Основные определения теории проверки гипотез

из генеральной совокупности с

неизвестной теоретической функцией распределения.
Определение: Статистической гипотезой называется любое предположение о виде теоретической функции распределения, то есть статистическая гипотеза – это рассматриваемое предположение о величине параметра генеральной совокупности.. Имеются две непересекающиеся гипотезы: Н0 и H1. Н0 – нулевая (основная) гипотеза, H1 – альтернативная (конкурирующая) гипотеза. Принято считать, что Н0 –гипотеза о сходстве, H1 –гипотеза о различии.
Нулевая гипотеза – это допущение, которое считается верным до тех пор, пока не будет доказано обратное, исходя из результатов статистической проверки.
Альтернативная гипотеза – это гипотеза, которая принимается, если в результате статистической проверки отвергается нулевая гипотеза.

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

позволяющее на основании наблюдений

принять нулевую гипотезу Н0 или отвергнуть ее в пользу альтернативной H1.
Проверка гипотезы может быть односторонней или двусторонней.
Определение: Односторонний критерий используется в тех случаях, когда необходимо знать, является ли параметр генеральной совокупности > (правосторонний критерий) или < (левосторонний критерий) предполагаемого значения.
Определение: Двусторонний критерий используется в тех случаях, когда интересует, отличаются ли реальные значения параметра от предполагаемого значения.
Определение: Критическую область составляют те значения выборочных статистических показателей, которые ведут к отказу от нулевой гипотезы.

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

Н0 (вероятность ошибки I рода). При статистическом анализе исследователь должен

выбрать необходимый уровень значимости. При этом считают низшим уровнем значимости значение α=0.05, достаточным уровнем - α=0.01, высшем уровнем α =0.001.
Иногда, доверительной вероятностью считается величина р=1- α
Возможные решения статистического критерия:

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

гипотезы существует вероятность того, что Н0 будет отвергнута, когда в

действительности она должна быть принята. Это называется ошибкой первого рода. Вероятность допущения ошибки первого рода это уровень значимости. Таким образом, когда выбирают 5% уровень значимости для проверки, одновременно допускают, что в 5% случаев должны отвергнуть Н0, хотя она и верна.
Определение 2: Второй вид ошибок имеет место при принятии нулевой гипотезы, в то время как в действительности она должна быть отвергнута.такая ошибка называется ошибкой второго рода.

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

соответствующего уровня значимости или вероятности отклонения гипотезы Н0 (

).
Выбор статистического метода, который зависит от типа решаемой задачи.
Вычисление значения выборочной статистики на основании наблюдений .
Если гипотеза Н0 верна, то распределение случайной величины известно (затабулировано). Нахождение по таблице для выбранного статистического метода критической области для определенного уровня значимости.
Сравнение эмпирического и критического значений. Если , то принимается Н0; если , то Н0 отвергается в пользу альтернативной.
Формулировка принятия решения (выбор гипотезы Н0 или H1).

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

об отсутствии различий. В случае попадания в зону значимости принимается

гипотеза H1 о наличии различий, а гипотеза Н0 отклоняется. При попадании выборочной статистики в зону неопределенности в зависимости от важности решаемой задачи можно принять H1 на уровне 5% или принять Н0 на 1% уровне. В этом случае можно допустить ошибки I или II рода. В этих обстоятельствах лучше увеличить объем выборки.

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

нормальной совокупности
Стандартизированный статистический критерий (тест) для проверки такой гипотезы рассчитывается

как: , (1)
где σ02– проверяемое значение генеральной дисперсии,
а S2– исправленная выборочная дисперсия, n – объем выборки.
Левосторонняя проверка: нулевая и альтернативная гипотезы имеют вид:
Н0: S2=σ2 – равенство неизвестной генеральной дисперсии S2;
Н1: S2<σ2.
Правило принятия решения: принять Н0, если , отвергнуть Н0, если

Здесь α – уровень значимости принятия гипотезы, k=n-1 – число степеней свободы - определяется по таблице χ2–распределения.

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

нормальной совокупности
Правосторонняя проверка: нулевая и альтернативная гипотезы имеют вид:
Н0: S2=σ2

– равенство неизвестной генеральной дисперсии S2;
Н1: S2>σ2.
Правило принятия решения: принять Н0, если ,
отвергнуть Н0, если .

Двусторонняя проверка: нулевая и альтернативная гипотезы имеют вид:
Н0: S2=σ2 – равенство неизвестной генеральной дисперсии S2;
Н1: S2≠σ2.
Правило принятия решения: принять Н0, если ,
отвергнуть Н0 в противном случае.

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

совокупности
Формируем гипотезы о равенстве генеральной μ и выборочной средней μ0.
Н0:

μ=μ0;
Н1: μ≠μ0.
Правило принятия решения: принять Н0, если ,
в противном случае принять Н1.
Zкрит определяется из таблиц функции Лапласа
из равенства Ф(zкрит)=(1-α)/2.

