МБОУ Ергачинская СОШ Решение заданий 14 (С2) по материалам ЕГЭ профильного

МБОУ «Ергачинская СОШ»
Решение заданий 14 (С2) по материалам

ЕГЭ
профильного уровня (нахождение углов,
расстояний, построение сечений)

c2
c
b
a
α

сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между

ними.

Квадрат стороны треугольника равен

сумме квадратов двух других сторон

на косинус угла между ними.

минус удвоенное произведение этих сторон

b2 + c2

– 2bc

cosA

Теорема косинусов

900
1.
2.
Угол между

скрещивающимися
прямыми АВ и СD определяется
как угол между пересекающимися
прямыми А1В1 и С1D1, при
этом А1В1|| АВ и С1D1|| CD.

А

В

D

С

А1

В1

С1

D1

α

М1

ребро.
Точки А и D лежат на гранях этого угла.
AF⊥CH,

FD⊥CH.

F

∠ AFD – линейный угол двугранного ∠ АCHD

Угол между плоскостями

найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1.
Задача №

1

1

А

С

В

D

А1

С1

В1

1

 

3) из ∆ABD по теореме косинусов

Продлим плоскость ВСС1, тогда ∠(AB1, ВС1) =
∠(AB1, DВ1) = ∠ AВ1D,
т. к. C1В || B1D.

Решение:

найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1.
Задача №

1 (продолжение)

1

А

С

В

D

А1

С1

В1

1

Решение:

Ответ: 0,25 .

ВСC1.
Задача № 2
С
В
D
А1
С1
В1
D1
А
Решение:
ВС1- проекция
прямой АС1 на плоскость(ВCС1),

так как AB⊥(ВCС1) AB⊥ВС1;
∠(AC1, (ВCС1)) = ∠(AС1,С1В) = ∠ AC1B,
т.е. ∆АВC1 – прямоугольный

 

 

 

котором АВ = ВС = 20, АС = 32. Боковое

ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ1, причем ВР : РВ1 = 1 : 3. Найдите тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и АСР.

20

А

С

В

А1

С1

В1

24

Ответ: 0,5 .

Задача № 3

Р

Н

16

16

Решение:
1) Так как (АВС)∥(А1В1С1), то
∠(( А1В1С1) , (АСР)) = ∠((АВС),(АСР)).
2) Т.к. ВНАС (высота р/б ∆),
то по теореме о трех перпендикулярах РНАС.
3) Тогда ∠РНВ – линейный угол двугранного ∠ РАСВ. Найдем его из прямоугольного ∆РНВ.
4) РВ = ¼ ВВ1 = ¼ · 24 = 6,
5) ВН2 = АВ2 – АН2 (из ∆AНВ)
ВН2 = 202 – 162 = 144, ВН = 12;
6) tg∠РНВ = PB/HB = 6/12 = 0,5.

32

Поэтому проекция AB на плоскость (SAD) будет ⊥ AD.

Значит, искомый угол – двугранный угол при ребре основания AD.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD.

 

Задача № 4

С

В

D

А

S

O

M

N

3) ∠SMO – искомый угол, косинус которого найдем из прямоугольного ∆SMO

 

в пространстве называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к

данной прямой.

перпендикуляр

Повторение.

является длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной плоскости.
перпендикуляр
a
ɣ
M
H
N
наклонная
NH

– проекция наклонной на плоскость ɣ

MH < MN

МH – расстояние
от М до
плоскости ɣ

этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.
a
b
A
B
Определение. Расстоянием между

скрещивающимися прямыми называют длину их общего перпендикуляра.

Расстояние между
скрещивающимися прямыми

расстоянию от любой точки одной из этих прямых до плоскости,

проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой.

1 способ.

расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые.
2 способ.

расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них.
3

способ.

а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки С

до прямой A1F1.

Задача № 5

Решение:
1)Так как ABCDEF – правильный шестиугольник, то
CA⊥AF.
CA⊥A1А по определению правильной призмы.
CA⊥(АA1F1) по признаку перпендикулярности прямой
и плоскости, т.е.
СА –перпендикуляр к плоскости,
CA1 - наклонная ,
A1А – проекция наклонной,
A1А ⊥A1F1 ;
A1F1 – прямая в плоскости.

11

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CA1⊥A1F1, значит длина отрезка CA1 равна искомому расстоянию.

а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки С

до прямой A1F1.

Задача № 5 (продолжение)

Решение:

2) Из ∆ АВС (АВ=ВС=5, )
по теореме косинусов найдём СА:

,
,
CA = .
3) Из ∆CAA1, по теореме Пифагора найдём CA1:


CA1 2 = 75 + 121 = 196.
CA1 = 14

Ответ: 14.

11

Доказано, что
CA1 - искомое расстояние.

от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС

и АD, если АD = , АВ = АС = 10, ВС = .

