Слайд 1Раздел 3. Ряды.
§ 1. Понятие ряда. Необходимый признак сходимости.
Пусть имеется
числовые последовательности а1, а2,…аn.
Определение (ряда). Выражение вида а1+ а2 +а3
+…+ аn +…,сокращённо записываемое как
называют рядом. При этом а1, а2, …аn… - члены ряда.
аn общий член ряда.
- гармонический ряд.
С любым числовым рядом можно связать после-довательность чисел по следующей методике.
Дан ряд:
Сопоставим ряду последовательность чисел
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
…
Sn= a1 + a2 + …+ an
Слайд 7Теорема 1. (необходимый признак
сходимости). Если числовой ряд
(1)
сходится, то
(an – общий член ряда).
Доказательство.
Sn= a1 + a2 + …+ an
Sn-1= a1 + a2 + …+ an-1
Вычитая из одного равенства другое, имеем:
Sn - Sn-1 = an.
Так как по условию ряд (1) сходится, значит
существует и
по теореме о
пределе разности
Ч.т.д.
Замечание 1. Необходимый признак сходимости не является достаточным. Это означает, что из того, что нельзя
сделать вывод, что ряд сходится.
Слайд 9Пример. Дан ряд:
n
Используя теорему о предельном переходе в неравенствах, имеем:
,то, значит ряд
расходиться
Слайд 10Замечание 2. Необходимый признак сходимости обычно используют для доказательства расходимости
ряда.
Пример:
Предположим, что он сходится. Тогда
по необходимому признаку ,
но .
Наше предположение неверно, ряд расходится.
Слайд 111.2. Некоторые свойства числовых рядов
Теорема 1. (об умножении ряда на
число).
Пусть ряд (1) сходится, а -действительное
число. Тогда ряд (2) также сходится.
Причем сумма ряда (2) в -раз больше суммы (1).
Доказательство:
Т.к. ряд (1) сходится, следовательно, существует предел последовательности частичных сумм
Слайд 12Рассмотрим ряд (2).
, Sn
= a1 + a2 + . . . + an
=
Т.к. в сумме конечное число членов, то
= (a1 + a2 + . . . + an ) = Sn
по свойству пределов =
= в силу сходимости ряда (1)= S
Т.к. S – конечное, то по определению ряд
сходится.
Слайд 132) Sn =S сумма ряда S в раз больше
суммы ряда S.
Замечание. Т.к.
.
Отсюда видно, что число можно выносить за знак суммы сходящегося ряда.
Теорема 2. (о сумме (разности) сходящихся рядов).
Пусть ряд (1) и ряд (2) сходятся.
Тогда сходятся и ряды и ряды (3) и
Слайд 14Причем, если суммы рядов (1) и (2) равны A, B,
то суммы рядов (3), (4) равны A±B соответственно.
Доказательство: По условию
ряд - сходится
существует .
- сходится существует .
Рассмотрим ряд вида:
Составим для него частичную сумму:
Слайд 15Sn = (а1±b1)+ (а2±b2)+. . . + (аn±bn)= с учетом
конечности слагаемых, сгруппируем=
= (а1+ а2 +. . . + аn)±
(b1+ b2 +. . . + bn)= Sn± Sn
Переходя к пределу в полученном неравенстве, имеем:
по теореме по сумме
(разности) пределов =
1. Ряд и ряд сходятся
по определению.
.
Замечание:1)Т.к.
то сходящиеся ряды можно почленно вычитать или складывать и полученные ряды снова будут сходится.
2) Если же ряд аn и bn расходятся, то о
сходимости ряда ничего нельзя
сказать.
Слайд 17Теорема 3. (о добавлении конечного числа членов к ряду).
Если ряд
сходится (расходится), то
Добавление (вычитание)
к ряду конечного числа членов не меняет характера сходимости ряда.
1.3. Геометрический ряд. Гармонический ряд. Геометрическим называется ряд вида:
1+q+q2+q3+. . . + qn+. . .= , q- знаменатель
Слайд 18Составим частичную сумму для ряда:
Sn=(1+q+q2+q3+. . . + qn-1)
=
q≠1.
Исследуем геометрический ряд на сходимость в зависимости
от числа q.
1. Пусть >1.Тогда , значит, ряд
расходится, т.к.
Слайд 192. Пусть q=1.
Sn=1+1+1+…+1=n,
. Значит, ряд
n
расходится.
3. Пусть q=-1.
, ряд расходится.
4. Пусть < 1.
Sn=
0
def ряд сходится.
.
Слайд 20Объединяя случаи 1-4, можно записать:
,
расходится
, сходится, .
2.1.Знакопостоянные и знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
Опред. (знакоположительного ряда).
Ряд называется знакопостоянным, если
Слайд 21все члены этого ряда имеют один и тот же знак.
Опред.
(знакоположительный ряд). Числовой ряд
называется знакоположительным, если все
члены этого ряда больше an>0.
Теорема 1. (первый признак сходимости)
Пусть даны ряд (1) , ряд (2) со
знакоположительными членами, такими что, начиная с некоторого N, выполняется неравенство n >N, an≤ bn (3).
Слайд 22Тогда:
Из сходимости ряда (2)→сходимость ряда (1).
Из расходимости ряда (1)→ расходимость
ряда (2).
Доказательство самостоятельно.
Теорема 2. (второй признак сходимости рядов со знакоположительными
членами).
Пусть даны ряд (1) , ряд (2) со
знакоположительными членами. Тогда, если существует конечный
, то ряды (1) и (2) сходятся или
расходятся одновременно.
Доказательство самостоятельно.
2.2. Признаки Даламбера, Коши.
Теорема 1. (Признаки Даламбера).
Пусть дан ряд (1) , an ≥0 со
знакоположительными членами.
Если существует конечный , то
расходится.
При l=1 признак Даламбера не дает ответа о сходимости ряда.
Доказательство
самостоятельно.
Признак Коши.
Теорема 1. (признак).
Если для знакоположительного ряда (1),
an ≥0 существует конечный предел
, то
