Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме.

тепловых балансов в матричной форме. Отметить, что это представление основывается

на предположениях о малых размерах элементов, геометрии рассматриваемой задачи и возможности использования линейных связей между тепловыми потоками и температурой. Рассмотреть матричную форму системы уравнений и представить программу расчета полей температуры методом конечных элементов. Использовать полученные результаты для расчета температурных перепадов в облучаемом образце ядерного топлива из диоксида урана.

План.

1. Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме.
2. Матричная форма системы уравнений тепловых балансов.
3. Программа расчетов на ЭВМ.
4. Пример расчетов температурных перепадов в облучаемом образце из диоксида урана.
 
 

 

элементы имеют достаточно малые размеры, температурный градиент в радиальном

направлении можно линейным образом аппроксимировать разностью температур элементов T(i) и Т(j):
 
Q = [T(i)-T(j)] Lij / [(∆ri/2λi)+ (∆rj/2λj)] (31)
 
где
Lij - протяженность границы между i-ым и j-ым элементами;
∆ri, ∆rj - линейные размеры
i-ым и j-ым элементов;
λi , λj - коэффициенты теплопроводности i-ым и j-ым элементов.

и (31), находим выражение для γ( i,j) в радиальном

направлении:
 
γr(i,j)=Lij[(∆ri/2λi)+(∆rj/2λj)]-1 (32)
 
Аналогичным образом получим выражения для теплового потока в аксиальном направлении:
 
Q = [T(i)-T(j)] Lij / [(∆zi/2λi)+ (∆zj/2λj)] (33)
 
и соответственно для γz( i,j) в аксиальном направлении:
 
γz( i,j) = Lij [(∆zi/2λi)+ (∆zj/2λj)]-1 (34)
 
где ∆zi и ∆zj высоты i-ого и j-ого элементов.

условие ортогональности потоков тепла и границ между элементами. Данное условие

выполняется для рассматриваемой задачи вследствие симметрии при принятом разбиении на элементы.
Для элементов на боковой поверхности при граничном условии третьего рода имеем:
 
γr( i,с) = Liс [(∆ri/2λi)+ (1/αс)]-1 (35)
 
a при граничном условии первого рода:
 
γr( i,с) = Liс 2λi / ∆ri (36)
 
где αс - коэффициент теплоотдачи; Lic - протяженность границы элемента cо средой.

Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме.

{ Qv }+{Q L}
где
[В] - пятидиагональная симметричная матрица, определяющая

взаимодействие элементов между собой;
{T} - вектор температуры элементов;
{Qv} - вектор источников тепла;
{Q L} - вектор потоков тепла c границ цилиндрического образца.
Матрица [В] является квадратной пятидиагональной матрицей размера (М*N ). Структура ее представлена на рис.3.8 где сплошными линиями показаны ненулевые элементы.

Матричная форма системы уравнений тепловых балансов.

(37) элементы матрицы [B] определяются следующим образом.

Элементы, лежащие на неглавных диагоналях, определяются согласно (32) и (34).
Элементы лежащие на главной диагонали, определяются как сумма элементов неглавных диагоналей, взятых с обратным знаком и лежащих на одной cтроке, минус член, определяющий тепловое
взаимодействие c внешней средой, в случае, когда элемент лежит на внешней поверхности.
Для определения вектора температуры элементов получим решение в виде:
{T} = ({ Qv }+{Q L}) [B]-1

Матричная форма системы уравнений тепловых балансов.

части программы задается зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, начальное приближение

для λ , рассчитываются матрица [В], {Qv } и {QL} .
Далее для реализации треугольного разложения cимметричной матрицы [В] применяется подпрограмма " CHODET ".

уравнения (37) определяет вектор температуры.
После получения поля

температуры происходит его дальнейшее уточнение итерациями с учетом зависимости коэффициента теплопроводности образца от температуры.
Укрупненная блок- схема программы определения вектора температуры для цилиндрических образцов представлена на рис.3.9.

Основные этапы проведения расчетов на ЭВМ.

зависимость максимального радиального перепада температуры в образце из диоксида урана

от плотности внутренних источников тепла при различных значениях температур окружающей среды и торцов.

задавались граничные условия третьего рода, а на торцах - первого

рода, при этом предполагалось, что температура на торце образца по его сечению постоянна.
Это условие приближает расчеты к ситуации, реализуемой в экспериментальной установке, когда ядерное топливо с низким коэффициентом теплопроводности контактирует с металлическим пуансоном.
Коэффициент теплоотдачи с боковой поверхности образца учитывал теплопроводность через газ-заполнитель, конвекцию и тепловое излучение и рассчитывался по методике, принятой для расчета поля температуры но элементам установки.
При тепловыделениях ~ 60 Вт/см3 , характерных для эксплуатации установок типа "Крип-ВТ" (высоко­температурные испытания) на ИРТ-МИФИ, перепады составляют величины ~ 30 К, что не может привести к разрушению образца из-за термонапряжений.