Практикум по решению задачи №20 (базовый уровень)

п. Аджером
Корткеросского района Республики Коми
Мишариной Альбиной Геннадьевной

№ 3 (с квартирами)
Тип № 4 (с монетами)
Тип № 5

Тип № 10 (о продажах)
Тип № 11 (с глобусом)
Тип № 12 (с прямоугольником)
Тип № 13 (про числа)
Тип № 14 (с ящиками)
Тип №15 (с таблицей)
Тип № 16 (про викторину)
Тип № 17 (разные)

единичный отрезок за один прыжок. Кузнечик начинает прыгать из начала

Решение.


Заметим, что кузнечик может оказаться только в точках с нечётными координатами, т.к. количество прыжков, которое он делает, — нечётно. Максимально кузнечик может оказаться в точках, модуль которых не превышает одиннадцати. Таким образом, кузнечик может оказаться в точках: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11; всего 12 точек.

0

11

единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной

Решение.
6, −4, −2, 0, 2, 4 и 6;
всего 7 точек.

Ответ: 7
Почему здесь 0 учитывается?

прыжка равна единичному отрезку. Сколько существует точек, в которых ворбей может

Решение.


Ответ: 6

направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых

Решение.


Ответ: 13

м, а за ночь сползает на 3 м. Высота дерева

Решение.
За день улитка заползёт на 4 метра, а за ночь — сползёт на 3 метра. Итого за сутки она заползёт на метр.
За шестеро суток она поднимется на высоту шести метров. И днём следующего дня она уже окажется на вершине дерева.
Ответ: 7

по данным геологоразведки, на глубине 3 км. В течение рабочего

Решение.
За день скважина увеличивается на 300 − 30 = 270 м. К началу одиннадцатого рабочего дня нефтяники пробурят 2700 метров. За одиннадцатый рабочий день нефтяники пробурят ещё 300 метров, то есть дойдут до глубины 3 км. 
Ответ: 11.

метра. Строительная помпа непрерывно откачивает воду, понижая её уровень на

Решение.
За час уровень воды в котловане уменьшается на 20 − 5 = 15 см. Нужно откачать 2 · 100 − 80 = 120 см воды. Следовательно, уровень воды в котловане опустится до 80 см за  


Ответ: 8.

12 часов, наливают полное ведро воды объёмом 8 литров. Но

Решение.
К концу каждого часа объём воды в баке увеличивается на 8 − 3 = 5 литров.
Через 6 часов, то есть в 18 часов, в баке будет 30 литров воды. В 18 часов в бак дольют 8 литров воды и объём воды в баке станет равным 38 литров.
Ответ: 18.

дереву на 4 м, а за ночь сползает на 1

Ответ: 4

дереву на 4 м, а за ночь сползает на 2

на 3 м, а за ночь сползает на 2 м.

седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл.

Решение.
Поскольку в первых 7 подъездах не меньше 462 квартир, в каждом подъезде не меньше 462 : 7 = 66 квартир. Следовательно, на каждом из 7 этажей в подъезде не меньше 9 квартир.
Пусть на каждой лестничной площадке по 9 квартир. Тогда в первых семи подъездах всего 9 · 7 · 7 = 441 квартира, и квартира 462 окажется в восьмом подъезде, что противоречит условию.
Пусть на каждой площадке по 10 квартир. Тогда в первых семи подъездах 10 · 7 · 7 = 490 квартир, а в первых шести — 420. Следовательно, квартира 462 находится в седьмом подъезде. Она в нем 42-ая по счету, поскольку на этаже по 10 квартир, она расположена на пятом этаже.
Если бы на каж­дой площадке было по 11 квартир, то в первых шести подъездах оказалось бы 11 · 7 · 6 = 462 квартиры, то есть 462 квартира в шестом подъезде, что противоречит условию.
Значит Саша живёт на пятом этаже.

восьмом подъезде в квартире № 468, а этаж сказать забыл.

