Поток вектора E. Потоком вектора напряженности электростатического поля через

dS называется скалярная физическая величина, равная
где En=Ecos — проекция вектора

поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на

Продемонстрируем это на примере точечного заряда. Окружим его замкнутой сферической поверхностью.

Поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд q, находящийся в ее центре, равен

плотность заряда равна .
Из симметрии задачи очевидно, что вектор

В качестве замкнутой поверхности выберем прямой цилиндр с площадями оснований S

основания цилиндра равен
Применим теорему Гаусса.
Внутри цилиндра заключен заряд q=S
Поэтому можно

Отсюда выражение для напряженности поля заряженной плоскости

следовательно такое поле является однородным.
Полученный результат справедлив только для бесконечной

нити равна .
Из соображений симметрии следует, что поле имеет

Выберем замкнутую поверхность в форме прямого цилиндра.

Применим теорему Гаусса.

равен
Внутри цилиндра заключен заряд q=l
Следовательно
Отсюда выражение для напряженности поля

сферы R.
Поле, создаваемое заряженной сферой центрально-симметричное: направление вектора E в

В качестве замкнутой поверхности возьмем концентрическую сферу.

Пусть ее радиус r > R.

По теореме Гаусса:

Отсюда:

поэтому внутри сферы
График зависимости E(r)

по шару радиусом R.
В качестве замкнутой поверхности снова возьмем

Пусть ее радиус r > R.

По теореме Гаусса:

Отсюда:

заряда.
Выражение для объемной плотности заряда можно записать:

Следовательно
Применим теорему Гаусса:
Подставим

Отсюда:

найти с использованием принципа суперпозиции,но использование теоремы Гаусса позволяет решать

Применение теоремы Гаусса для расчета полей эффективно лишь в тех случаях, где поле обладает специальной симметрией (плоской, цилиндрической или сферической).

V, с объемной плотностью заряда (x,y,z).
Суммарный заряд области можно

 - среднее значение объемной плотности заряда.

Запишем теорему Гаусса

Устремим объем области к нулю V0, тогда (x,y,z).

Обозначим предел левой части выражения, как

divE –называется дивергенцией вектора E

дифференциальной форме.

заданы как Ex(x,y,z), Eу(x,y,z), Ez(x,y,z), то дивергенцию можно найти по

Определим векторный дифференциальный оператор набла . В декартовых координатах

Тогда