Операции с числовыми множествами. Формулы сокращённого умножения. Автономная

образования
КАЛИНИНГРАДСКИЙ БИЗНЕС-КОЛЛЕДЖ
Кафедра общих гуманитарных и естественных дисциплин

Составитель: преподаватель: Войкова Т.Ю.

одними четвёрками.

(выражения) плюс удвоенное произведение первого числа (выражения) на второе плюс

квадрат второго числа (выражения).
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. Квадрат разности (двух чисел, выражений) равен квадрату первого числа (выражения) минус удвоенное произведение первого числа (выражения) на второе плюс квадрат второго числа (выражения) .
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
3. Разность квадратов  (двух чисел, выражений) равна произведению разности (этих чисел, выражений) и (их) суммы.
a2 - b2 = (a -b) (a+b)

плюс утроенное произведение квадрата первого числа (выражения) на второе плюс

утроенное произведение первого числа (выражения) на квадрат второго плюс куб второго числа (выражения).
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5. Куб разности  (двух чисел, выражений) равен кубу первого числа (выражения) минус утроенное произведение квадрата первого числа (выражения) на второе плюс утроенное произведение первого числа (выражения) на квадрат второго минус куб второго числа (выражения).
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
6. Сумма кубов  (двух чисел, выражений) равна произведению суммы первого и второго числа (выражения) на неполный квадрат разности этих чисел (выражений).
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
7. Разность кубов  (двух чисел, выражений) равна произведению разности первого и второго числа (выражения) на неполный квадрат суммы этих чисел (выражений).
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

стесняться и подгоним к формуле «квадрат суммы»:
(a + b)2 = a2 +

2ab + b2
1002 +201 = 1002 +200 + 1 = 1002 +2·100·1+12 =(100 + 1)2 = 1012 =101·101
Подумайте, почему 101 – простое число. 

Пример 2. Докажите, что число 26992 – составное.
Решение. А что тут думать: крайняя справа – цифра «2», число - чётное. Значит, в любом случае кроме 1 и самого числа 26992 есть делитель «2». Следовательно, число – составное.

Пример 3. Докажите, что число 343001 – составное.
Данное число нечётное, не делится на 2. Также не делится на 3 и на 5. Признак делимости на 7 к многозначному числу применять не удобно. Применим хитрость и проверим по признаку делимости на 7 число 343. «оторвём» крайнюю справа цифру и, удвоив её, вычтем из 34:
34 - 2·3=28 – делится на 7, значит, и 343 делится на 7.
343:7=49= 72 →343= 73
Подгоним к формуле «сумма кубов»: a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
343001=343000+1= 343·1000 + 12 =a3 + b3 = 73 · 103 + 13 = (7·10)3 + 13 = 703 + 13 =(70 + 1) (702 - 70·1 + 12)
Дальше можно не вычислять: мы убедились, что у числа 343001 есть делители, кроме 1 и самого числа 343001. Например, это 71.

заканчивается шестью нулями.

и 107 163= 23 ·34·72
Требуется найти НОД(16 800; 107 163) и НОК(16 800;

107 163).

https://www.yaklass.ru/p/algebra/9-klass/neravenstva-i-sistemy-neravenstv-9125/mnozhestva-i-operatcii-nad-nimi-12443/re-65db9533-df63-4ae1-91ab-823ddd31f586
- теория: пересечение и объединение множеств, Якласс.

Рассмотрим числа:
16 800=25 ·3·52 ·7=2·2·2·2·2·3·5·5 и 107 163= 23 ·34·72 =2·2·2·3·3·3·3·7·7
Требуется найти НОД(16 800; 107 163).

Рассмотрим множества простых делителей числа 16800, это А, и множество делителей второго числа, это В.
Для наглядности, равные делители выделены разным цветом. Найдём пересечение (символ: ∩) множеств, т.е. множество А ∩ В, содержащее общие элементы множеств простых делителей:

·34·72 =2·2·2·3·3·3·3·7·7
Требуется найти НОД(2400; 31 752).
Рассмотрим множества простых

делителей числа 16800, это А, и множество делителей второго числа, это В.
Для наглядности, равные делители выделены разным цветом. Найдём пересечение (символ: ∩) множеств, т.е. множество А ∩ В, содержащее общие элементы множеств простых делителей:

Следовательно, НОД(2 400; 31 752)=2·2·2·3=24.
Проверим: 2 400 : 24 = 100; 31752 : 24 = 1 323

23 ·34·72 =2·2·2·3·3·3·3·7·7
Требуется найти НОК(16 800; 107 163).
Рассмотрим множества простых

делителей числа 16800, это А, и множество делителей второго числа, это В.
Для наглядности, равные делители выделены разным цветом. Найдём объединение (символ: ∪) множеств, т.е. множество А ∪ В, содержащее общие элементы множеств простых делителей:

Следовательно,
НОК(2 400; 31 752)=2·2·2·2·2·3·3·3·3·5·5·7·7= 3175200.

Проверим: 3175200 : 2400 = 1 323
3175200 : 31 752 = 100