Платоновы тела, 10 класс

– красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к

подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».
Бертран Рассел
 

до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников

является и современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления.

Многоугольники из которых составлен многогранник называются его гранями.
Стороны граней –

ребрами.
Концы ребер – вершинами многогранника.
Отрезок соединяющий две вершины не принадлежащий одной грани называются диагональю

сторону от плоскости каждой своей грани, а не выпуклый –

по разные стороны от этой плоскости

и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с

именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед

отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.

Л. Кэрролл

Октаэдр Правильные многогранники Додеаэдр Икосаэдр

вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при

каждой вершине равна 180º.

Рис. 1

четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º.
Правильный

октаэдр

Рис. 2

вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине

равна 300º.

Рис. 3

вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине

равна 270º.

Куб (гексаэдр)

Рис. 4

является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при

каждой вершине равна 324º.

Рис. 5

 грань;
«тетра»  4;
«гекса»  6;
«окта»  8;
«икоса»

 20;
«додека»  12.

Названия многогранников

поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной

великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).
Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.
Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени.
Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду.
Куб – самая устойчивая из фигур – землю.
Октаэдр – воздух.
В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным.
Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.
Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

Правильные многогранники в философской картине мира Платона

весь мир
огонь

вода земля воздух

весь мир

связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому

времени планетами Солнечной системы.
Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, к который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.
Такая модель Солнечной системы (рис. 6) получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта.
Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.

Модель Солнечной
системы И. Кеплера

Рис. 6

увеличенному на 2.
Г + В = Р + 2
Формула

Эйлера

Число граней плюс число вершин минус число рёбер
в любом многограннике равно 2.
Г + В  Р = 2

9. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.

Задача

Рис. 9

Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой

можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры.

кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на

планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки…

В. Макаров, В. Морозов.

многогранника: малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и

большой икосаэдр.

Два из них знал И. Кеплер (1571 – 1630 гг.).

В 1812 году французский математик О. Коши доказал, что кроме пяти «платоновых тел» и четырех «тел Пуансо» больше нет правильных многогранников.

совпадают с вершинами описанного икосаэдра.
Большой икосаэдр был впервые описан Луи

Пуансо в 1809 г.

у большого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются пять граней.

Вершины малого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.
Малый звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г.

с вершинами описанного икосаэдра.
Большой додекаэдр был впервые описан Луи Пуансо

в 1809 г.

у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.

Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.
Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г.

и описал Архимед – это тела Архимеда.
Все

многогранные углы у них равны, а грани – правильные многоугольники разных видов. (этим они отличаются от платоновых тел).Причем в каждой вершине сходится одно и тоже количество граней.

множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, автор ряда

практически важных изобретений

Архимед около 287 – 212 гг. до нашей эры

Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа.

тел в результате их усечения:
усеченный тетраэдр,
усеченный куб,
усеченный октаэдр,
усеченный додекаэдр,
усеченный икосаэдр.
Множество

архимедовых тел можно разбить на пять групп

название означает, что гранями этого многогранника являются правильные многоугольники всего

двух типов, причем каждая грань одного типа окружена гранями другого типа. Эти два тела называются

кубоктаэдр

икосододекаэдр.

также малым ромбоикосододекаэдром.
В эту же группу входят
ромбоусеченный кубоктаэдр,
иногда называемый

большим
ромбокубоктаэдром и ромбоусеченный
икосододекаэдр,
называемый также большим
ромбоикосододекаэдром, которые получаются из кубоктаэдра и икосододекаэдра при другом варианте усечения.

куб и курносый додекаэдр. Для них характерно несколько повернутое положение

граней. В результате эти многогранники, в отличие от предыдущих, не имеют плоскостей симметрии, но имеют оси симметрии. Так как плоскостей симметрии нет, то зеркальное отражение такого тела не совпадает с исходным телом, и поэтому существуют по две формы каждого из них - "правая" и "левая", отличающиеся так же, как правая и левая руки.

призмы, все ребра которых равны.