ПРИМЕНЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ К ПРОСТЕЙШИМ ЗАДАЧАМ ВВЕДЕНИЕ. Уравнение

функцию состояния и, следовательно, определить вероятность нахождения частицы в различных

точках пространства;
Из уравнение Шредингера и условий, налагаемых на волновую функцию (ВФ) непосредственно следуют правила квантования энергии.

Для того, чтобы отвечать реальным, имеющим место в природе состояниям, ВФ должна удовлетворять определенным условиям. Они называются СТАНДАРТНЫМИ УСЛОВИЯМИ. Перечислим их.
Однозначность. 2. Конечность – условие, налагаемое нормировкой ВФ. 3. Непрерывность. 4.Непрерывность первой производной.

ЗАДАЧА: Найти собственные функции и собственные значения уравнению удовлетворяющие стандартным условиям.

Будем рассматривать задачи только с дискретным спектром. В этом случае собственные значения и собственные функции можно пронумеровать:

Вообще говоря, задача отыскания собственных функций и собственных значений математически очень сложна, однако, имеются простые и важные с физической точки зрения частные задачи, на которых мы и остановимся.

из простейших задач о движении микрочастиц – это задача о

движении в прямоугольной потенциальной яме с очень высокими стенками. Рассмотрим одномерный случай. Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулой

 

где m и E – масса и полная энергия частицы, соответственно. За пределы потенциальной ямы частица попасть не может, так как не может приобрести бесконечную энергию вероятность обнаружить частицу за пределами ямы равна нулю, ВФ за пределами ямы равна нулю.
Из условия непрерывности ВФ следует, что

В области 0< x

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка есть линейная комбинация его двух частных решений:

*

ψ(l)=0.
Из ψ(l)=0
Состояние с n = 0 приводит к решению, равному

нулю тождественно, то есть такие состояния невозможны

**

Из ** выразим энергию через волновой вектор

Спектр энергии оказался дискретным!

разность энергий двух соседних уровней.
Найдем для

молекулы в сосуде. Масса протона = Масса молекулы порядка Размеры сосуда порядка 10 см.

Уменьшим размеры потенциальной ямы до размеров атома ., и рассмотрим движение электрона, .

Дискретность энергетического спектра атомных систем оказывается более чем заметной. Спектры излучение и поглощения всех газов носят дискретный характер – состоят из отдельных линий.

будут проявляться дискретность энергетического спектра электрона?
Зададимся довольно низкой, но обычной

в эксперименте температурой жидкого азота T=80 K. Найдем размер потенциальной ямы, при котором расстояние между основным и первым возбужденным уровнем будет порядка кТ:

Конечно, это величина малая, но вполне реализуемая на современных установках молекулярной эпитаксии, которые позволяют выращивать слоистые монокристаллические структуры – так называемые сверхрешетки (квантовые структуры) с такими периодами.

нормировки
Минимальная энергия частицы в потенциальной яме больше нуля
2. n =

2 - стационарное состояние (с постоянной полной энергией). В нем частица одинаково часто обнаруживается в правой и левой половине ямы, но вероятность её обнаружения в середине ямы равна нулю! Поведение частицы несовместимо с представлением о траекториях.

другие области с различными или одинаковыми потенциальными энергиями. Характеризуется «высотой»

— минимальной энергией классической частицы, необходимой для преодоления барьера. Рассмотрим одномерное движение частицы. Барьер любой формы с любой наперед заданной точностью может быть «набран» из прямоугольных барьеров, поэтому рассмотрим взаимодействие частицы с прямоугольным барьером, то есть на пути частицы при движении слева направо встречается потенциальный барьер прямоугольной формы.