Решение.
Поскольку в первых 8 подъездах не меньше 468 кв., в каждом подъезде не меньше 468 : 8 = 58,5 кв. Следовательно, на каждом из 12 этажей в подъезде не меньше 4 кв.
Пусть на каждой лестничной площадке по 4 кв. Тогда в первых восьми подъездах всего 4 · 8 · 12 = 384 квартиры, и квартира 468 окажется не в восьмом подъезде, что противоречит условию.
Пусть на каждой площадке по 5 квартир. Тогда в первых восьми подъездах 5 · 8 · 12 = 480 квартир, а в первых семи — 420. Следовательно, квартира 468 находится в восьмом подъезде. Она в нем 48ая по счету, поскольку на этаже по 5 кв, она расположена на десятом этаже.
Если бы на каждой площадке было по 6 кв, то в первых семи подъездах было бы 6 · 7 · 12 = 504 кв, то есть 482 квартира в седьмом подъезде, что противоречит условию.
Ответ: 10

каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в

Решение.
Число квартир, этажей и подъездов может быть только целым числом.
Заметим, что число 110 делится на 2, 5 и 11. Следовательно, в доме должно быть 2 подъезда, 5 квартир и 11 этажей.
Ответ: 11.

живёт в двенадцатом подъезде в квартире № 465, а этаж

Решение.


Ответ: 4

что живёт в десятом подъезде в квартире № 333, а

Решение.


Ответ: 3

что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж

Решение.



Ответ: 5

гости к Свете, зная, что она живёт в 364-й квартире

математике с Колей и пошёл к нему домой, зная, что

этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом

этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом

операций:
за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;

Решение.
Пусть Николай сделал сначала х операций второго типа, а затем у операций первого типа. Тогда имеем:

 


Тогда серебряных монет стало на 
3у -5х = 90 – 100 = -10  
т.е. на 10 меньше.

первого типа. Тогда имеем:
 
 


Тогда серебряных монет стало на 
4у-6х = 80

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 3 золотых монеты получить
4 серебряных и одну медную;
2) за 6 серебряных монет получить
4 золотых и одну медную.
У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы?

двух операций:
1) за 4 золотых монеты получить 6 серебряных и

двух операций:
1) за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и

следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей,

Решение.
Последовательность цен за метр — арифметическая прогрессия с первым элементом  3500 и разностью 1600. Сумма первых  элементов арифметической прогрессии —

  

То есть в нашем слу­чае имеем 

на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200

Решение.
Последовательность цен за метр — это арифметическая прогрессия с первым членом 4200 и разностью 1300.  Сумма первых  членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле 


В нашем случае имеем:



Ответ: 117 700.

беговой дорожке 15 минут, а на каждом следующем занятии увеличивать

Решение.
Время, проведённое на беговой дорожке представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом равным 15 и разностью 7. Сумма  членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле:

Ответ: 5.

ему дорогу к дому длиной 20 метров на следующих условиях:

ему дорогу к дому длиной 30 метров на следующих условиях:

построят водонапорную башню на следующих условиях: за первый метр он

ему дорогу от трассы к дому на следующих условиях: за

что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик,

Решение.
В корзине есть как минимум 19 рыжиков. Иначе можно было бы взять 12 груздей и первое условие не выполнялось.
Аналогично из второго условия следует, что в корзине как минимум 11 груздей.
Сопоставляя эти два факта, получим, что в корзине именно 19 рыжиков и 11 груздей.
Ответ: 19.

что среди любых 11 грибов имеется хотя бы один рыжик,

Решение.
Пусть мы взяли 10 груздей. Тогда все остальные грибы — рыжики, иначе бы мы взяли груздь и условие бы нарушилось. Таким образом, в корзине минимум 15 рыжиков.
Теперь возьмём 15 рыжиков. Тогда все остальные грузди, иначе аналогично первому случаю мы бы взяли один из оставшихся рыжиков, и условие бы не выполнилось. Отсюда следует, что в корзине минимум 10 груздей. Минимум 15 рыжиков и минимум 10 груздей. А всего грибов 25.
Значит, среди них именно 15 рыжиков и 10 груздей.

что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик,

Решение.
В корзине имеется как минимум 24 рыжика. Иначе мы бы могли взять 17 груздей, и первое условие бы не выполнилось.
Аналогично из второго условия вытекает, что в корзине как минимум 16 груздей.
Из этих двух утверждений можно сделать вывод, что в корзине ровно 24 рыжика и 16 груздей.

