Принцип Даламбера

сил, равнодействующую которых обозначим

и реакция связи
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ

Под действием сил точка будет двигаться с ускорением

Опр. Векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленная противоположно этому ускорению, называется силой инерции точки, то есть

(1)

Принцип Даламбера. Если в любой момент времени к действующим на точку активным силам и реакциям связей присоединить силу инерции, то полученная система сил будет уравновешенной, то есть

(2)

для точки


величину

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ СИСТЕМЫ.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n точек.

Выделим какую-нибудь из точек системы с массой mk.

Под действием приложенных к ней внешних и внутренних сил

точка будет двигаться с ускорением

Вводя для этой точки силу инерции

из (2) получим

(3)

кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие

образуют уравновешенную систему сил.

Повторяя эти рассуждения для каждой из точек системы, придем к принципу Даламбера для системы.

По принципу Даламбера должно быть

(4)

представляют собой

Введем обозначения

(5)

Учитывая первое и второе свойства внутренних сил, а также обозначения (5) вместо выражений (4), получим

(6)

разложится на составляющие

Вывод. Главный вектор сил инерции механической системы (в частности, твердого тела) равен произведению массы системы (тела) на ускорение центра масс и направлен противоположно этому ускорению.

ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ИНЕРЦИИ.

Из первого уравнения равенств (6) получим

Сравнивая это выражение с уравнением, выражающим теорему о движении центра масс системы

найдем:

(7)

(8)

Нормальную составляющую силы инерции называют еще центробежной силой инерции.

выражающим теорему об изменении кинетического момента системы
найдем
(9)
Вывод. Главный

равной

ПРИВЕДЕНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

1. Поступательное движение

Вывод. Силы инерции тела приводятся к равнодействующей, равной

и проходящей через центр масс тела, так как

2. Вращательное движение.

Пусть тело имеет плоскость материальной симметрии Оху и вращается вокруг оси Оz, перпендикулярной этой плоскости.

Если привести силы инерции к центру О, то в следствии симметрии результирующая сила и пара будут лежать в плоскости Оху и момент пары будет равен

Так как КZ = JOZ ω, то по второй формуле (9)

где ε – угловое ускорение тела.

определяемой формулой (7) и прило-женной в точке О, и к паре сил с моментом

(10)

Вывод. В этом случае система сил инерции тела приводится к одной паре сил с моментом

лежащим в плоскости симметрии тела.

Если тело вращается вокруг оси Оz, проходящей через центр масс С тела, то

3. Вращение вокруг оси, проходящей через центр масс.

лежащей в плоскости симметрии силе, равной


и

4. Плоскопараллельное движение.

Пусть тело имеет плоскость симметрии и движется параллельно этой плоскости.

и подшипником Е, вращается с постоянной угловой скоростью ω. Ломаный

Д а н о: М = 10 кг, m = 2 кг, ω = 8 с -1, α= 300, φ = 900, b = 0,2 м.

О п р е д е л и т ь: реакции шарнира D и стержня 4.

с заданными углами.
Массы и веса частей 1 и 2

Проведем вращающиеся вместе с валом координатные оси Dху так, чтобы стержень лежал в плоскости ху.

равной главному вектору этих сил.
4. Присоединим к этим силам

Вал вращается равномерно и элементы стержня имеют только нормальные ускорения направленные к оси вращения, а численно аnk = ω2 hk, где hk – расстояния от оси вращения.

Тогда силы инерции , будут направлены от оси вращения, а численно F Иk = ∆m ω2 hk, где ∆m – масса элемента.

Поскольку все оказались пропорциональными hk, то эпюры этих параллельных сил образуют для обеих частей ломаного стержня треугольники.

где m – масса тела, аС – ускорение его центра

Принимая шарик за точку, модуль его силы инерции определим по формуле
F И3 = m3 а3, (2 /)
где а3 – ускорение шарика.

Центры масс частей стержня, а также шарик, имеют нормальные ускорения, равные
аС1 = ω2 hС1, аС2 = ω2 hС2, а3 = ω2 h3
где hС1 = 3 b sin (300), hС2 = 3 b sin (600), h3 = 2,5 b sin (300) – расстояния от центров масс частей стержня и шарика до оси вращения.

учтя, что b = 0,2 м, получим:
RИ1 = 0,6 М

Линии действия равнодействующих пройдут через центры тяжестей соответствующих треугольников, т. е. на расстояниях Н1 и Н2 от оси х.

Сила инерции будет приложена к точке, которая изображает шарик 3 и находится на расстоянии Н3 от оси, где

Н1 = 2· 6 b соs (300) / 3= 0,69 м;
Н2 = 2·4 b соs (60 0) / 3 = 0,27 м;
Н3 = 5 b соs (300) = 0,87 м.

силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил.
Составим для

∑ F kх = ХD + RИ1 – RИ2 + F И3 – N = 0;
∑ F kу = УD – Р1 – Р2 – Р3 = 0;
∑ m D ( ) = – Р1 3b соs (60 0) + Р2 2b соs (30 0) – Р3 6b соs (60 0) + + RИ1 Н1 – RИ2 Н2 + FИ3 Н3 – N 6 b соs (30 0) = 0

Решив затем систему уравнений, найдем искомые реакции.

О т в е т: ХD = 5,0 Н; УD = 117,6 Н; N = 44,4 Н.