Міністерство освіти і науки України Прикарпатський національний універститет

робота
Цифрова фільтрація сигналів
та їх компресія на основі малохвильового перетворення.
м.

Івано-Франківськ
2012

класифікація.
Рекурсивні цифрові фільтри.
Сутність вейвлет-аналізу Порівняння з Фур’є-аналізом.
Перетворення Фур'є (ПФ).
Пірамідне

представлення сигналів
Двовимірне дискретне малохвильове перетворення.

в галузі фізики, електротехніки і електроніки, особливо в системах зв'язку,

радіо - і гідролокаційних системах, контрольно-вимірювальних системах і системах управління виробничими процесами. Впродовж останнього десятиліття методи цифрової обробки сигналів придбали велику важливість з огляду на те, що тепер вони не лише замінюють класичні аналогові методи у багатьох традиційних областях техніки, але і застосовуються у багатьох нових областях.

ВСТУП. ПЕРЕВАГИ ЦИФРОВОГО СИГНАЛУ ПЕРЕД АНАЛОГОВИМ

збільшення відношення сигнал - шум, зменшення впливу завад або виділення

(підсилення) якої-небудь корисної якості сигналу
Фільтри можуть класифікуватися за різними особливостями. Здебільшого для поділу фільтрів використовують такі ознаки.
Перша ознака - вид вхідного і вихідного сигналу фільтра. Якщо ці сигнали аналогові, то фільтри називаються аналоговими, якщо ж сигнали представлені цифровим кодом, то фільтри належать до цифрових.
Друга ознака - вид частотної характеристики. За цією ознакою фільтри поділяються на такі групи: фільтри низьких частот (ФНЧ); фільтри високих частот (ФВЧ); смугові фільтри (СФ); смугозагороджувальні або режекторні фільтри (РФ); всепропускні фільтри (ВФ). Графіки амплітудно-частотних характеристик (АЧХ) згаданих фільтрів наведено на рис. 1.1 (а-е).

Основні типи фільтрів та їх класифікація.

характеристикою. Неперервний фільтр - це фільтр з неперервною імпульсною характеристикою

(IX), дискретний фільтр - це фільтр, IX якого подана набором 8-імпульсів.
Четверта ознака, за якою класифікують фільтри, - це протяжність імпульсної характеристики. Якщо IX фінітна, тобто має межу в часі, то такі фільтри називають фільтрами зі скінченним імпульсним відгуком, або, коротко, СІВ-фільтрами Якщо IX, хоча і загасає в часі, але має теоретично необмежену в часі тривалість, то такі фільтри називають НІВ-фільтрами, тобто фільтрами з нескінченним імпульсним відгуком

= nT визна­чають значенням вхідного сигналу х у цей самий

момент часу, а також значеннями вхідних і вихідних сигналів у попередні моменти часу, тобто
Якщо ця залежність є лінійною, то цифровий фільтр називається ліній­ним, а вихідна величина уп визначається:
(1.14)
або в загальному випадку
(1.15)

Рекурсивні цифрові фільтри.

виконати такі операції:
Отримати сигнали хп-х,...,хп-т,уп-х,...уп-l. їх можна одержати з хп

і уn за допомогою реалізації затримок на один період дискретизації Та. У разі апаратної, мікропроцесорної реалізації цифрового фільтра для отримання затриманих сигналів використовують стек.
Перемноження одержаних на елементах затримки сигналів на постійні коефіцієнти ат і bl.
Підсумування отриманих сигналів, яке може бути реалізовано програмно або на суматорах.
Згідно з (1.4) побудована блок-схема симетричного нерекурсивного ЦФ (рис. 1.7).

може спричиняти нестабільність. У випадку збудження такого фільтра вхідним сигналом

його вплив теоретично ніколи не зникає. На рис. 1.8 наведена блок-схема рекурсивного фільтра, яка побудована згідно з (1.15). Схема такого фільтра вимагає М + L аперіодичних ланок і М + L +1 перемножувачів.

його вихідний сигнал дорівнював нулю (уп-1 = 0). Якщо подати

на вхід одиничний імпульс, на виході фільтра сформуються такі вихідні сигнали (рис. 1.9):

вхідний сигнал імпульсний відгук
Рис. 1.9. Реакція рекурсивного ЦФ на одиничний імпульс

класичне перетворення Фур'є.
Перетворення Фур'є розкладає довільний процес на елементарні

гармонійні коливання з різними частотами, а всі необхідні властивості й формули виражаються за допомогою однієї базисної функції exp(jwt) або двох дійсних функцій sin(wt) і cos(wt).
Вейвлетне перетворення має багато спільного з перетворенням Фур'є. У той же час є ряд досить істотних відмінностей. Як приклад розглянемо застосування вейвлет-аналіза до синусоїд f(t)=sin(2πt/T1)+α sin(2πt/T2) , що дозволяє легко порівняти з результатами звичайного перетворення Фур'є.
На рисунку 2.1 показаний сигнал у вигляді суми синусоїд, що відрізняються частотами: (y=sin(30*x)+sin(100*x)).

Сутність вейвлет-аналізу Порівняння з Фур’є-аналізом.

