ПЛАНИРОВАНИЕ ПОЛНЫХ ФАКТОРНЫХ И ДРОБНЫХ ФАКТОРНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

совершаемых над объектом исследования с целью получения информации об его

свойствах

Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта.

Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов.

Можно получить хорошо аппроксимирующую математическую модель, если целенаправленно применяется активный эксперимент.

Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих
независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение.

данных, определяющих число, условия и порядок проведения опытов.

Планирование эксперимента

– выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий).

Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

в виде математической модели, возникают
погрешности и теряется часть информации,

содержащейся в
исходных данных.

Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности.

Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.

опытов, при которых удается получить надежную и достоверную информацию об

объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

Пусть интересующее нас свойство (Y) объекта зависит от нескольких (n) независимых переменных (Х1, Х2, …, Хn) и мы хотим выяснить характер этой зависимости - Y=F(Х1, Х2, …, Хn), о которой мы имеем лишь общее представление.

Величина Y – отклик, а сама зависимость Y=F(Х1,Х2, …, Хn) – функция отклика.

Независимые переменные Х1, Х2, …, Хn – факторы.

Диапазоны изменения факторов задают область определения Y.

Если принять, что каждому фактору соответствует координатная ось, то полученное пространство называется факторным пространством.

При n=2 область определения Y представляется собой прямоугольник, при n=3 – куб, при n >3 - гиперкуб.

контролировать, чтобы в этих диапазонах любые
сочетания факторов были бы

реализуемы в опытах и не приводили
бы к абсурду.

Для каждого из факторов указывают граничные значения

Регрессионный анализ функции отклика предназначен для
получения ее математической модели в виде уравнения регрессии




– некоторые коэффициенты;


е – погрешность.

• планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей

совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;
• планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами;
• планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);
• планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования;
• планирование при изучении динамических процессов и т.д.

ответы на 4 вопроса:

• Какие сочетания факторов и сколько

таких сочетаний необходимо взять для определения функции отклика?
• Как найти коэффициенты В0, В1, …, Bm?
• Как оценить точность представления функции отклика?
• Как использовать полученное представление для поиска оптимальных значений Y?

…, Хn.

При трех и более факторах задача становится

неразрешимой. Если и будут найдены решения, то использовать совокупность выражений достаточно трудно, а часто и не реально

Рис. 1. Поверхность отклика

на потери давления и расход жидкости
проектировании гидравлической сети

(рис. 2).

по шесть точек, то для того чтобы выполнить опыты при

всех возможных сочетаниях значений факторов (их три) необходимо выполнить опытов и сформировать по 62=36 кривых для каждой из двух функций отклика.

Если мы хотим хотя бы продублировать опыты чтобы снизить погрешность, то число опытов пропорционально возрастает, поэтому произвольное выполнение опытов при числе факторов более двух и использование их результатов – практически нереально.

заранее не известно аналитическое выражение функции
отклика, то можно рассматривать

не саму функцию, а ее разложение,
например, в степенной ряд в виде полинома

Y=В0 + B1Х1 + … + BnХn + В12Х1Х2 + … Вnn-1ХnХn-1 + В11Х12+ … + ВnnXn2 +….

Разложение в степенной ряд функции возможно в том случае,
если сама функция является непрерывной. На практике обычно
ограничиваются числом членов степенного ряда и аппроксимируют
функцию полиномом некоторой степени.

резко отличаться количественно.

В теории планирования эксперимента используют кодирование

факторов.

Рис. 3. Пространство кодированных факторов

Эта операция заключается в выборе нового масштаба для
кодированных факторов (рис. 3), причем такого, чтобы минимальное значение кодированных факторов соответствовало “-1”, а максимальное значение “+1”, а также в переносе начала координат в точку с координатами Х1ср, Х2ср, …, Хnср

xi – кодированное значение фактора;
Xicp -Ximin =Ximax-Xicp -

интервал варьирования фактора.


Граница совместимости факторов указана на рис. 3 в виде кривой линии.

Если фактор изменяется дискретно, например он является качественным, то каждому уровню этого кодированного фактора присваиваются числа в диапазоне от +1 до –1.

