Перемещения деформируемых систем. Лекция 2

Общий случай формулы Максвелла – Мора для перемещения от силовых

воздействий:

Частные случаи формулы Максвелла – Мора:

а) для плоской системы общего вида

б) для стержневых систем разных типов

ΔiF,c – при
наличии
упругих
связей

Б а л к и

Ф е р м ы

ЕАз

ЕАп

Р а м ы

Изгиб

Изгиб

Кручение

Растяжение/
сжатие

Сдвиг

Сдвиг

вычисления перемещения по формуле Максвелла – Мора
Исходя из типа и

особенностей рассматриваемой системы определяется,
какие виды деформаций элементов должны быть учтены при вычислении перемещения; выбирается нужный вариант записи формулы Максвелла – Мора ( общий или частный случай ).
2. Рассматривается действительное состояние системы с определением входящих в выбранный вариант формулы М – М внутренних силовых факторов SF и реакций Rj,F упругих связей ( при их наличии ) от заданных нагрузок.
3. Рассматривается вспомогательное ( фиктивное ) состояние системы
с единичным воздействием соответствующего типа по направлению искомого перемещения; определяются внутренние силовые факторы Si
и реакции Rj,i упругих связей от единичного воздействия.
Найденные силовые факторы действительного и единичного состояний,
представленные аналитически ( функциональными выражениями внутрен-них усилий ) или графически ( в форме эпюр ) используются в соответству-ющих членах формулы М – М; аналитически или численными способами выполняется вычисление интегралов.

Примечания: 1). Если результат вычисления по формуле М – М имеет знак «плюс»,
то искомое перемещение направлено в ту же сторону, что и назначенное единичное воздействие, в случае знака «минус» – в противоположную сторону.
2). Вычисление интеграла в формуле М – М называется «перемножением эпюр».

р и м е р



x1
x2
K
EI1 GA1 kτ1 EA1
EI2
GA2
kτ2

EA2

2

x1

x2

F

h

l

Р е ш е н и е
1. Переобозначаем искомое перемещение: vK = Δ1F .
Формула Максвелла – Мора для плоской стержневой системы
с учётом изгиба, сдвига и растяжения-сжатия элементов:

Определить vK ( вертикальное перемещение точки К ).
Сечения ригеля и стойки – постоянные ( разные ).

2. Рассматриваем действительное
( грузовое ) состояние системы –
определяем внутренние силовые
факторы MF, QF и NF .

l2= h

1

l1= l

MF

QF

NF

ql1

q

ql1

ql1

3. Рассматриваем вспомогательное ( фиктивное )
состояние системы « i = 1 » с единичным воздей-
ствием по направлению искомого перемещения
( силой F1 = 1 ) – определяем внутренние силовые
факторы M1, Q1 и N1:

K

F1 = 1

i = 1

M1

1*l1

1

1

1

1

Q1

N1

mM = mQ = mN = 2

Р е ш е н и е
4. Вычисляем перемещение по формуле Максвелла - Мора:

vK = Δ1F

р и м е р



x1
x2
K
EI1 GA1 kτ1 EA1
EI2
GA2
kτ2

EA2

2

x1

x2

F

h

l

Р е ш е н и е
4. Вычисляем перемещение по формуле Максвелла - Мора:

vK = Δ1F

Определить vK ( вертикальное перемещение точки К ).
Сечения ригеля и стойки – постоянные ( разные ).

1

q

Учитывая, что E1/G1 = 2(1+ν1) ( ν1 – коэффициент Пуассона ), I1 =

( здесь r1 – радиус инерции сечения, h1 – высота сечения на участке 1 ), получаем:

От изгиба От сдвига От укорочения
стойки

l2= h

l1= l

р и м е р



x1
x2
K
EI1 GA1 kτ1 EA1
EI2
GA2
kτ2

EA2

2

x1

x2

F

h

l

Р е ш е н и е

Определить vK ( вертикальное перемещение точки К ).
Сечения ригеля и стойки – постоянные ( разные ).

