Начала комбинаторики и теории вероятностей

может произойти или не произойти. События обозначают заглавными буквами латинского

алфавита: A, B, C и т.д.
Примерами событий являются:
A – выпадение герба при бросании монеты;
B – попадание в цель при выстреле;
C – появление туза при вынимании карты из колоды.

возможности этого события.
Вероятность события A обозначается через P(A) и определяется

как отношение числа благоприятных случаев m к общему числу случаев:


или - в процентах

попадает в цель 92 раза, то вероятность попадания в цель

для него равна 0,92 или 92%.
На самом деле, в каждой серии из 100 выстрелов попаданий может получиться немного больше или меньше, чем 92, но в среднем их будет примерно 92.

окажется тузом?

Решение. В данном испытании количество элементарных исходов n=36 (возможность

вытащить любую карту из колоды одинакова и все эти события образуют полную группу). Число благоприятных исходов соответствует числу тузов m=4. Следовательно, вероятность вытащить туза
P(A) = m/n = 4/36 = 1/9.

Из урны наугад вынимается один шар. Найти вероятность того, что

этот шар будет белым.


Решение:
n = 2+3 = 5 - количество элементарных исходов
m = 2 - число благоприятных исходов
Следовательно:
P(A) = = 0,4 = 40 %

бросании игрального кубика.

Решение. При бросании кубика события, составляющие в

выпадении числа очков 1, 2, 3, 4, 5 и 6, являются элементарными исходами.

Число благоприятствующих событий 2 (выпадение 5 или 6 очков).
Значит, вероятность того, что выпадает число больше 4: P(A) = 2/6 = 1/3.

осуществлена определенная совокупность условий.
Невозможным называют событие, которое не может

произойти, если будет осуществлена определенная совокупность условий.
Событие называют случайным, если оно может произойти, а может и не произойти при определенной совокупности условий.
Испытанием называют выполнение определенной совокупности условий, при которых происходит или не происходит событие. Таким образом, событие является результатом (исходом) испытания.

нулю и меньше либо равна единице:
Вероятность достоверного события равна единице.

P(D)=1, где D – достоверное событие.
Вероятность невозможного события равна нулю. P(N)=0, где N – невозможное событие.

Если P(A) = , то событие А наступает примерно в половине всех случаев.

в январе

– 145 мальчиков и 135 девочек,
в феврале – 142 мальчика и 136 девочек,
в марте – 152 мальчика и 140 девочек.
Как велика вероятность рождения мальчика?

Решение: Соответствующие вероятности вычисляются следующим образом:
в январе: 0,518 = 51,8 %,
в феврале: 0,511 = 51,1 %,
в марте: 0,520 = 52,0 %.
Среднее арифметическое вероятностей за эти месяцы близко к числу (0,518+0,511+0,52)/3 = 0,516 = 51,6%

о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям,

можно составить из заданных объектов.
Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.

2 объектов. Если объект А можно выбрать n способами, а

объект В – другими m способами, то выбор «или А, или В» можно осуществить n+m способами.
При использовании правила суммы необходимо осознавать, что множество способов выбора объекта А и множество способов выбора объекта В не должно иметь общей части, в противном случае из суммы n+m нужно вычесть величину общей части множеств А и В.

через окно. Число способов проникновения через дверь – 4, через

окно – 3. Сколько всего существует способов проникновения в квартиру?
Решение. Так как способы проникновения в квартиру через окно и через дверь различны, то мы можем воспользоваться правилом суммы. Тогда количество способов проникновения либо через окно, либо через дверь, т.е. количество различных способов проникновения в квартиру, будет равно 4+3=7.

выбрать n1 способами, объект А2 другими n2 способами, объект A3

отличными от первых двух n3 способами, и т.д., объект Am - nm способами, отличными от первых (m-1), то выбор одного из объектов: или объекта А1, или объекта А2 , …, или объекта Am можно осуществить
n1 + n2 +…+ nm способами.

n способами и после этого действия объект В можно выбрать

другими m способами, то выбор пары объектов (А, В) можно осуществить n*m способами.