Частица, движущаяся слева направо встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U0 и шириной l . По классическим представлениям движение частицы имеет следующий характер:
Если энергия частицы больше высоты барьера (Е > U0) , частица беспрепятственно проходит над барьером.
Если (Е < U0) , то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону. Сквозь барьер частица проникнуть не может

ПОВЕДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ КМ

Уравнение Шредингера для 2 области: :

Уравнение Шредингера для 1 и 3 областей

третьей областей дает:
Исходя из размерности, разумно обозначить
Волновые функции в первой

и третьей областях:

Подстановка в уравнение для второй области:

Вводя функцию де Бройля, мы положили, что частице, движущейся в положительном направлении оси Ох соответствует функция

частиц от источника, расположенного в этой же «1» области, возможно

как движение частиц в положительном, так и отрицательном (вследствие отражения от барьера) направлении. Следовательно, как A1, так и B1 отличны от нуля. В области «3» невозможен поток частиц в отрицательном направлении, так как частице, движущейся в положительном направлении не от чего отражаться. Следовательно, только A3 отлично от нуля.

Для того, чтобы волновая функция была всюду непрерывна, должны выполняться условия:

Для того, чтобы непрерывной была первая производная, необходимо выполнение условий:

вместе
Разделим все уравнения на , и введем

обозначения:

*

введем обозначения
Теперь *
- коэффициент отражения.
- коэффициент прозрачности (прохождения).
Из условия нормировки

для вероятности

(1)

(2)

(3)

(4)

и 4.
(2)*i-(4)
-
*

в уравнение (2) системы

1 эВ ниже вершины барьера
m = 9.1* 10-28 г., U0

– E= 1 эВ.

Следовательно, для

Коэффициент прохождения

экспоненциально убывает с увеличением ширины барьера и почти так же

сильно зависит от превышения высоты барьера над энергией частицы.
3. Коэффициент прозрачности Т уменьшается с ростом массы частицы. С ростом массы мы переходим к классической картине: при

Коэффициент прозрачности барьера произвольной формы

Для прямоугольного барьера

В интервале значений от 0.03 до 30 изменяется от 0.5 до 4. То есть остается порядка единицы.

В сравнении с экспонентой мы вообще можем пренебречь изменением величины этого множителя. Положив его в этом интервале энергий равным 1, тогда коэффициент прозрачности прямоугольного барьера запишется в виде

прямоугольных барьеров и коэффициент прозрачности такого барьера на основании теоремы

об умножении вероятностей независимых событий равен произведению коэффициентов прозрачности парциальных барьеров:

При преодолении потенциального барьера в случае частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере, в связи с чем рассмотренное явление называют туннельным эффектом. С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица «находящаяся в туннеле» должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией

В КМ деление полной энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит принципу неопределенности: K фиксирует импульс, а U – координату. Таким образом, хотя полная энергия имеет вполне определенное значение, она не может быть представлена в виде суммы определенных величин К и U. В таком случае говорить о точном значении величины, которая не может быть точно определена не имеет смысла.

Холодную электронную эмиссию из металлов.
2.Холодная электронная эмиссия наблюдается в сильных

электрических полях. В этом случае ступенчатый потенциальный барьер, удерживающий электроны в металле, превращается в барьер конечной ширины. В результате становится возможным выход электронов из металла за счет туннельного эффекта. Чем сильнее поле, тем уже барьер и тем больше коэффициент прохождения Т .

Потенциальная яма для альфа-частицы в ядре. Внутри ядра
альфа-частица удерживается ядерными силами неэлектрического происхождения. Вне ядра на неё действует кулоновская сила отталкивания…

Туннелирование носителей зарядов через тонкую оксидную плёнку, имеющую диэлектрические свойства, покрывающую ряд металлов (в частности, алюминия) и обеспечивает проводимость точек механического соединения проводников (скрутки проводов, разъемы).
Практическое применение туннелирования носителей заряда через потенциальный барьер p-n перехода, реализовано в туннельном диоде.
Применительно к сверхпроводникам это явление получило название эффект Джозефсона - явление протекания сверхпроводящего тока через тонкий слой диэлектрика, разделяющий два сверхпроводника. 

полной энергии частицы

фаз (*) волновой функции наблюдается свободное прохождение частицы над барьером,

во всех остальных случаях наблюдается конечная вероятность отражения частицы от барьера высота которого меньше полной энергии частицы !

*