что среди любых 28 грибов имеется хотя бы один рыжик,

Решение.
В корзине точно лежит 27 груздей и 23 рыжика, так как взять 28 груздей, как и 24 рыжика, не получится по условию задачи

грузди. Известно, что среди любых 27 грибов имеется хотя бы

Известно, что среди любых 10 карандашей имеется хотя бы один

Известно, что среди любых 8 карандашей имеется хотя бы один

цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков,

Решение.
Если распилить палку по красным линиям, то получится 15 кусков, следовательно, линий - 14.
Если распилить палку по желтым - 5 кусков, следовательно, линий - 4.
Если распилить по зеленым - 7 кусков, линий - 6.
Всего линий: 14+4+6=24 линии, следовательно, кусков будет 25.
Ответ: 25

цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков,

Решение.
Каждый распил увеличивает количество кусков на один.
Т.е. всего 4 красные линии, 6 жёлтых и 10 зелёных. Значит всего 20 линий.
А кусков получится 21.
Ответ: 21

и красного цвета, Если распилить шест по белым линиям, то

цветов: синего, желтого и зелёного. Если распилить палку по синим

первый день он должен принять 3 капли, а в каждый

представляет собой возрастающую арифметическую прогрессию с первым членом, равным 3,

3 = 90 (капель)
На последнем этапе приёма:

Т.е. 30 -3(n-1)=0;

день он должен принять 20 капель, а в каждый следующий

Решение.
Найдем, сколько капель лекарства нужно пациенту в первые 15 дней. Имеем арифметическую прогрессию: a1 = 20, d=3, n=15.
Тогда



Значит, на весь курс приема пациенту нужно 615 · 2 = 1230 капель.
Тогда 1230 : 200 = 6,15 => 7 пуз.

и D. Расстояние между A и B — 35 км, между A

Решение.
Расположим А, В, C, D вдоль кольцевой дороги по очереди так, чтобы расстояния соответствовали дан­ным в условии. Всё хорошо, кроме расстояния между D и A. Чтобы оно было таким, каким нужно, подвинем D и поставим между B и A нужным образом.
Тогда между B и C
будет 15 км.
Ответ: 15.

и D. Расстояние между A и B — 50 км,

Решение. Расположим А, В, C, D вдоль кольцевой дороги по очереди так, чтобы расстояния соответствовали данным в условии.

Тогда между
B и D будет
15 км.
А между B и С
—10 км.

Ответ: 10

окружности. На ней установлены 4 измерительных прибора в точках А.В,С

окружности. На ней установлены 4 измерительных прибора в точках А.В,С

и D. Расстояние между А и В – 65 км,

и D. Расстояние между А и В – 70 км,

сезонный характер. В январе было продано 10 холодильников, и в

Решение.
Последовательно рассчитаем сколько холодильников было продано за каждый месяц и просуммируем результаты:
 10·4+(10+15)+(25+15)+(40+15)+
+(55+15)+(70-15)+ (55-15)+
+(40-15)+ (25-15)=
=40+25+40+55+70+55+40+25+10=
=120+110+130=360
Ответ: 360.

характер. В январе и феврале было продано по 5 коробок

сезонный характер. В январе и феврале было продано по 20

и 24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделяют поверхность

Решение.
Представим, что на глобусе ещё не нарисованы параллели и меридианы. Заметим, что 24 меридиана разделят глобус на 24 части.
Рассмотрим сектор, образованный двумя соседними меридианами. Проведение первой параллели разделит сектор на две части, проведение второй добавить ещё одну часть, и так далее, таким образом, 17 параллелей разделят сектор на 18 частей.
Следовательно, весь глобус будет разбит на 24 · 18 = 432 части.
Ответ: 432.

22 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?
Меридиан

Решение.
Двенадцать параллелей разделили глобус на
13 частей, => 13 · 22 = 286 — на столько частей разделят глобус 12 параллелей и 22 меридианы.
Ответ: 286

и 12 меридиан. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность

и 15 меридиан. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность

Площади трёх из них, начиная с верхнего левого и далее

Решение.





1) S1: S2=(а1в1): (а1в2)=9:12 => в1:в2=9:12,
в1= 3/4·в2
2) S2: S3=(в2а1) : (в2а2)=12:32 => а1 : а2=12 : 32,
а2= 8/3·а1
Тогда S =3/4·в2 · 8/3·а1 = 3/4·8/3·
· (в2· а1)=2·12=24 Ответ: 24

S1=9

S2=12

S3=32

?

а1

а2

в1

в2

S?= в1·а2

прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с верхнего левого

прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с верхнего левого

прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с верхнего левого

Чему может быть равен остаток?
Решение.
Среди 10 подряд идущих чисел

чтобы их произведение делилось на 7?
Решение.
Достаточно взять два числа,

чтобы их произведение делилось на 9?
Решение.
Достаточно взять два числа,

на складе в один ряд длиной 43м, приставляя друг к

Решение.


