Приемы быстрого счета

Тюкина Стелла
7 класс
МОУ СОШ с.Киселевка 2010 г.
«Устный

счет - гимнастика для ума»

является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память

и помогает усваивать предметы естественно-математического цикла.
Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.
Мы хотим остановиться на способах сложения, вычитания, умножения, деления, для производства которых достаточно устного счета или применения ручки и бумаги.
Мотивацией для выбора темы послужило желание продолжения формирования вычислительных навыков, умения быстро и чётко находить результат математических действий.
Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако, владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, приобретают опыт рациональных вычислений, дают выигрыш в вычислительной работе.

Актуальность темы

«Счет и вычисления – основы порядка в голове» Иоганн Генрих Песталоцци (1746 - 1827)

учитель показал нам приём быстрого умножения на числа 11 ,

у нас возникла идея, а существуют ли ещё приёмы быстрого вычисления. Мы поставили перед собой задачу, найти и опробовать другие приёмы быстрого вычисления.
Немногие умеют считать быстро и правильно. Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро, считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировке в решении задач.
А ведь приёмы быстрого устного счёта известны давно. Великолепные способности к устному счёту таких блестящих математиков, как Гаусс, фон Нейман, Эйлер или Валлис, вызывают настоящий восторг. Об этом много написано. Мы хотим рассказать и показать некоторые известные вычислительные секреты. И тогда перед вами откроется совсем другая математика. Живая, полезная и понятная.

Актуальность темы

«Счет и вычисления – основы порядка в голове» Иоганн Генрих Песталоцци (1746 - 1827)

счета, для производства которых достаточно устного счета или применения ручки

и бумаги.

на 9.   Допустим, нам нужно умножить 7 на 9.
Повернём

руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева).
Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа - единицам искомого произведения.

надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить

произведение единиц чисел.
Пример 1. 16∙18=(16+8) ∙ 10+6 ∙ 8=288, или
Пример 2. 17 ∙ 17=(17+7) ∙ 10+7 ∙ 7=289.

Умножение чисел от 10 до 20

Задание: Умножьте быстро 19 ∙ 13

Проверь себя!
19 ∙13=(19+3) ∙10 +9 ∙3=247

превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть

и поставить между ними сумму этих цифр.
Примеры:
72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;
35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.
Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.
Пример.
94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

себя!
67 ∙11=6(6+7)7=737
Задание: Умножьте быстро 67∙ 11

на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в

виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 11; 55 = 5 ∙ 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.
Пример 1. 24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528
Пример 2. 23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11= 69 ∙ 11 = 759

Задание: Умножьте 18∙ 44

Проверь себя!
18 ∙ 44 = 18 ∙ 4 ∙ 11= 72 ∙ 11 = 792

4.
Ответ - полные сотни, остаток – неполные (1, 2,

3 или 25, 50, 75).
Пример. 135 ∙ 25=(135:4=100:4+35:4)=33 сотни, остаток 3 (или неполная сотня – 75)=3375.

Задание: Умножьте быстро 126 ∙ 25

Проверь себя!
126:4=100:4+26:4= 31 сотня, остаток 2(или неполная сотня – 50)=3150

на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями:
a ∙

5=a ∙ 10:2 a ∙ 50=a ∙ 100:2
a ∙ 25=a ∙ 100:4 а ∙ 125=а ∙ 1000:8
Пример1. 17 ∙ 5=17 ∙ 10:2=170:2=85
Пример 2. 43 ∙ 50=43 ∙ 100:2=4300:2=2150
Пример 3. 27 ∙ 25=27 ∙ 100:4=2700:4=675
Пример 4. 96 ∙ 125=96:8 ∙ 1000=12 ∙ 1000=12000

a ∙ 5=a ∙ 10:2 a ∙ 50=a ∙ 100:2
a ∙ 25=a ∙ 100:4 а ∙ 125=а ∙ 1000:8

себя!
348 ∙ 50=348:2 ∙ 100=17400
Задание: умножьте 348∙50

возвести в квадрат число оканчивающееся на 5, надо найти значение

выражения:
100∙количество десятков числа ∙ (количество десятков+1)+25.
Пример. =100 ∙ 18 ∙ (18+1)+25=34225.

Проверь себя!
=100 ∙10∙(10 +1) +25=11025

Задание: возведите в квадрат число 105

отнять разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное

меньшее число, то есть (a+b)-(a-b)=2b
Пример. (3+2)-(3-2)=2∙2=4
Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то получится удвоенное большее число, то есть
(a+b)+(a-b)=2a
Пример. (3+2)+(3-2)=3 ∙ 2=6

на число, оканчивающееся на 5, можно применить следующее правило.
Если один

из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.
Примеры:
44 ∙ 5 = (44 : 2) ∙ 5 ∙ 2 = 22 ∙ 10 = 220;
28 ∙ 15 = (28 : 2) ∙ 15 ∙ 2 = 14 ∙ 30 = 420;
32 ∙ 25 = (32 : 2) ∙ 25 ∙ 2 = 16 ∙ 50 = 800.

85, 95 числа следует брать небольшие, в пределе второго десятка.

Если возьмем произвольное число (четное), тогда придется потрудиться и перемножить двузначные числа:
Примеры:
48 ∙ 65 = (48 : 2) ∙ 65 ∙ 2 = 24 ∙ 130 = (24 ∙ 10 + 24 ∙ 3) ∙ 10 = (240 + 72) ∙ 10 = 312 ∙ 10 = 3120;
36 ∙ 85 = (36 : 2) ∙ 85 ∙ 2 = 18 ∙ 170 = (18 ∙ 10 + 18 ∙ 7) ∙ 10 = (180 + 126) ∙ 10 = 306 ∙ 10 = 3060.

