Постановка и решение вспомогательной задачи

закончить рассмотрение задачи о радиальном распределении температуры в облучательном устройстве

при отсутствии утечек тепла в торцы. Обосновать необходимость использования метода конечных элементов (МКЭ) для расчета полей температуры в облучаемых образцах. Приступить к постановке задачи расчета поля температуры МКЭ для цилиндрического образца.

План.
1. Постановка и решение вспомогательной задачи Б. 2.Решение задачи о поле температуры в облучательном устройстве при отсутствии утечек тепла в торцы.
3. Постановка задачи расчета поля температуры МКЭ для цилиндрического образца.
 
 

 

с коэффициентом теплопроводности λ0,1
задана температура Т1 ,

внутри цилиндра действуют внутренние источники тепла qv01, в центре цилиндра температура имеет экстремум.
Граничные условия:
 
dT/dr | r= 0 = 0 (19)
 
T | r= R1= Т1 (20)

Из (19) C1 = 0, тогда из (20) определяем:
 
С2 =

Т1+ qv,0,1 R21/4 λ0,1
 
Поле температуры в цилиндре (образце) имеет вид:
 
Т=Т1+ qv,0,1 (R21-r2)/4 λк, к+1
 
Поток тепла с поверхности цилиндра:
 
Qk = - 2π λ0,1 R1 dT/dr | r= R1 = πqv,0,1R21 = πqv,0,1(R21 – R20),
 
где R0 = 0
Определяем потоки тепла, пользуясь результатами задач, рассмотренных выше:

n
Qn = Σ πqv,k,k+1(R2k+1 – R2k) при R0 = 0.
k=0
 

следующем виде:
 
Т = Тk+1 + qv,k,k+1/2 λк, к+1[(R2k+1 – r2)/2

– R2kln(Rk+1/r) ] +
 
(Qk/2 πλк, к+1) ln(Rk+1/r) (15)
 
Тk - Тk+1 = (qv,k,k+1/2 λк, к+1)[(R2k+1 – R2k)/2 – R2kln(Rk+1/ Rk) ] +
 
(Qk/2 πλк, к+1) ln(Rk+1/ Rk) (16)
 
Qk+1 = - 2π λk,k+1 Rk+1 dT/dr | r= Rk+1= πqv,k,k+1(R2k+1 – R2k) + Qk (17)
 
Тk - Тk+1 = Av,k,k+1+ Ak,k+1 (18)

Решение задачи А.

условие (6), имеем:
 
Tn -Tc = Qn/2 παRn
 
Определяем

перепады температуры:
- на оболочке
 
Тn-1 - Тn = Av,n-1,n+ An-1,n ,
 
- в газовой прослойке:
 
Tn -Tc = Qn-2,n-1 /hn-2,n-1
 
- на к-ом экране:
 
Тk - Тk+1 = Av,k,k+1+ Ak,k+1 ,
 
- в к-1 прослойке:
 
Тk-1 - Тk = Qk-1,k /hk-1,k

-в экране с радиусами R2 и R3 :
 
T2 – T3 = Av,2,3+ A2,3 ,
 
- в прослойке с радиусами R1 и R2:
 
Т1 - Т2 = Q1,2 /h1,2 ,
 
- в образце:
 
Т0 -Т1= qv,0,1 R21/4 λ0,1
 
Последовательное суммирование

вышеприведенных разностей дает

возможность определить поле температуры

по радиусу облучательного устройства.

Исследование свойств материалов в реакторном эксперименте осложняется наличием интенсивных тепловыделений

в испытуемом образце. Следствием этого являются градиенты температуры по объему образца и появление термонапряжений, которые в ряде случаев могут приводить к разрушению образца. Существенными могут оказаться явления, обусловленные наличием градиента плотности тепловыделения в материале.
В целом, требования к оценке поведения образца в реакторном эксперименте должны быть более строгими, расчеты температурных полей более подробными и точными.
Для расчета температурных полей в образце реакторной установки целесообразно воспользоваться методом конечных элементов.

условия задают распределение источников тепловыделения

в образце и коэффициент теплопроводности, зависящий от температуры.
3.Временные условия рассматривают стационарную задачу:
dT/dτ =0 (21)

условия первого рода:
 
T|z=0, 0≤ r ≤ R = T

(0, r) (22)
T|z=H, 0≤ r ≤ R = T (H, r) (23)
 
- условия третьего рода:
 
- λ dT/dr |z=0, 0≤ r ≤ R = α (0,r) [T (0, r) – Tc0] (24)
- λ dT/dr |z=H, 0≤ r ≤ R = α (H,r) [T (H, r) – TcH] (25)
 
На внешней боковой поверхности цилиндрического образца задаются граничные условия третьего рода:
 
Q= 2πRα(z,r) [T (z, r) – Tcr] (26)

Постановка задачи, граничные условия .

представленной схеме.
Определение стационарных двумерных полей температуры основано

на простейшем варианте метода конечных элементов.

Граничные условия, как уже отмечалось, задают либо температуру, либо тепловой поток.

В соответствии с методом конечных элементов и с учетом симметрии задачи цилиндрический образец разбивается на N кольцевых элементов и М элементов по высоте.

div [ λ(T) grad T( r )] + qv(r) =0 , (27)
 где
Т(r) - температура образца;
λ(Т) - коэффициент теплопроводности в общем случае, зависящий от температуры;
qv(r)- плотность внутренних источников тепла может быть функцией координат.
Возьмем толщину кольцевых элементов постоянной. Затем для каждого элемента составляется уравнение теплового баланса, при этом предполагается, что величины λ и qv постоянны для данного элемента.

вид:
N(i)
Σ γ(i,j)[T(i)-T(j)] + qv(i)S(i)+QL(i) = 0

(28)
j=1
где
S(i)- площадь получаемого при таком разбиении элемента;
Т(i)- температура элемента;
qv(i) плотность внутренних источни­ков тепла;
QL(i)- поток тепла в элемент из внешней среды;
γ( i,j)- коэффициент, характеризующий перенос тепла между соседними i-ым и j -ым элементами;
N(i)- число элементов, обменивающихся теплом с элементом, равно четырем во внутренней области и трем для элементов, лежащих на границе области.
При составлении системы уравнений (28) предполагалось, что потоки тепла Q между соседними элементами пропорциональны разности температур в этих элементах:
 
Q = γ( i,j) [T(i)-T(j)] (29)
 
Выражение, определяющее γ( i,j) , может быть получено при рассмотрении соотношения для потока тепла между i-ым и j -ым элементами в радиальном направлении:
 
Q = λ Lij grad T | ij (30)
 
где λ - коэффициент теплопроводности материала; L- протяженность границы между элементами; grad T | ij - градиент температуры на границе между i-ым и j -ым элементами.

Уравнения теплового баланса (2)