Т.к. надо найти наименьшее число ящиков, то => надо взять наибольшее количество больших ящиков. Значит
5 ·7 = 35; 43 – 35 = 8 и 8:2=4
Значит ящиков всего 11.

43м

2

5

на складе в один ряд длиной 43м, приставляя друг к

Решение.


Т.к. надо найти наименьшее число ящиков, то => надо взять наибольшее количество маленьких ящиков. Значит
2 · 19 = 38; 43-38=5 и 5 : 5 = 1
Значит ящиков всего 20

43м

2

5

каждую клетку таблицы поставили по натуральному числу так, что сумма

Решение.
Общая сумма во всех столбцах = 119 + 125 + 133 = 377
Числа 18 и 15 не включены в предел, значит:
1) если сумма в строке = 17, то, количество строк равно 377 : 17= =22,2
2) если сумма в строке = 16, то, количество строк равно 377 : 16= =23,5
Значит кол-во строк = 23 (т.к. оно должно быть между 22,2 и 23,5)

несколько строк. В каждую клетку таблицы поставили по натуральному числу

Ответ: 11

строк. В каждую клетку таблицы поставили по натуральному числу так,

Ответ: 12

правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с

Решение.
Пусть Х – количество верных ответов
у – количество неверных ответов.
Тогда составим уравнение 5х -11у = 75, где 0<х<36 и 0<у<36. Из уравнения видно, что у делится на 5.
Пусть: 1) у=5, тогда 5х = 75 + 11у= 75 + 55=130, тогда х = 130 : 5 = 26 и это меньше 36.
2) у=10, тогда 5х =75 +11у=75+110=185, тогда х = 185 : 5=37, но это больше 36.

Ответ: 26

За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за каждый

За каждый правильный ответ ученик получал 6 очков, за каждый

вида первых блюд, 5 видов вторых блюд и 4 вида

Решение.
Салат можно выбрать шестью способами, первое — тремя, второе — пятью, десерт — четырьмя. Следовательно, всего 6 · 3 · 5 · 4 = 360 вариантов обеда.
  Ответ: 360.

бактерии. Известно, что весь объём одного стакана бактерии заполняют за

Решение.
Заметим, что каждую секунду в стакане становится в два раза больше бактерий. Т.е. если в какой-то момент бактериями заполнена половина стакана, то через секунду будет заполнен весь стакан. Таким образом, полстакана будет заполнено через 59 минут и 59 секунд,
т. е. через 59 · 60 + 59 = 3599 секунд.

каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест

Решение.
Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом  24 и разностью 2.
Член арифметической прогрессии с номером 8 может быть найден по формуле

Ответ: 38.

они преодолели за 50 минут, а каждый следующий километр проходили

Решение.
На подъём в гору группа затратила 290 минут, на отдых 10 минут, на спуск с горы 210 минут. В сумме туристы затратили на весь маршрут 510 минут. Переведём 510 минут в часы и получим, что за 8,5 часов туристы преодолели весь маршрут.

насос непрерывно закачивает 1,2 кубометра воды каждый час. Но в

Решение.
1 куб. м = 1000 литров.
Объем бака равен 10,2·1000=10200л.
Каждый час насос закачивает 1,2·1000 =1200 литров.
И так как каждую минуту из бака вытекает 3 литра, то за час из бака вытекает 3·60 = 180 л. Значит, каждый час бак наполняется на 1200 - 180 = 1020 л.
10200:1020 = 10, т.е. пустой бак будет заполнен полностью за 10 часов.

2 метров. Строительная помпа непрерывно откачивает воду, понижая ее уровень

Решение.
Уровень воды в котловане равен 2 метра = 2·100 = 200 см.
Каждый час из котлована вода уходит на 20 - 5 = 15 см.
200 - 80=120 см - нужно откачать из котлована, чтобы уровень воды опустился до 80 см.
120:15 = 8.
То есть через 8 часов уровень воды в котловане будет 80 см.
 Ответ: 8.

Андреевна
СтатГрад: Тренировочная работа по математике
РЕШУ ЕГЭ
Сдам ЕГЭ
ЕГЭ-Студия
Твоя-школа.рф
Годограф
http://sch-53.ru/files/director/GIA/2016/%D0%95%D0%93%D0%AD%202016.jpg