. Таким образом ранг исходной матрицы равен 3.
