Приращение функции и аргумента. Производные простейших функций

понятий «приращение аргумента» и «приращение функций».
С

приращением функции.

при условии , что

- называется производной данной функции и имеет вид:

Определение.

если в этой точке существует её производная.

: Х +

2. Найдем наращенное значение функции, т.е. :

у (х + ).

3. Вычисляем приращение функции:

4. Составляем отношение приращения функции к приращению аргумента:

5. Находим предел отношения при :
.

производной.

угловой коэффициент прямой(секущей)

k – угловой коэффициент прямой(секущей)
Секущая стремится занять

положение касательной. То есть, касательная есть предельное положение секущей.

Секущая

Автоматический показ. Щелкните 1 раз.

угловой коэффициент прямой(касательной)
Касательная
Геометрический смысл производной
Производная от функции в данной точке

равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания. 2. Найти f(a). 3. Найти f '(x) и f '(a). 4. Подставить

найденные числа a, f(a), f '(a) в общее уравнение касательной
y = f(a) + f '(a)(x – a).

у=х2–2х–3 в точке с абсциссой х0=2.

Решение. 1. Обозначим абсциссу точки

касания а, тогда а=2.
2. Найдем f(a): f(a)=22–2·2–3, f(a)=-3.
3. Найдем f’ (x) и f’(a): f’(x)=2x–2, f’(a)=2.
4. Подставим найденные числа а, f(a), в общее уравнение касательной у=f(a)+f’(a)(x–a): у=-3+2(х–2),
у=-3+2х–4, у=2х–7 – уравнение касательной.

Ответ: у = 2х –7.

в точке M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2) является

точкой касания, так как

1. a = 3 – абсцисса точки касания. 2. f(3) = – 2. 3. f '(x) = x2 – 4, f '(3) = 5. 4. y = – 2 + 5(x – 3),
y = 5x – 17 – уравнение касательной.

прямолинейно и ее координата изменяется по закону x(t), то скорость

ее движения v(t) в момент времени t равна производной т.е. производная от координаты по времени есть скорость

Производная от скорости по времени есть ускорение:


Ускорение движения есть скорость изменения скорости, поэтому ускорение движения в момент времени t равно производной

движения точки:
а) в момент времени t;
б) в момент времени t=2с.
Решение.

а)

б)

Задача 1

момент времени t;
б) в момент времени t=3с.
Решение.



Задача 2

момент времени скорости их равны, т.е.