65, 75, 85 и 95, надо хорошо знать, как умножать

устно двузначные числа такого вида:
14 ∙ 18 = 14 ∙ (10 + 8) = 14 ∙ 10 + 14 ∙ 8 = 140 + 112 = 252;
13 ∙ 19 = 13 ∙ (20 - 1) = 13 ∙ 20 - 13 = 260 - 13 = 247.

на 5, на 50, на 25 можно вос-пользоваться следующими выражениями:

a:5=a ∙ 2:10 a:50=a ∙ 2:100
a:25=a ∙ 4:100
Примеры:
35:5=35 ∙ 2:10=70:10=7
3750:50=3750 ∙ 2:100=7500:100=75
6400:25=6400 ∙ 4:100=25600:100=256

увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть

столько же единиц.
Пример. 785+963=785+(963+7)-7=785+970-7= 1748

увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же

единиц, то сумма не изменится.
Пример. 762+639=(762+8)+(639-8)=770 + 631=1401

несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то

разность не изменится.
Пример. 529-435=(529-5)-(435+5)=524-440=84

перемножают единицы множителей,
для получения десятков умножают десятки одного на

единицы другого множителя и наоборот и результаты складывают,
для получения сотен перемножают десятки.
Пример. 62∙58=3596
а) 8 ∙ 2=16, пишем 6 помним 1.
б) 8 ∙ 6+5 ∙ 2+1=59, пишем 9, помним 5.
в) 5 ∙ 6+5=35.

равна 10
Число десятков любого множителя умножить на число, которое

больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй.
Пример. 204 ∙ 206=42024
а) 20 ∙ (20+1)=420, пишем 420
б) 6 ∙ 4=24, пишем 24

Задание: умножьте 38∙ 32

Проверь себя!
38 ∙ 32=[3 ∙ 4=12, 8∙2=16]=1216

индусы в старину называли его «способом молнии» или «умножение крестиком»
 Пример:

24 ∙ 32 = 768

Последовательно производим следующие действия:
1. 4 ∙ 2 = 8 – это последняя цифра результата.
2. 2 ∙ 2 = 4; 4 ∙ 3 = 12; 4 + 12 = 16.
6 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.
3. 2 ∙ 3 = 6, 6 + 1 = 7 – это первая цифра в ответе.

Ответ: 768.

74 и 3 ∙ 37 = 111

 
37 ∙ 6 = 37 ∙ 3 ∙ 2 = 111 ∙ 2 =222
 
37 ∙ 8 = 37 ∙ (6+2) = 222 + 74 = 296
 
37 ∙ 18 = 37 ∙ 3 ∙ 6 = 111 ∙ 6 = 666

37 ∙ 3=111
37 ∙ 6=222
37 ∙ 9=333
37 ∙ 12=444
37 ∙ 15=555 и т.д

7 ∙ 11 ∙ 13=1001
77 ∙ 13=1001
77 ∙ 26=2002
77 ∙ 39=3003 и т.д

Легко запомнить!!!

Запомни!

1111 = 1234321
11111 ∙ 11111 =123454321
..........................
111111111 ∙ 111111111

= 12345678987654321

Мы творим это дело
Только силой ума и души.
Числа сходятся где-то

во тьме,
И глаза начинают светиться,
И кругом только умные лица,
Потому что считаем в уме.

Валентин Берестов (1928-1998)

написана в 1895 г., то есть более 110 лет назад.
Посмотрите,

как сосредоточенно думает мальчик, изображенный на переднем плане. Видно, нелегкую задачу дал учитель. Но этот ученик, наверно, скоро закончит работу, ошибки не должно быть: уж очень серьезно относится он к устному счету. А тот, который что–то шепчет на ухо учителю, кажется, уже решил задачу, только его ответ не совсем правильный. Смотрите: учитель слушает ученика внимательно, но на лице нет одобрения, значит, ученик сделал что–то не так. А может, учитель терпеливо ожидает, когда и другие сосчитают, и потому не спешит одобрить ответ?

А какую же задачу дал им учитель? Не сможем решить ее и мы?

учеников и учителя. Учитель – Сергей Александрович Рачинский, известный русский

педагог, замечательный представитель русских образованных людей позапрошлого века. Он был доктором естественных наук и профессором ботаники Московского университета. В 1868 г. С. А. Рачинский решает «уйти в народ». Он держит экзамен на звание учителя начальных классов. На свои средства открывает школу для крестьянских детей в селе Татево Смоленской губернии и становится в ней учителем. Его ученики так хорошо считали устно, что этому удивлялись все посетители школы. Не случайно, художник изобразил С. А. Рачинского вместе с его учениками именно на уроке устного решения задач.
Эта картина - гимн учителю и ученику!

…Мы рассмотрели лишь немногие способы быстрого счета.
Все рассмотренные нами

методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.
Умножение без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления. Вычислительная техника совершенствуется и по сей день, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а мы узнали некоторые приемы устного счета, которые помогут нам в жизни.
Нам было интересно работать над проектом. Пока мы только изучали и анализировали уже известные способы быстрого счета.
Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы быстрых вычислений.

Устный счёт – гимнастика ума.
Умеете ли вы считать? Каждый, конечно ответит: «Да!»

ПРЕСС, 1999. – 368 с.
Гарднер М. Математические чудеса и тайны.

– М., 1978.
Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.,1981.
«Первое сентября» Математика №3(15), 2007.
Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка, «Математика в школе», 2008, №7, стр.68
Устный счет/Сост. П.М.Камаев. – М.: Чистые пруды, 2007- Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 3(15).
http://portfolio.1september.ru/subject.php