Прямоугольный треугольник

БУЛАННИКОВА
НАДЕЖДА ВИТАЛЬЕВНА

ТРЕУГОЛЬНИК
Содержание:
2. Свойства прямоугольного треугольника
1. Определение
3.

4. Признаки равенства прямоугольных треугольников

5. Окружность, вписанная в треугольник

6. Окружность, описанная около треугольника

7. Подобие прямоугольных треугольников

8. Теорема Пифагора

9. Площадь прямоугольного треугольника

11. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

10. Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике

12. Соотношения между сторонами и углами треугольника

13. Неравенство Коши

14. Решение прямоугольных треугольников

15. Задачи

ТРЕУГОЛЬНИК
Определение:
Прямоугольный треугольник – треугольник,

Элементы:

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой
Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами

гипотенуза

к
а
т
е
т

катет

ТРЕУГОЛЬНИК
Свойства прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.

По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы).

Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами

Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

ТРЕУГОЛЬНИК
Классический вид:
А
В
С
В
А
С
ɑ

∠A=30°
∠B=60°

ɑ

c

∠C=90°

∠A=45°
∠B=45°

Равнобедренный треугольник

c

ɑ

ɑ

b

ТРЕУГОЛЬНИК

одну.
Центр вписанной окружности

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ
ТРЕУГОЛЬНИК

Окружность, вписанная в треугольник

ТРЕУГОЛЬНИК
Окружность, описанная около треугольника
Около любого

Центр окружности, описанной около треугольника, находится на пересечении серединных перпендикуляров.

У прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Радиус равен половине гипотенузы:

Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе:

a

b

c

mc

R

ТРЕУГОЛЬНИК
Подобие прямоугольных треугольников:
H
B
H
B
A
C
H
B
A
C
A
C
Высота прямоугольного треугольника,

всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим И

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ
ТРЕУГОЛЬНИК

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов.

Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником, а длины его сторон образуют так называемую

(3, 4, 5),
(6, 8, 10),
(5, 12, 13),
(9, 12, 15),
(8, 1, 17),

(12, 16, 20),
(15, 20, 25),
(7, 24, 25),
(10, 24, 26),
(20, 21, 29)

(18, 24, 30),
(16, 30, 34),
(21, 28, 35),
(12, 35, 37),
(15, 36, 39),

(24, 32, 40),
(9, 40, 41),
(27, 36, 45),
(14, 48, 50),
(30, 40, 50), …

пифагорову тройку

ТРЕУГОЛЬНИК
Площадь прямоугольного треугольника
B
C
A
A
B
C
Равнобедренный прямоугольный

ɑ

ɑ

ɑ

c

c

b

h

ТРЕУГОЛЬНИК
Формулы высоты прямого угла

- высота из прямого угла
a, b - катеты
с - гипотенуза
bc , ac - отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой
α, β - углы при гипотенузе

hc

Формула длины высоты через стороны

Формула длины высоты через гипотенузу
и острые углы

Формула длины высоты
через катет и угол

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы

ТРЕУГОЛЬНИК
Пропорциональные отрезки

Высота прямоугольного треугольника,
проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное
(геометрическое) для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Катет прямоугольного треугольника
есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка
гипотенузы, заключенного между катетом и высотой,
проведенной из вершины прямого угла.

ТРЕУГОЛЬНИК
Соотношения между сторонами и

B

A

C

Противолежащий катет

гипотенуза

Прилежащий
катет

ТРЕУГОЛЬНИК
Неравенство Коши
Огюсте́н Луи́ Коши́ (барон

CD-высота,


CO-радиус описанной окружности
(медиана прямоугольного треугольника)

AD= a, BD= b,


СD= h, CO= r
.

r  h, притом данные отрезки совпадают, если треугольник ABC-равнобедренный.

Среднее арифметическое двух
неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического

ТРЕУГОЛЬНИК
Решение

прямоугольных

треугольников

ТРЕУГОЛЬНИК
Задача 1. По заданным катетам

Задача 2. По заданным гипотенузе с и высоте h, проведенной из
вершины прямого угла, найдите сторону квадрата, одна из сторон
которого лежит на гипотенузе.

Решение

Задача 3. Найдите угол между высотой и медианой
прямоугольного треугольника, проведенными
из вершины прямого угла, если острый угол треугольника равен α

Задача 4. Найдите угол между высотой и биссектрисой,

Решение

Решение

Решение

проведенными

из вершины

если острые углы

прямого угла,

треугольника равны α и β

ТРЕУГОЛЬНИК
Задача 8. Медианы прямоугольного треугольника,

Задача 7. Найти площадь прямоугольного треугольника, если
даны радиусы R и r описанного и вписанного в него кругов.

Решение

Задача 5. По заданным катетам a и b
найдите биссектрису прямого угла.

Задача 6. Найдите угол между биссектрисами острых углов
прямоугольного треугольника.

Решение

Решение

Решение

ТРЕУГОЛЬНИК
K
N
M
C
B
A

ТРЕУГОЛЬНИК
E
D
L
K
N
M
C
B
A
h

ТРЕУГОЛЬНИК
∠КСО = 900 - 2α

O

K

C

B

A

ТРЕУГОЛЬНИК
β
α
K
H
C
B
A

ТРЕУГОЛЬНИК
a
B
K
A
C
b
x

ТРЕУГОЛЬНИК
K
B
N
C
M
A
№ 6
135º, 45º

ТРЕУГОЛЬНИК
C
B
A
R
r
c
b
a

ТРЕУГОЛЬНИК
m1
m2
С
В
А
y
y
x
x
D
E

г. Иваново