1

q

От изгиба От сдвига От укорочения
стойки

Для количественной оценки вклада каждого вида деформации
в определяемое перемещение рассмотрим случай, когда ригель
и стойка изготовлены из одного материала ( E1 = E2 , G1 = G2 ):

Для большинства изотропных материалов ν1 = 0,15 … 0,3; для сечений от прямоугольных
до двутавровых η1 = 0,3…0,45; kτ1 = 1,2…3, тогда

Если ригель и рама имеют одинаковые сечения ( А1 = А2 , I1 = I2 ) и длины ( l1 = l2 ),
то

где второе слагаемое в скобках оценивает суммарный вклад в перемещение vK деформации сдвига
( в ригеле ) и сжатия стойки. При обычных пропорциях колонн и ригелей рамных строительных
конструкций h1 / l1 = 1/8 … 1/15, и тогда доля перемещения за счёт сдвига и сжатия в сумме составляет
0,25 … 3,4 % от перемещения, возникающего от деформации изгиба элементов. При этом вклад сдвига
в 1,4 … 4 раза превышает вклад сжатия.

l2= h

l1= l

– МОРА


C2

f1
lj
Возможные варианты:
f1(xj)
или
f2(xj) f1(xj)


Условие применимости:
одна

из функций ( f1 ) – линейная
( при этом f2 может быть любой – сложной или линейной )

f2

xj

dxj

a

f1(xj )

f2(xj )

α

y

Правило Верещагина
( А.К. Верещагин, 1925 )

f2(xj)

Результат «перемножения эпюр» f1 и f2 , из которых одна ( f1 ) линейная, равен произведению площади «сложной» эпюры ( f2 ) на ординату линейной эпюры
в месте расположения центра тяжести «сложной»:

– МОРА
lj
Возможные варианты:
Условие применимости:
Формула Симпсона
( T. Simpson, 1710

– 1761 )

единое аналитическое выражение функции Ф(xj) в интервале [ 0; lj ]

Ф(xj)

b

xj

Общий случай:
интервал интегрирования разбивается на n равных участков
( n – чётное )

d

d

d

d

…

Ф0

Ф1

Ф2

Ф3

Фn

Фn – 1

Частный случай:
n = nmin = 2

d = lj /2

xj

Фb

Фc

Фe

Ф(xj)

d = lj /2

c

e

Свойство: если Ф(xj) – полином до 3-й степени
включительно, то результат – точный.

– МОРА
П р и м е р
3 м
2
3

F = 40 кН

q = 20 кН/м

R1,F = 90 кН

C1

EI1

EI2

K

10

40

20

MF
( кН*м )

F

F1 = 1

R1,1 = 1,5

M1
(1*м)

1

2

1

1

1,5

i = 1

1,5

0,5

0,75

45

0,5

0

100

Т р е б у е т с я :
определить вертикальное

перемещение vK точки К.
EI2 = 2EI1 ; С1 = 5м –3EI1

Интегралы в формуле
Максвелла – Мора вычисляем
на участках 1 и 5
по правилу Верещагина,
а на участках 2, 3 и 4 –
по формуле Симпсона:

