Текутьев родился в 1839 году в деревне Борки. Был выходцем
из мещан. Получил домашнее образование. С детства он помогал отцу в ремесле и торговле, а с двенадцати лет начал работать в купеческой лавке. Собственное дело Текутьев начал с продажи муки с возов на Базарной площади в центре Тюмени. Потом он завёл собственные лавки и сумел пройти путь до купца первой гильдии, крупного предпринимателя и городского головы. У него была своя мельница, которая была расположена на территории нынешнего кладбища, которое называется Текутьевским. Был владельцем паровых мельниц и пароходов, производителем свечей и мыла.Был миллионером, занимая третью строчку в рейтинге самых богатых людей Тобольской губернии. Всю свою жизнь он прожил в Тюмени и сделал для неё очень много. В начале XX века Андрей Иванович получил звание купца I гильдии.
В 1899 году он стал городским головой Тюмени и эту должность занимал до 1911 года. 21 июля 1906 года Андрей Текутьев был удостоен звания «Почетный гражданин города Тюмени» за свою благотворительную деятельность. Николай Второй своим Указом от 20 апреля 1907 года подтвердил это высокое звание, а Указом от 4 сентября 1909 года разрешил выставить портрет Текутьева в зале Думских собраний Тюмени. Ишим выбрал Текутьева своим почетным гражданином.