и его заместителя.
Решение. При выборе командира взвода число способов выбора

равно 25, так как каждый курсант может быть назначен на эту должность. После этого остается 24 курсанта, из которых может быть назначен заместитель командира взвода. Т.е. число способов назначения заместителя командира – 24. По правилу произведения количество способов назначения пары курсантов на указанные должности 25*24= 600.

выбрать n1 способами, после каждого такого выбора объект A2 можно

выбрать другими n2 способами, после этого объект A3 можно выбрать n3 способами, и т.д., после выбора каждого из (m-1) объектов - Am-й может быть выбран nm способами, то выбор всех элементов (A1, A2, …, Am) в указанном порядке можно осуществить n1* n2*…*nm способами.

которых нанесены цифры от 0 до 9. Сколько времени необходимо

злоумышленнику для перебора всех комбинаций замка, если на одну комбинацию он тратит 2 секунды.
Решение. При кодировании и открывании замка каждую цифру можно выбрать 10 способами. Всего цифр - 4, причем в комбинации важен порядок расположения цифр. Значит, по правилу произведения общее число комбинаций равно 10*10*10*10=10000. Таким образом, для перебора всех комбинаций необходимо потратить 2*10000=20000 секунд или 5 часов 33 минуты и 20 секунд непрерывной работы.

Найденное время необходимо для перебора всех комбинаций. Но нужная комбинация может быть не последней.

по двум урнам поровну (т.е. по 5 в каждую). Из

любой урны (из первой либо из второй) наугад выбирают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.
Решение: n = 5+5 = 10 – всего шаров,
m = 3 – белых шаров,
P = = 0,3 = 30 %

по двум урнам поровну (т.е. по 5 в каждую). Случайным

образом сначала выбирают 1 шар из первой урны, а затем – 1 шар из второй урны.
Определить общее количество возможных вариантов упорядоченных пар шаров.
Решение: Согласно правилу произведения,
n = 55 = 25.

, …, an . Будем переставлять их всеми возможными способами,

сохраняя их количество и меняя лишь порядок их расположения. Каждая из полученных таким образом комбинаций называется перестановкой. Общее количество перестановок из n элементов обозначается Pn . Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до n :

Символ  n!  (называется факториал) - сокращённая запись произведения:  1 · 2 · 3 ·  … · ( n – 1 ) · n .
Например: 1!=1, 2!=12, 3!=123=6, 4!=1234=24, 5!=12345=120, 6!=123456=720

Решение: В соответствии с приведенной формулой:  P3 = 1 ·

2 · 3 = 6. Действительно, получается 6 перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

буквы этого слова?
Решение: n = 5! = 12345 =

120 –
количество сочетаний,
m = 1 – правильный вариант,

P = =

состоящего из  n элементов, располагая эти  m взятых элементов в

различном порядке. Полученные комбинации называются  размещениями из  n элементов по k .Из определения вытекает, что .
Число всех размещений из n по k элементов обозначается символом . (Читается: «число размещений из n по k»).
Число размещений из n по k элементов определяется следующей формулой:

повторяются?
Решение. Если цифры номера машины не повторяются, то количество комбинаций

номеров равно числу размещений из 10 (общее количество цифр) по 3 (количество цифр в номере автомашины), т.е. равно

способами это можно сделать?
Решение. Искомое число способов равно числу

4-элементных упорядоченных подмножеств из 8 элементов, т.е.
 
Если известно, что последний экзамен будет сдаваться на восьмой день, то число способов равно

множества, состоящего из  n элементов, не принимая во внимание порядок

расположения этих k элементов. Тогда мы получим сочетания из  n элементов по  k . Из определения вытекает, что
Например, для четырехэлементного множество a, b, c, d сочетаниями из 4 элементов по 3 элемента являются подмножества: abc, abd, acd, bcd.
Число всех сочетаний из n по k элементов (читается: «число сочетаний из n по k») обозначается специальным символом и определяется следующей формулой:

из взвода численностью 20 курсантов?
Решение. Количество различных нарядов равно числу

сочетаний из 20 по 7 - . По формуле
получим


Итак, количество различных нарядов равно 77520.

спортсменами, если каждый из них должен встретиться с каждым.
Решение. Должно

состояться столько поединков, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 15 элементов, т.е. их число равно . Получаем


Итак, при встрече каждого из 15 спортсменов с каждым должно состояться 105 поединков.