D

C

B

A

N

F

М

К

Р

Искомое расстояние AH равно половине расстояния от вершины А до плоскости BCD, т.к. (KMN)∥(BCD) и
KF – средняя линия ∆ ADP.

L

Н

Задача № 6

Решение:
Построим плоскость КМN.
Т. к. КМ – средняя линия ∆АDВ, КМ∥DВ,
MN - средняя линия ∆АВC, МN∥CВ, то (KMN)∥(BCD) по признаку ∥
плоскостей. АР–медиана и
высота р/б ,
KF–медиана и высота
р/б
DP⊥BC по теореме о трёх
перпендикулярах.

∆АВC

∆KMN.

KF

∥

DP.

от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС

и АD, если АD = , АВ = АС = 10, ВС = .

D

C

B

A

N

F

М

К

Р

Решение:
Доказано, что
AH - искомое расстояние.

Найдём АР из ∆АВР по теореме Пифагора (АВ=10, ВР = ):
AP2 = AB2 – BP2 = 100 – 20 =
= 80; АР=
Найдём DР из ∆АDР
по теореме Пифагора:
DP2 = AD2 + AP2 =
= 20 + 80 = 100; DP = 10.
Тогда AL =( · ):10=4
Итак, АН = ½ AL = 2.

L

Н

Ответ: 2.

Задача № 6 (продолжение).

2) ∆LDA и ∆ADP подобны по двум углам,
LA:AP=AD:DP, тогда AL=(AP*AD):DP.

равны 1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B,

С1 и F.
б) Найдите расстояние от точки В до прямой C1F.

Решение:

а) 1) ВС1, BF, FЕ1 // С1B , Е1C1 =>
Сечение – четырёхугольник
BC1E1F с диагональю C1F.

 

 

4) Так как ∠CBF=90°, то по теореме о трёх перпендикулярах, BF⟘BC1. Значит, сечение BC1E1F – прямоугольник. Диагональ
прямоугольника C1F2=BF2+BC12; C1F2=3+2=5.

ВК ⊥C1F, ВК – искомое расстояние
от точки В до

прямой C1F.
Найдем ВК как высоту из ∆FBС1,  
Используя 2 формулы площади треугольника.

В правильной шестиугольной призме
АВCDEFA1B1C1D1E1F1  все рёбра равны 1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, С1 и F.
б) Найдите расстояние от точки В до прямой C1F.

является квадрат ABCD со стороной , высота призмы равна
. Точка K − середина ребра ВВ1. Через точки K и С1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником. б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.

Решение.
а) Для построения сечения призмы
плоскостью α, проведём КЕ||BD1, E € B1D1.
Плоскость α проходит через точки К, С1 и Е.
Так как К – середина ВВ1 и КЕ||BD1, то
Е – середина диагонали А1С1 квадрата
А1В1С1D1. Значит, плоскость α пересекает
грань А1В1С1D1 по диагонали А1С1.
Соединив точки К, С1 и А1, получаем
∆А1КС1- сечение призмы плоскостью α.
∆А1КВ1= ∆С1КВ1 по двум сторонам
и углу между ними (А1В1=С1В1),
В1К – общая сторона, .

Из равенства треугольников следует, что А1К=С1К, значит
∆А1КС1 - равнобедренный.

является квадрат ABCD со стороной , высота призмы равна
. Точка K − середина ребра ВВ1. Через точки K и С1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником. б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.

Решение.
б)

точка E так, что A1E : EA = 2:5, на

ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB =1: 6, а точка Т — середина ребра B1 C1 . Известно, что AB = 5, AD = 6 , AA1 =14 .
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1 .
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA1B1 .

 

2) Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 4.
Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC .

Ответ: б) arctg 2.

рёбра равны 2.
а) Докажите, что плоскость ВВ1F перпендикулярна прямой В1С1.
б)

Найдите расстояние от точки В до плоскости F В1С1.

4) В пирамиде DАВС известны длины ребер АВ=АС=DВ=DС=13, DА =6, ВС=24.
а) Постройте прямую, перпендикулярную прямым DА и ВС.
б) Найдите расстояние между прямыми DА и ВС.

 

Ответ: б) 4.

а медиана её основания равна 6.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью,

проходящей через её вершину и перпендикулярной ребру основания.
б) Найдите тангенс угла, который образует боковое ребро с плоскостью основания.

6) В правильной четырёхугольной пирамиде МАВСD с вершиной М сторона основания равна 3, а боковое ребро равно 6.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку С и середину ребра МА параллельно прямой ВD.
б) Найдите площадь этого сечения.

Ответ: б) 5.

Ответ: б) 6.

«Подготовка к ЕГЭ по математике 2016, профильный уровень», Москва, издательство

МЦНМО, 2016.

2) Интернет-ресурсы:
http://www.fipi.ru/
http://mathege.ru/or/ege/Main
https://math-ege.sdamgia.ru/
http://alexlarin.net/
https://ege-ok.ru/

3) Шаблон презентации сайт http://pedsovet.su/ , автор Фокина Л. П.