2

4

2

40

2

3

4

5

K

|vK|

МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА

Р а в н о

в е с н ы е с о с т о я н и я

Начальное ( условно
недеформированное )
состояние системы

tinit

tint

text

Действительное
состояние системы
после изменения температуры

tinit – начальное
поле температур

Δ text = text – tinit

Δ tint = tint – tinit

a

a1

i

Δit

t

tint

text

рабочие ( эксп-
луатационные )
температуры

i

a

Fi = 1

i

Вспомогательное ( фиктивное )
единичное состояние системы

Wext, ti + Wint, ti = 0

Wext, it + Wint, it = 0

=

0

Wint, ti = 0

Δit = – Wint, it

Fi * Δit

ds

ds

Qi

Qi

Ni

Ni

Mi

ds

Mi + dMi

Qt

Nt

Mt

Mt + dMt

Qt

Nt

ds

ds

Δ t

МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА

Р а в н о

в е с н ы е с о с т о я н и я

tinit

tint

text

Действительное
состояние системы
после изменения температуры

tinit – начальное
поле температур

Δ text = text – tinit

Δ tint = tint – tinit

a

a1

i

Δit

t

tint

text

рабочие ( эксп-
луатационные )
температуры

i

a

Fi = 1

i

Вспомогательное ( фиктивное )
единичное состояние системы

Wext, ti + Wint, ti = 0

Wext, it + Wint, it = 0

=

0

Wint, ti = 0

Fi * Δit

ds

ds

Qi

Qi

Ni

Ni

Mi

ds

Mi + dMi

Qt

Nt

Mt

Nt

ds

Mt + dMt

Qt

Δ dst

dθt

Свободные
( нестеснённые )
температурные
деформации

Силовые
( в частном случае –
упругие )
деформации

Δ t

Mi
Si Ni
Qi

Δit = – Wint, it

МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА

Р а в н о

в е с н ы е с о с т о я н и я

tinit

tint

text

Действительное
состояние системы
после изменения температуры

tinit – начальное
поле температур

Δ text = text – tinit

Δ tint = tint – tinit

a

a1

i

Δit

t

tint

text

рабочие ( эксп-
луатационные )
температуры

i

a

Fi = 1

i

Вспомогательное ( фиктивное )
единичное состояние системы

Wext, ti + Wint, ti = 0

Wext, it + Wint, it = 0

=

0

Wint, ti = 0

Fi * Δit

ds

ds

Qi

Qi

Ni

Ni

Mi

ds

Mi + dMi

Qt

Nt

Mt

Nt

ds

Mt + dMt

Qt

Δ dst

dθt

Δ t

Mi
Si Ni
Qi

Свободные
( нестеснённые )
температурные
деформации

Силовые
( в частном случае –
упругие )
деформации

Wint, ti

=

Δit = – Wint, it

МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА

Р а в н о

в е с н ы е с о с т о я н и я

tinit

tint

text

Действительное
состояние системы
после изменения температуры

tinit – начальное
поле температур

Δ text = text – tinit

Δ tint = tint – tinit

a

a1

i

Δit

t

tint

text

рабочие ( эксп-
луатационные )
температуры

i

a

Fi = 1

i

Вспомогательное ( фиктивное )
единичное состояние системы

Wext, ti + Wint, ti = 0

Wext, it + Wint, it = 0

=

0

Wint, ti = 0

Fi * Δit

ds

ds

Qi

Qi

Ni

Ni

Mi

ds

Mi + dMi

Qt

Nt

Mt

Nt

ds

Mt + dMt

Qt

Δ dst

dθt

Δ t

Mi
Si Ni
Qi

Свободные
( нестеснённые )
температурные
деформации

Силовые
( в частном случае –
упругие )
деформации

Wint, ti

=

Δit = – Wint, it

МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА

Р а в н о

в е с н ы е с о с т о я н и я

tinit

tint

text

Действительное
состояние системы
после изменения температуры

tinit – начальное
поле температур

Δ text = text – tinit

Δ tint = tint – tinit

a

a1

i

Δit

t

tint

text

рабочие ( эксп-
луатационные )
температуры

i

a

Fi = 1

i

Вспомогательное ( фиктивное )
единичное состояние системы

Wext, ti + Wint, ti = 0

Wext, it + Wint, it = 0

=

0

Wint, ti = 0

Fi * Δit

ds

ds

Qi

Qi

Ni

Ni

Mi

ds

Mi + dMi

Qt

Nt

Mt

Nt

ds

Mt + dMt

Qt

Δ dst

dθt

Δ t

Mi
Si Ni
Qi

Свободные
( нестеснённые )
температурные
деформации

Силовые
( в частном случае –
упругие )
деформации

Δit = – Wint, it

возможная работа внутренних
сил i-го состояния на нестеснён-
ных температурных деформациях

МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА



tinit

tint
text
Действительное
состояние системы
после изменения температуры




tinit – начальное

поле температур

Δ text = text – tinit

Δ tint = tint – tinit

a

a1

i

Δit

t

tint

text

рабочие ( эксп-
луатационные )
температуры

i

a

Fi = 1

i

Вспомогательное ( фиктивное )
единичное состояние системы

ds

ds

Qi

Qi

Ni

Ni

Mi

ds

Mi + dMi

ds

Δ t

Mi
Si Ni
Qi

возможная работа внутренних сил i-го состояния
на свободных ( нестеснённых ) температурных
деформациях

