Множества и операции над ними

теории множеств,
немецкий математик
Георг Кантор
(1845-1918)

– совокупность объектов, объединенных по определенному признаку.
Примеры множеств: - множество студентов

в данной аудитории; - множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени; - множество точек данной геометрической фигуры; - множество чётных чисел; - множество корней уравнения 5х+6=0.

деревьев – это…
АЛФАВИТ
СТАДО
ФЛОТ
ЛЕС
Назовите множества, изображенные на рисунках

большими латинскими буквами (A, B, C, …), а элементы множества

− малыми латинскими буквам (a, b, c, …).

элементами которых являются числа. Для самых основных числовых множеств утвердились

следующие обозначения: N - множество всех натуральных чисел; Z - множество всех целых чисел; Q - множество всех рациональных чисел; R - множество всех действительных чисел.

правильное утверждение: 1) 5 * N; 2) –5

* Q; 3) 3,14 * Q; 4) 2 * R; 5) 0 * N; 6) − 12 * Z; 7) π * Q

множество может содержать как конечное, так и бесконечное число элементов.

Пример:

Во множестве дней недели 7 элементов;
Во множестве естественных спутников Земли 1 элемент;
Во множестве целых чисел бесконечное множество элементов.
Во множестве людей на Солнце нет элементов.

множества)

множеству, и не обладает ни один объект, не принадлежащий этому

множеству.

Обозначение: Р(х)  характеристическое свойство элементов данного множества А, то есть

 « А  множество всех х, таких что Р(х)».

N, 2x – 1 = 0}; 2) B =

{x | x Z, | x | < 3}; 3) C = {x | x N, x ≤ 15, x = 7k, k Z}.

А является элементом множества В.

А  а элемент множества А;  а

 А   а подмножество множества А.

одного элемента. Пустое множество включено в любое множество,

в том числе и в себя.

  А;   ; А А.

универсальным.


Универсальное множество
Пример:
А  множество треугольников, В  множество прямоугольников,

С  множество шестиугольников, тогда U  множество многоугольников.
А  множество преподавателей университета, В  множество студентов университета, С  множество спортсменов университета, тогда U  весь коллектив университета.
N  множество натуральных чисел, Z  множество целых чисел, Q  множество рациональных чисел, тогда U = R  множество действительных чисел.

(1707 – 1783г.)
Диаграммы Эйлера-Венна –
геометрические представления множеств, где множества

изображаются в виде совокупностей точек на плоскости ограниченных некоторой замкнутой кривой, а универсальное множество – в виде большого прямоугольника.

a, b  A
d, e  A

Диаграммы Эйлера-Венна

непересекающимися областями:
 
 
Если у множеств есть одинаковые элементы, то у

областей тоже есть общая часть:
 
 
Если множество включено в другое множество, то на диаграмме Эйлера-Венна одна область целиком лежит в другой области:
 
Если множества равны, то они изображаются одним кругом:
 

состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному

из множеств A или B.

Пример. {1,2,3}  {2,3,4} = {1,2,3,4}.

Пример. Даны два множества А={1,2,4,6} B={0,3,4,6}. Найти С=АB.                            

C={0,1,2,3,4,6}   

AB = {x| xA или xB}

тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и

В одновременно.

Пример. {1,2,3}  {2,3,4} = {2,3}

Пример. Даны два множества А={1,2,4,6} B={0,3,4,6}. Найти С=А  B. 

С={4,6}

Операции над множествами

АВ = {x| xA и xB}

множество всех элементов множества A, которые не содержатся в B.

Пример. {1,2,3} \ {2,3,4} = {1}.

Пример. Даны два множества
А={1,2,4,6} и B={0,3,4,6}. Найти С=А \ B. 

C={1,2}   

A\B= {x| xA и xB}

называется множество всех элементов, не принадлежащих множеству А, но принадлежащих

универсальному множеству.

A={x| x A и xU}

Пример. Пусть A = {1,2,4,5}, U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Тогда A=U\A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} \ {1,2,4,5} = {3,6,7,8,9}

{4;7;9}. Найдите:
1) пересечение M и N;
2) пересечение M и

K;
3) пересечение N и K;
4) объединение M и K;
10) дополнение M, N, K до универсального множества,
если U –все цифры.

Операции над множествами

5) объединение N и K;
6) разность M и N;
7) разность M и K;
8) разность N и K;
9) дополнение K до N;