- Вейвлет перетворення суми синусоїд з різними частотами
Рис. 2.3 -

Дві послідовні в часі синусоїди з різними частотами

Рис 2.4 - Вейвлет-перетворення двох послідовних у часі синусоїд з різними частотами

Рис. 2.5 - Спектр Фур'є двох послідовних у часі синусоїд з різними частотами

перетворення й ряди Фур'є.
У просторі функцій, заданих на кінцевому

інтервалі (0,T), норма, як найбільш загальна числова характеристика довільної функції s(t), по визначенню обчислюється як корінь квадратний зі скалярного добутку функції. Виразу:
||s(t)||2 = s(t), s(t) = s(t)·s*(t) dt, (2.1)
де s*(t) – функція, комплексно сполучена з s(t).
Якщо норма функції має кінцеве значення (інтеграл сходиться), то говорять, що функція належить простору функцій L2[R], R=[0,T], інтегрувальних із квадратом (простір Гильберта), і, відповідно, має кінцеву енергію. У просторі Гильберта на основі сукупності ортогональних функцій з нульовим скалярним добутком
v(t), w(t) = v(t)·w*(t) dt = 0 (2.2)
завжди може бути, створена система ортонормованих "осей" (базис простору).
Базис простору може бути утворений будь-якою ортогональною системою функцій. Найбільше застосування в спектральному аналізі одержала система комплексних експонентних функцій. Проекції сигналу на даний базис визначаються виразом:
Sn = (1/T) s(t) exp(-jn· ·t) dt, n  (-∞, ∞), (2.3)
де =2 /T – частотний аргумент векторів.
s(t) = Sn exp(jn·Dw·t) (2.4)
Рівняння (2.3) і (2.4) називають прямим і зворотним перетворенням Фур'є сигналу s(t).

Фур'є рівномірно сходиться до s(t) по нормі (2.1):
||s(t) -

Sn exp(jnDwt)|| = 0. (2.5)
Таким чином, ряд Фур'є - це розкладання сигналу s(t) по базисі простору L2(0,T) ортонормированных гармонійних функцій exp(jnDwt) зі зміною частоти, кратним частоті першої гармоніки w1=Dw.. Звідси, ортонормований базис простору L2(0,T) побудований з однієї функції v(t) = exp(jDwt) = cos(Dwt)+j·sin(Dwt) за допомогою масштабного перетворення незалежної змінної так, що vn(t) = v(nt).
Для коефіцієнтів ряду Фур'є справедлива рівність Парсеваля збереження енергії сигналу в різних представленнях:
(1/T) |s(t)|2 dt = |Sn|2. (2.6)
Розклад в ряд Фур'є довільної функції y(t) коректно, якщо функція y(t) належить цьому ж простору L2(0,T), тобто квадратично інтегрувальна з кінцевою енергією:
|y(t)|2 dt <  , t  (0,T), (2. 7)
при цьому вона може бути періодично розширена й визначена на всій тимчасовій осі простору R(-, ) так, що
y(t) = y(t-T), t  R,
за умови збереження кінцівки енергії в просторі R(-, ).

сигналу. Сигналові ставляться у відповідність дві піраміди: піраміда гауссіанів (ПГ)

і піраміда лапласіанів (ПЛ). Ці назви відбивають аналогію з популярними в графіку операціями згладжування (згортки з колоколообразним фільтром) і виділення перепадів (обчислення “дискретного оператора Лапласа”). Можна вважати цю конструкцію спрощеним варіантом попередньої.

Процес одержання зображений на рисунку 3.2.

одновимірного 1D малохвильового перетворення з базовою функцією ψ і масштабною

функцією φ у такий спосіб
(4.28)
(4.29)
(4.30)
  де х = (x1 ,х2 ) і отримана базова малохвильова функція дорівнюватиме

де і є Z2

Двовимірне дискретне малохвильове перетворення

полягає в усуненні завад, що містяться у сигналі, або у

виділенні окремих складових сигналу, які відповідають тим чи іншим властивостям досліджуваного процесу.
У техніці цифрового оброблення сигналів все частіше застосовують циф­рові фільтри (ЦФ). За допомогою останніх у сигналі виділяють, заглушуються (перериваються) або послаблюються певні частоти з метою покращання відно­шення сигнал/шум. Крім цього, ЦФ широко використовують як структурні елементи пристроїв та систем оброблення сигналів. Зважаючи на це, ЦФ мають велике практичне значення.
Сучасні активні фільтри та цифрові фільтри - це пристрої, які викорис­товують у різних сферах техніки. В останні десятиліття інтенсивно розви­ваються також методи фільтрації, специфічні саме для вимірювальної та обчислювальної техніки. Ці методи, основані на реалізації спеціальних вагових функцій. Отримані завдяки їм фільтри дуже близькі за властивостями до ЦФ, але можуть бути використані як в цифровій, так і в аналоговій частині пристрою вимірювання.
В результаті всіх удосконалень техніка цифрової фільтрації використовуватися в різних областях, таких як радіозв'язок, радіо - і гідролокація, фізичний експеримент, біомедичні дослідження, аерокосмічні системи, розвідка корисних копалини за допомогою супутників і т. д.