В случае стационарного
теплового режима
однородного стержня:

1

2

0

z

y

h1

h2

Δt1

Δt2

Δt0

> Δt2

h

Эпюра Δt

ds

ds

Δt0

с

k

Δtnr

Равномерное удлинение
(укорочение)

Искривление

Деформация
сдвига не учиты-вается ( в случае постоянного сечения фактически
отсутствует )

α – коэффициент линейного
температурного расширения
материала

МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА



tinit

tint
text
Действительное
состояние системы
после изменения температуры




tinit – начальное

поле температур

Δ text = text – tinit

Δ tint = tint – tinit

a

a1

i

Δit

t

tint

text

рабочие ( эксп-
луатационные )
температуры

i

a

Fi = 1

i

Вспомогательное ( фиктивное )
единичное состояние системы

ds

ds

Qi

Qi

Ni

Ni

Mi

ds

Mi + dMi

ds

Mi
Si Ni
Qi

возможная работа внутренних сил i-го состояния
на свободных ( нестеснённых ) температурных
деформациях

В случае стационарного
теплового режима
однородного стержня:

1

2

0

z

y

h1

h2

Δt1

Δt2

Δt0

> Δt2

h

Эпюра Δt

ds

ds

Δt0

с

k

Δtnr

Равномерное удлинение
(укорочение)

Искривление

α – коэффициент линейного
температурного расширения
материала

МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА



tinit

tint
text
Действительное
состояние системы
после изменения температуры




tinit – начальное

поле температур

Δ text = text – tinit

Δ tint = tint – tinit

a

a1

i

Δit

t

tint

text

рабочие ( эксп-
луатационные )
температуры

i

a

Fi = 1

i

Вспомогательное ( фиктивное )
единичное состояние системы

ds

ds

Qi

Qi

Ni

Ni

Mi

ds

Mi + dMi

ds

Mi
Si Ni
Qi

возможная работа внутренних сил i-го состояния
на свободных ( нестеснённых ) температурных
деформациях

В случае стационарного
теплового режима
однородного стержня:

1

2

0

z

y

h1

h2

h

ds

ds

Δt0

с

k

Δtnr

Равномерное удлинение
(укорочение)

Искривление

α – коэффициент линейного
температурного расширения
материала

МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА



tinit

tint
text
Действительное
состояние системы
после изменения температуры




tinit – начальное

поле температур

Δ text = text – tinit

Δ tint = tint – tinit

a

a1

i

Δit

t

tint

text

рабочие ( эксп-
луатационные )
температуры

i

a

Fi = 1

i

Вспомогательное ( фиктивное )
единичное состояние системы

ds

ds

Qi

Qi

Ni

Ni

Mi

ds

Mi + dMi

ds

Mi
Si Ni
Qi

возможная работа внутренних сил i-го состояния
на свободных ( нестеснённых ) температурных
деформациях

В случае стационарного
теплового режима
однородного стержня:

1

2

0

z

y

h1

h2

h

ds

ds

Δt0

с

k

Δtnr

Равномерное удлинение
(укорочение)

Искривление

α – коэффициент линейного
температурного расширения
материала

МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА



tinit

tint
text
Действительное
состояние системы
после изменения температуры




tinit – начальное

поле температур

Δ text = text – tinit

Δ tint = tint – tinit

a

a1

i

Δit

t

tint

text

рабочие ( эксп-
луатационные )
температуры

i

a

Fi = 1

i

Вспомогательное ( фиктивное )
единичное состояние системы

ds

ds

Qi

Qi

Ni

Ni

Mi

ds

Mi + dMi

ds

Mi
Si Ni
Qi

В случае стационарного
теплового режима
однородного стержня:

1

2

0

z

y

h1

h2

h

ds

ds

Δt0

с

k

Δtnr

Равномерное удлинение
(укорочение)

Искривление

Вариант записи формулы М – М:

α – коэффициент линейного
температурного расширения
материала

МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА



tinit

tint
text
Действительное
состояние системы
после изменения температуры




tinit – начальное

поле температур

Δ text = text – tinit

Δ tint = tint – tinit

a

a1

i

Δit

t

tint

text

рабочие ( эксп-
луатационные )
температуры

i

a

Fi = 1

i

Вспомогательное ( фиктивное )
единичное состояние системы

ds

ds

Qi

Qi

Ni

Ni

Mi

ds

Mi + dMi

ds

Mi
Si Ni
Qi

В случае стационарного
теплового режима
однородного стержня:

1

2

0

z

y

h1

h2

h

ds

ds

Δt0

с

k

Δtnr

Равномерное удлинение
(укорочение)

Искривление

Вариант записи формулы М – М:

МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА



tinit

tint
text
Действительное
состояние системы
после изменения температуры




tinit – начальное

поле температур

Δ text = text – tinit

Δ tint = tint – tinit

a

a1

i

Δit

t

tint

text

рабочие ( эксп-
луатационные )
температуры

i

a

Fi = 1

Вспомогательное ( фиктивное )
единичное состояние системы

ds

ds

Qy,t

Ni

Ni

Mz,i

ds

Mz,i + dMz,i

ds

Mz,i
Si My,i
Ni

В случае стационарного
теплового режима
однородного стержня:

2

0

z

y

h1

h2

Δt1

Δt2

Δt0

> Δt2

h

Эпюра Δt

ds

ds

Δt0

с

k

Δtnr, y

Равномерное удлинение
(укорочение)

Искривление

Qy,t

3

4

b3

b4

b

Δt0

Δt3

Δt4

Обобщение на случай
пространственной
температурной деформации:

i

1

МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА



tinit

tint
text
Действительное
состояние системы
после изменения температуры




tinit – начальное

поле температур

Δ text = text – tinit

Δ tint = tint – tinit

a

a1

i

Δit

t

tint

text

рабочие ( эксп-
луатационные )
температуры

i

a

Fi = 1

Вспомогательное ( фиктивное )
единичное состояние системы

ds

ds

Qy,t

Ni

Ni

Mz,i

ds

Mz,i + dMz,i

ds

Mz,i
Si My,i
Ni

В случае стационарного
теплового режима
однородного стержня:

2

0

z

y

h1

h2

Δt1

Δt2

Δt0

> Δt2

h

Эпюра Δt

ds

ds

Δt0

с

k

Δtnr, y

Равномерное удлинение
(укорочение)

Искривление

Qy,t

3

4

b3

b4

b

Δt0

Δt3

Δt4

Сокращённая запись формулы М – М:

i

ρz,t
ρy,t
ε0, t

1

МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА
И с х о д н

ы е д а н н ы е:
материал всех стержней рамы – сталь с коэффициентом
температурного линейного расширения α = 12*10–6 (oC)–1;
высоты сечений – ригеля hp = 50 см, стоек hc = 30 см
(сечения симметричные).

K

6 м

3

2

1

text = – 30oC

tint = + 20oC

П р и м е р

Т р е б у е т с я: определить горизонтальное перемещение uK узла К от изменения температуры при переходе от начального состояния конструкции с общей температурой tinit = +15oC
к эксплуатационному тепловому режиму с наружной темпера-
турой text = –30oC и внутренней ( в объёме, ограниченном элементами рамы ) tint = +20oC.

Р е ш е н и е:
1. Перемещение uK = Δ1t определяется
по формуле:

Δt2,2 = –45оС

1

3

4

Δt1,2 = +5оС

Δt1,4 = +5оС

Δt2,4 = +5оС

Δt1,1 = +5оС

Δt2,1 = –45оС

Δt2,3 =
=+5оС

Δt1,3 = –45оС

Δt0,2 = –20оС
Δtnr,2 = +50оС

Δt0,4 = +5оС
Δtnr,4 = 0оС

Δt0,3 = –20оС
Δtnr,3 = –50оС

Δt0,1 = –20оС
Δtnr,1 = +50оС

2

2а. Приращения температур элементов
в действительном состоянии системы

t

2б. Температурные деформации стержней:

ρt,1 = – ρt,3 = 12*10–6*(+50)/0,3 = 20*10–4 ( м–1 )

ρt,2 = 12*10–6*(+50)/0,5 = 12*10–4 ( м–1 ); ρt,4 = 0

ε0,t,1 = ε0,t,2 = ε0,t,3 = 12*10–6*(–20) = –2,4*10–4

ε0,t,4 = 12*10–6*(+5) = 0,6*10–4

МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА
И с х о д н

ы е д а н н ы е:
материал всех стержней рамы – сталь с коэффициентом
температурного линейного расширения α = 12*10–6 (oC)–1;
высоты сечений – ригеля hp = 50 см, стоек hc = 30 см
(сечения симметричные).

K

6 м

3

2

1

text = – 30oC

П р и м е р

Т р е б у е т с я: определить горизонтальное перемещение uK узла К от изменения температуры при переходе от начального состояния конструкции с общей температурой tinit = +15oC
к эксплуатационному тепловому режиму с наружной темпера-
турой text = –30oC и внутренней ( в объёме, ограниченном элементами рамы ) tint = +20oC.

Р е ш е н и е:
1. Перемещение uK = Δ1t определяется
по формуле:

2б. Температурные деформации стержней:

ρt,1 = – ρt,3 = 12*10–6*(+50)/0,3 = 20*10–4 ( м–1 )

ρt,2 = 12*10–6*(+50)/0,5 = 12*10–4 ( м–1 ); ρt,4 = 0

ε0,t,1 = ε0,t,2 = ε0,t,3 = 12*10–6*(–20) = –2,4*10–4

ε0,t,4 = 12*10–6*(+5) = 0,6*10–4

tint = + 20oC

2в. Эпюры температурных деформаций
в действительном состоянии системы

20

20

12

0

2,4

2,4

2,4

0,6

ρt

ε0,t

( 10–4 м–1 )

( 10–4 )

Правило: эпюра ρt
cтроится на «более теплых» волокнах

МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА






K
6 м
3




2

1

text = – 30oC

П р и м е р

2б. Температурные деформации стержней:

ρt,1 = – ρt,3 = 12*10–6*(+50)/0,3 = 20*10–4 ( м–1 )

ρt,2 = 12*10–6*(+50)/0,5 = 12*10–4 ( м–1 ); ρt,4 = 0

ε0,t,1 = ε0,t,2 = ε0,t,3 = 12*10–6*(–20) = –2,4*10–4

ε0,t,4 = 12*10–6*(+5) = 0,6*10–4

3. Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы

K

F1= 1

i = 1

M1
( м )

1

2

2

2

N1

1/3

1/3

2/3

2/3

5/3

5/3

tint = + 20oC

20

20

12

0

2,4

2,4

2,4

0,6

ρt

ε0,t

( 10–4 м–1 )

( 10–4 )

Правило: эпюра ρt
cтроится на «более теплых» волокнах

Р е ш е н и е:
1. Перемещение uK = Δ1t определяется
по формуле:

2в. Эпюры температурных деформаций
в действительном состоянии системы

4. Вычисление перемещения по формуле М – М:

МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА






K
6 м
3




2

1

text = – 30oC

П р и м е р

4. Вычисление перемещения по формуле М – М:

K

F1= 1

i = 1

M1
( м )

1

2

2

2

N1

1/3

1/3

2/3

2/3

5/3

5/3

tint = + 20oC

20

20

12

0

2,4

2,4

2,4

0,6

ρt

ε0,t

( 10–4 м–1 )

( 10–4 )

Правило: эпюра ρt
cтроится на «более теплых» волокнах

Р е ш е н и е:
1. Перемещение uK = Δ1t определяется
по формуле:

2в. Эпюры температурных деформаций
в действительном состоянии системы

3. Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы

МОРА

Р а в н о в е с н

ы е
с о с т о я н и я

Действительное состояние системы
с кинематическими возмущениями
( смещениями связей )

a

a1

i

Δic

с

i

a

Fi = 1

i

Вспомогательное ( фиктивное )
единичное состояние системы

Wext, ci + Wint, ci = 0

Wext, ic + Wint, ic = 0

=

0

Wint, ci = 0

Δ(1)

