ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ПИД – РЕГУЛЯТОРА

определение оптимальных значений параметров элементов автоматической системы заданной структуры.

Критерий оптимальности

– характерный показатель, по значению которого оценивается оптимальность найденного решения, то есть степень удовлетворения поставленным требованиям.
В одной задаче может быть установлено несколько 
критериев оптимальности.

Основные понятия и определения

многокритериальной.

Целевая функция – функция, описывающая зависимость критерия (или критериев –

для многокритериальной задачи) оптимальности от параметров системы и количественно выражающая качество объекта.

Внутренние параметры системы, значения которых могут меняться в процессе оптимизации и которые являются аргументами целевой функции, называются регулируемыми параметрами.

(критериев) оптимальности
Выбор регулируемых параметров (аргументов целевой функции)
Построение целевой функции
Установление ограничений,

налагаемых на параметры

В процессе оптимизации критерий оптимальности может максимизироваться (задача на максимум), или минимизироваться (задача на минимум).
В теории оптимизации принято рассматривать только задачи на минимум, т.к. любая задача на максимум может быть сведена к задаче на минимум путем изменения знака критерия оптимальности.

моделирования.
Основная проблема постановки задачи оптимизации
заключается в построении целевой функции.

Сложность выбора целевой функции (функции качества) состоит в том, что объект автоматизации может иметь несколько критериев оптимальности, которые образуют векторный критерий оптимальности. Как правило, улучшение одного из критериев оптимальности приводит к ухудшению другого, так как все критерии оптимальности являются функциями одних и тех же регулируемых параметров и не могут изменяться независимо друг от друга.

к однокритериальной называют сверткой векторного критерия.

Если при наличии нескольких критериев

оптимальности оптимизация проводится только по одному из критериев, на другие критерии могут накладываться ограничения.

наличию или отсутствию ограничений.
Если область определения целевой функции неограниченная, т.е.

на аргументы целевой функции не наложены ограничения, то экстремум целевой функции называется безусловным, а методы поиска – методами безусловной оптимизации.
Если область определения целевой функции ограниченная, т.е. на аргументы целевой функции наложены ограничения, то искомый экстремум становится условным, а методы поиска – методами условной оптимизации.

регулятором, передаточная функция которого имеет вид

Выбор критерия оптимальности. В

качестве критерия оптимальности, в зависимости от технических требований к АС, можно выбрать время регулирования, величину перерегулирования или запас устойчивости.
Выбор регулируемых параметров. В качестве регулируемых параметров в задаче оптимизации выбираем настраиваемые параметры ПИД – регулятора
Построение целевой функции. Если в качестве критерия оптимальности выбираем время регулирования, то целевая функция имеет вид


Вычисление значений целевой функции осуществляется численными методами с использованием программы, реализованной в Octave (или в Matlab)

решение задачи оптимизации в данной постановке сводится к нахождению минимума

функции трех переменных.

В Octave и Matlab для решение задачи поиска минимума функции нескольких переменных можно использовать функцию fmincon, которая находит минимум для скалярной функции нескольких переменных с ограничениями, начиная с начального приближения х0. В общем случае, эта задача относится к условной оптимизации.
Синтаксис: [x, val] = fmincon(fun,x0,A,b) начинает с начальной точки x0, находит значения х, при которых функция fun достигает минимума и возвращает минимальное значение целевой функции fun при условии выполнения ограничений в виде линейных неравенств A*x <= b. x0 может быть скаляром или вектором.

программы в Octave и Matlab для fmincon:
x0=[kr1;kr2;kr3];
A=[1 0 0;0

1 0;0 0 -1];
ogr=[3;2;-0.01];
fun=@(x)Treg(x(1),x(2),x(3));
[R,val]=fmincon(fun,x0,A,ogr)

В Matlab для решения задачи безусловной оптимизации функции нескольких переменных можно использовать функцию fminsearch

Код программы в Matlab для fminsearch:
x0=[kr1;kr2;kr3];
fun=@(x)Treg(x(1),x(2),x(3));
[R,val]=fminsearch(fun,x0)