Так при двух уровнях это +1 и –1, при трех уровнях +1, 0, -1 и т.д.

и записана в полиномиальном виде
Y=b0+b1х1+b2х2+…+bnхn+b12х1х2+…+bnn-1хn-1хn+b11х12+…+bnnхn2+…. (4)
Очевидно, что

но
Y=F(Xi,...,

Xb..., Хn)= f(xi,... xi,..., Хn)

Для полинома, записанного в кодированных факторах, степень влияния факторов или их сочетаний на функцию отклика определяется величиной их коэффициента bi.
Для полинома в именованных факторах величина коэффициента Вi
еще не говорит однозначно о степени влияния этого фактора или их сочетаний на функцию отклика.

необходимо не менее m+1 уравнений (опытов).

Полученные коэффициенты B позволяют

сформировать уравнение функции отклика при m+1 членах уравнения.

Если точность этого уравнения оказалась недостаточной, то требуется
взять уравнение с большим числом членов и начать все заново так
как все коэффициенты B оказываются зависимыми друг от друга.

Это возникает при использовании пассивного эксперимента. Однако если
целенаправленно использовать активный эксперимент и особым
образом построить матрицу сочетаний факторов в опытах Х, использовать планирование эксперимента, то коэффициенты полинома определяются независимо друг от друга.

усложнения модели.

Начинают с простейшей модели, находятся для нее коэффициенты,

определяется ее точность. Если точность не удовлетворяет, то планирование и модель постепенно усложняются.

уровней факторов, называют полным факторным экспериментом
(ПФЭ).
При двух уровнях

имеем ПФЭ типа 2к. Число опытов для
данного случая будет равно N = 2к

Условие эксперимента записываются в виде таблицы.

Строки её соответствуют различным опытам (вектор-строка),
столбцы - значениям факторов в кодированном виде (вектор-столбцы).

Такие таблицы называются матрицами планирования эксперимента
(МПЭ).

Число опытов N=22=4.

Таблица 1

комбинация факторов представляет собой вершину квадрата.

В области определения факторов

находят точку соответствующую основному уровню, Через эту точку проводят новые оси координат, параллельно осям натуральных значений факторов. Затем выбирают масштабы по новым осям для каждого фактора согласно выражению (1).

Рис. 4. Геометрическое представление ПФЭ

члена b0 .
Коэффициенты b0,b1,b2 оцениваются согласно выражений

те, которые определяют качество
модели, т.е. эти свойства делают оценки

коэффициентов модели
наилучшими.

Первые два свойства вытекают из построения матрицы.

Симметричность относительно центра эксперимента.
Алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равно
нулю 0 где j- номер фактора, N - число опытов.


Условие нормировки. Сумма квадратов элементов каждого
столбца равна числу опытов

Ортогональность матрицы. Сумма почленных произведений
любых двух векторов-столбцов матрицы равна нулю 0

оценки для
коэффициентов уравнения регрессии независимые друг от друга.

Иными

словами ортогональность характеризует отсутствие корреляции между факторами.

Однако, если имеет место нелинейность, то столбцы взаимодействий окажутся неразличимы, закоррелироваными с некоторыми столбцами линейных эффектов.

Это приводит к тому, что по результатам данного эксперимента становится невозможным разделить коэффициенты регрессии между линейными и нелинейными факторами.

для всех точек пространства переменных x, лежащих на одинаковых расстояниях

от центра (все точки плана лежат на окружности (сфере, гиперсфере), центр которой совпадает с центром плана).

первом этапе, всегда стремятся получить линейную модель.

Для двух факторов модель

представляют в виде выражения (2). Однако не всегда экспериментатор имеет гарантии, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью.

Часто встречающийся вид нелинейности связан с эффектом взаимодействия между факторами.

ПФЭ позволяет оценить кроме коэффициентов при линейных эффектах коэффициенты взаимодействия.

(4)
Матрица полнофакторного эксперимента с учетом фактора взаимодействия для ПФЭ 22

показана в табл. 2

Таблица 2

Коэффициенты уравнений регрессии оцениваются следующим образом:

столбцов , x0 и x1x2 ,то они служат только для

расчета.