Δ( j )

Δ(2)

Δ( r )

r – число компонентов
заданных смещений
связей

R( j ), i

R( r ), i

R( 1 ), i

R( 2 ), i

= – Wint, ci

Правило знаков для единичных реакций смещаемых связей:
реакция R( j ), i положительная,
если её возможная работа
на перемещении Δ( j ) положительная
( иначе: векторы R( j ), i и Δ( j )
направлены в одну и ту же сторону )

е р
Т р е б у е т с я:
определить

горизонтальное перемещение uK
узла К от углового и линейных смещений
опор А и В.

Р е ш е н и е:
1. Перемещение uK = Δ1c определяется
по формуле:

1,5 см

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ СМЕЩЕНИЙ СВЯЗЕЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА

А

В

В*

1 см

1,2 см

0,002

А*

2. Действительное состояние системы
с заданными смещениями связей

Нумерация компонентов смещений связей

Δ(4) = 1,5 см

Δ(2) = 1 см

Δ(3) = 1,2 см

Δ(1) = 0,002

с

3. Вспомогательное ( фиктивное )
единичное состояние системы

K

F1= 1

i = 1

А

В

R( 1 ), 1

R( 2 ), 1

R( 3 ), 1

R( 4 ), 1

= –1

= –1/3

= 1/3

= 1м

4. Вычисление перемещения по формуле М – М:

СИСТЕМ
Сокращённая форма записи:
Изгиб
Изгиб
Кручение
Растяжение/
сжатие
Сдвиг
Сдвиг
Деформации
упругих связей
Температурные
искривления
Температурные
искривления
Продольные температурные
деформации
Смещения связей
От силовых воздействий ( нагрузок

)

От изменения температуры

От смещений связей

е в о п р о с ы
( в

скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 30» )
1. Частные случаи формулы Максвелла – Мора ( ФМ – М ) для перемещений от силовых
воздействий: а) в случае плоской стержневой системы; ( 2 )
б) для стержневых систем разных типов. ( 2 )
2. Алгоритм вычисления перемещения по ФМ – М. ( 3 )
3. Как истолковываются знаки « + » или « – » в результате вычисления перемещения
по ФМ – М? ( 3 )
4. Что означает термин «перемножение эпюр»? ( 3 )
5. Формулировка правила Верещагина для «перемножения эпюр». Каково необходимое
условие применимости правила Верещагина? ( 7 )
6. Как используется правило Верещагина для «перемножения эпюр» в случае, когда «гру- зовая» эпюра – параболическая общего вида? ( разложение на простые составляющие – самостоятельно )
7. Формула Симпсона, условие её применимости для «перемножения эпюр». ( 8 )
8. В каких случаях вычисление интегралов в ФМ – М по формуле Симпсона даёт точный
результат? ( 8 )
9. Формула Максвелла – Мора для перемещения от изменения температуры,
варианты её записи. ( 18 – 22 )
10. От каких характеристик температурного режима и параметров системы зависит
температурное перемещение? ( 15 )
_11. Как вычисляются нестеснённые температурные деформации ( кривизна
и относительная продольная деформация ) в ФМ – М для перемещения
от изменения температуры? ( 19 )
___________________________________________________
*) Только в режиме «Показ слайдов»

е в о п р о с ы
( в

скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 31» )
12. Почему в ФМ – М для температурного перемещения отсутствуют характеристики
жёсткости элементов системы? ( 12 )
13. Правила знаков для температурных деформаций. Как стоится эпюра кривизн? ( 24 )
14. Формула Максвелла – Мора для перемещения от кинематических воздействий
( смещений связей ). ( 27 )
15. Правило знаков для единичных реакций смещаемых связей. ( 27 )
16. Универсальная формула Максвелла – Мора для перемещений линейно деформируемых пространственных стержневых систем ( полная развернутая запись ). ( 29 )
17. Сокращённая запись универсальной формулы Максвелла – Мора,
смысл её составляющих. ( 29 )
_____________________________________________________
*) Только в режиме «Показ слайдов»