Решение неравенств методом интервалов 9 класс урок 1

> 0
Какие есть варианты?

2x − 15 > 0
Найти корни уравнения x2

− 2x − 15 = 0 , получим x = 5 и x = −3
В этих точках парабола пересекает ось х
Ветви параболы направлены вверх, т.к. коэффициент a = 1 > 0.

Функция больше нуля там, где она проходит выше оси OX. В нашем случае это интервалы (−∞; −3) и (5; +∞) — это и есть ответ.

+ 4)(x + 9) < 0
Как решать такое неравенство?

Перебирать все

возможные комбинации плюсов и минусов? Сложно и долго.
Рисовать график — тоже не вариант, поскольку непонятно, как ведет себя такая функция на координатной плоскости.
Для таких неравенств нужен специальный алгоритм решения, который мы сегодня и рассмотрим.

сложных неравенств вида
f (x) > 0

или f (x) < 0.

(Напоминаю, что f(х) – это какое-либо выражение с переменной х)

образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще.
2) Отметить

все полученные корни на координатной прямой. Прямая разделится на несколько интервалов. Внутри интервала знак функции постоянен. Знак меняется при переходе в другой интервал.
3) Выяснить знак (плюс или минус) функции f (x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f (x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
4) Отметить знаки на остальных интервалах. Как правило, что при переходе через каждый корень знак меняется (но лучше проверять!).
5) После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f (x) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f (x) < 0.

 Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:
(x − 2)(x +

7) = 0
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
x − 2 = 0 ⇒ x = 2; x + 7 = 0 ⇒ x = −7.
Получили два корня.
Шаг 2: отмечаем эти корни на координатной прямой.

-

x = 2).
Для этого надо взять любое число, которое больше

числа x = 2. Например, возьмем x = 3, и подставим в левую часть неравенства
(x − 2)(x + 7) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10 Число 10 > 0
Поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.
Шаг 4: Аналогично проверяем другие интервалы. Чаще всего знаки в интервалах чередуются. Но не всегда.
( Можно не подсчитывать каждый раз численный результат, а просто определять знаки. Напоминаю: четное количество минусов дают плюс, нечетное – дают минус))
Средний интервал: возьмем х = 0 (0 – 2)(0+7)  (– )· (+) = (– )
Левый интервал: (– 8 – 2)(– 8 +7)  (– )· (– ) = (+)
(Мы берем любое число из данного интервала - какое нам удобно)

имело вид: (x − 2)(x + 7) < 0

Функция (левая часть неравенства) должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.
Ответ: x ∈ (−7; 2)

только в тех точках, где она равна нулю. Такие точки разбивают

координатную ось на куски, внутри которых знак функции никогда не меняется. Вот зачем мы решаем уравнение f (x) = 0 и отмечаем найденные корни на прямой. Найденные числа — это «пограничные» точки, отделяющие плюсы от минусов.
2) Чтобы выяснить знак функции на каком-либо интервале, достаточно подставить в функцию любое число из этого интервала.
Например, для интервала (−5; 6) мы вправе брать x = −4, x = 0, x = 4 и даже x = 1,29374. Почему это важно?
Все точки на одном интервале дают один и тот же знак. Помните об этом!

0
Ответ: x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

0) ∪ (3; +∞)

; 2.6 (б)
В № 2.3 и 2.4 не забудьте

сначала разложить на множители (2.3 вынесение за скобку, 2.4 – разность квадратов)
Присылать только тем, кто не сдал предыдущее задание или у кого мало оценок!
(Кто не справляется с № 2.3 , можно вместо него решить 2.1)