Нахождение модели методом ПФЭ состоит из следующих этапов:

• Выбор модели
• Планирование эксперимента
• Экспериментирование.
• Проверка однородности дисперсии (воспроизводимости).
• Проверка значимости коэффициентов.
• Проверка адекватности модели.

если имеется соответствующая информация,
факторы в матрице в порядке убывания

степени их влияния на целую
функцию;
• стремятся выполнить требования рандомизации варьирования
уровней;
• при составлении матрицы уменьшают частоту чередования
уровней при переходе от x1 к x2, от x2 к x3 и т.д. каждый раз вдвое.

В качестве уравнения регрессии берем неполную квадратичную модель.
Введем обозначение

переменных x через z, тогда

числа строк в плане ПФЭ 2n может являться насыщенным,

при выборе числа членов уравнения m+1=N, ненасыщенным, при выборе числа членов уравнения и соответственно числа столбцов плана m+1N.

могут отсутствовать. И тогда ПФЭ будет обладать избыточностью опытов.

Рассмотрим

пути минимизации числа опытов.

Обратимся к уравнению (2). Если мы располагаем сведениями о том, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента b0 ,b1 ,b2.

В результате остается одна степень свободы, т.к. имеем четыре опыта, а количество констант три. Используем эту степень свободы для минимизации числа опытов.
При линейном приближении b12 →0 и тогда вектор-столбец х1х2 может быть
использован для нового фактора х3.

Пример. Допустим х1 и х2х3 между собой неразличимы. Однако
парные

взаимодействия в линейной модели незначительны.
Зато вместо восьми опытов для изучения влияния трех факторов можно
поставить только четыре опыта, т.е. вместо ПФЭ 23 мы имеем 23-1. В
теории эксперимента 23-1 называют полурепликой.

В общем случае имеют дело с дробной репликой. А факторный эксперимент называют дробным (ДФЭ).

позволяет определить какие оценки смешаны друг с другом, не изучая

МПЭ для выявления совпадающих столбцов.

Для этого используется символичное обозначение произведения столбцов равного +1 или -1. Это и называют контрастом. Чтобы определить какой эффект смешан с данным, нужно помножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту.

построении
полуреплики 23-1 имеется только две возможности приравнять х3

либо к «+х1х2», либо к «-х1х2» (табл.5).

Таблица 5

Возьмем в качестве определяющего контраста −1 = x1x2x3 .Тогда −x1 = x21x2x3
Учитывая, что x2 =1 получаем x1 = −x2x3 .

Теперь возьмем за определяющий контраст +1 = x1x2x3.

Получаем: x1 = x2x3, x2 = x1x3, x3 = x1x2,

Эти выражения показывают, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками (5).

генерирующим соотношением.

При выборе полуреплики 24-1 возможны восемь генерирующих соотношений:

фактора и носят название планов с расширяющей способностью III

(по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте).

Реплики 7-8 имеют по четыре фактора и обладают максимальной разрешающей способностью. Их называют главными репликами. Всегда стремятся выбрать реплику с наибольшей разрешающей способностью, т.к. чем больше эффектов взаимосвязано, тем точнее окажется полученная модель.

Однако, если имеется информация об эффектах взаимодействия,
то реплики нужно выбирать с ее учетом.

Реализация МПЭ ДФЭ ничем не отличается от реализации МПЭ ПФЭ. Методика оценки значимости коэффициентов и проверка адекватности модели проводится также как и в ПФЭ.

пятью факторами.
Возьмём реплику 25-2. Получаем 8 опытов вместо 32.

Возможны 12 решений, если приравнять х4 парному взаимодействию, а х5 - тройному.

, 1=х1х2х3х5.

Перемножим эти определяющие константы, получим третье соотношение:

1=x3x4x5.

Для того чтобы полностью охарактеризовать разрешающую
способность реплики, вводят понятие обобщающего определяющего
контраста : 1= х1х2х4= x3x4x5=х1х2х3х5.

Система смешивания столбца определяется умножением
обобщающего определяющего контраста последовательно на х1,х2,х3:

например:
b21→β21+ β4+β35+ β12345
то ставят вторую серию опытов с

другой репликой, например
берут вариант 4.