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

нулевой гипотезы представляет собой вероятность получения величины стандартизированного критерия проверки,

большего по абсолютному значению, чем рассчитанный критерий проверки.
В случае односторонней проверки Р равно площади под кривой слева (левосторонняя проверка) или справа 9правосторонняя проверка) от значения критерия проверки. В случае двусторонней проверки она равна удвоенной площади в части под кривой справа или слева от критерия проверки.




Односторонняя проверка Двусторонняя проверка

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

того, выполняется левосторонняя, правосторонняя или двусторонняя проверка. Обозначив степень значимости

для проверки через α, получим следующее правило принятия решения:
Принять Н0, если p-value≥ α
В противном случае, отвергнуть Н0.
Расчет величины р:
Для того чтобы найти величину р, прежде всего рассчитывают стандартный критерий проверки, а затем, зная число степеней свободы, находят вероятности (площади в граничных областях), соответствующие показателям статистики (F или t или z), которые охватывают снизу и сверху рассчитанный критерий проверки. После этого с помощью интерполяции, исходя из полученных вероятностей, находят величину р.

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

Х2,…, Хn, полученные в результате n наблюдений. Для того чтобы

найти статистическую оценку θ неизвестного параметра теоретического распределения через эти данные необходимо найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которые дают приближенное значение оцениваемого параметра.
Статистическую оценку, которая определяется одним числом, называют точечной.

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

эффективности и состоятельности.
Несмешанной называют статистическую оценку θ*, математическое ожидание которой

равно оценивающему параметру θ при любом объеме выборки, т.е. М(θ*)= θ .
Эффективной оценкой называют статистическую оценку θ*, которая при заданном объеме выборки n имеет наименьшую возможную дисперсию.
Состоятельной называют статистическую оценку, которая при n→ ∞ и стремится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е.:
.

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

распределения f(x, θ).
Требуется найти точечную оценку .
Для оценки

одного параметра достаточно одного уравнения, относительного этого параметра.
Пусть
Тогда
Решив уравнение относительно параметра θ , найдем точечную оценку
Следовательно оценка есть функция от вариант выборки:

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

распределения f(x, θ1, θ2).
Требуется найти точечные оценки и

Для оценки двух параметров достаточно системы двух уравнений, относительного этих параметров.
Пусть

Тогда

Решив систему относительно параметров θ1, θ2 , найдем точечные оценки
Следовательно оценки есть функции от вариант выборки:

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

которая принимает возможные значения х1, х2,…,хп. Пусть закон распределения задан,

но неизвестен параметр распределения θ . Требуется найти точечную оценку .
Вероятность того, что величина Х , примет значение хi , р(хi , θ).
Определение: Функцией правдоподобия дискретной случайной величины Х называют функцию аргумента θ

Где х1, х2,…,хп. – фиксированные числа.
Определение: Логарифмической функцией правдоподобия дискретной случайной величины Х называют функцию аргумента θ

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

, для которой функция правдоподобия достигает максимума.


Для ее

нахождения решают уравнение, называемое уравнением правдоподобия:

Если при θ= , , то - точка максимума.

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

которая пв результате испытания приняла значения х1, х2,…,хп. Пусть вид

плотности распределения f(x) известен, но неизвестен параметр распределения θ. Требуется найти точечную оценку .
Определение: Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины Х называют функцию аргумента θ:

Где х1, х2,…,хп. – фиксированные числа.
Оценку максимального правдоподобия неизвестного параметра распределения непрерывной случайной величины ищут также, как и в случае с дискретной случайной величины.

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

случайной величины Х определяется двумя неизвестными параметрами θ1, θ2, то

функция правдоподобия является функцией двух аргументов θ1, θ2 :

Где х1, х2,…,хп. – фиксированные числа.
Для нахождения параметров θ1, θ2 решают систему уравнений:

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

Х, распределенной равномерно на отрезке [0, a], оценить неизвестный параметр

а.
Сравним три способа оценивания:
Метод моментов
Метод максимального правдоподобия
Метод порядковых статистик
Где - выборочная квантиль порядка 0,5, т.е. выборочная медиана, х(k) - член вариационного ряда с номером k. (причем n=2k).

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

являются несмещенными, их математические ожидания равны истинным параметрам

а. (доказать сам-но)
Дисперсии оценок: (будет доказано на лекции)




Наименьшую дисперсию имеет третья оценка

Примечание: Для получения значения дисперсии для третьей оценки использовали:
Теорема Крамера: Выборочная р-квантиль имеет дисперсию приближенно равную
, где хр – истинная р-квантиль, f(x) – плотность распределения наблюдений выборки.

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

несмещенности).
С ростом числа наблюдений в выборке точность (величина разброса) оценок

улучшается (свойство несмещенности).
То есть размах R и стандартное отклонение S уменьшается.



3. Различные оценки различаются по величине средней ошибки. Откуда следует, что различные способы обработки наблюдений нужно сравнивать по величине среднего значения некоторого критерия качества, например среднего квадрата ошибки.

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.

степенями свободы



Распределение «Хи-квадрат» с п степенями свободы



Распределение Стьюдента с т

степенями свободы



Здесь , а Г – гамма-функция.

Лекция №3, Статистическое моделирование, Лакман И.А.