Дробные реплики находят широкое применение при получении линейных моделей, причем, целесообразность применения их возрастает с ростом количества факторов. Эффективность применения дробных реплик зависит от выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия.

учитывались только линейные эффекты и эффекты взаимодействия.

В некоторых случаях

существенными могут оказаться коэффициенты при квадратных переменных, их кубов и т.д.

Для двухфакторного эксперимента модель может быть представлена выражением

(5)

Полученные вектор - столбцы x12 и x22 являются единичными столбцами, совпадающие друг с другом и с фиктивным столбцом x0.

Эти столбцы неразличимы, поэтому нельзя сказать за счет чего
получилась величина b0 . Очевидно, она включает в себя значения
свободного члена β0 и вклады квадратичных членов.

записать:
Следовательно, планирование эксперимента на двух уровнях не дает возможности

получить раздельные оценки коэффициентов при
квадратичных членах и фиктивной переменной x0.

Согласно теории интерполяции, для решения задачи нахождения
раздельных оценок число уровней каждой из независимых переменных должно быть на единицу больше степени интерполяционного полинома. Для полинома второй степени число уровней должно быть равно трем.

резкого увеличения опытов эксперимента.

Поэтому разработаны специальные методы построения планов

второго порядка.

Например, в качестве двухфакторных планов второго порядка могут служить планы, представляемые вершинами и, по крайней мере, одной центральной точкой любого (n-1) мерного правильного многоугольника (который можно вписать в круг).

на случай получения планов второго порядка. Для этого к ПФЭ

типа 2n добавляется центральная точка с координатами (0,0,...0) и, так называемые, звёздные точки с координатами (0,0,..., ± α,...,0), лежащие на сфере диаметра 2α .

Т.е. план ПФЭ достраивается до плана второго порядка. Такой план называется композиционным планом.

Рис.5. Восьмиугольный план эксперимента

точкой, к ПФЭ позволяет получить раздельные оценки
b0 и

bii. Все три сферы образуют композиционный план второго
порядка.
В зависимости от критерия оптимальности плана, различают
ортогональное, композиционное планирование и рототабельное
композиционное планирование.

План, приведенный в табл. 6, является рототабельным и обеспечивает получение раздельных оценок b0 и bii.

матрицы планирования. В силу этого свойства все коэффициенты
модели определяются

независимо друг от друга.

Анализ результатов экспериментов при ортогональном композиционном планировании имеет некоторые особенности. Так оценки коэффициентов уравнения регрессии находятся с неодинаковой дисперсией.

Из-за неодинаковой дисперсии коэффициентов регрессии критерий ортогональности является недостаточно сильным критерием оптимальности для планирования второго порядка.

Поэтому точность предсказания выходной величины в различных
направлениях факторного пространства неодинакова.

Лучшим методом планирования является такой метод, который
обеспечивает одинаковую точность во всех направлениях на
одинаковом расстоянии от центра. Таким методом является
рототабельное композиционное планирование.

σ y2 = const при одинаковом удалении точек
эксперимента от

центра, т.е. R = const .

Если имеются двухфакторные планы, то , как уже было отмечено,
типичными примерами рототабельных планов являются планы,
представляемые вершинами и, по крайней мере, одной центральной
точкой любого (n-1) - мерного правильного многоугольника, который
можно вписать в круг (рис.5).

Рис.5. Восьмиугольный план эксперимента

трех сфер: сфера нулевого радиуса - центральные точки; сфера точек

куба или гиперкуба и сфера звездных точек.

Равномерность расположения точек на сфере приводит к вырожденным матрицам. Для устранения вырожденности используют сферу нулевого радиуса с несколькими центральными точками.

Таблица 4.7

где Nα - число звездных точек; N0 - число точек в центре эксперимента; Nc - количество точек куба (гиперкуба); N - общее число точек факторного пространства.

представлена в таблице 8.
Таблица 8

формулам:
где Nw- число точек на сфере радиуса Pw; k

- число сфер (k=3).

дисперсии и коэффициентов вычисляются по
формулам:
Проверка адекватности модели проводится

методом Фишера