Решение задач по теории вероятностей (по материалам открытого банка задач ЕГЭ

ЕГЭ по математике)
Марова Светлана Николаевна,
МБОУ «Обоянская СОШ №2»,
учитель математики, высшая

бы противоположные вещи, и, извлекая ее имя из того и

Блез Паскаль

Термин «геометрия» в те времена употреблялся также в смысле «математика».

и обобщить основные знания по данной теме;
повторить классическое определение вероятности

реальные ситуации на языке теории вероятностей и статистики, вычислять в

балл за задание – 1.

благоприятных для него исходов испытания к
числу всех равновозможных исходов.
где

невозможного события равна 0.
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
Формула сложения

А и В (наступают одновременно) вычисляется по формуле: 

в серии из n испытаний Бернулли:

P(A) =

вычисления вероятностей.
Две группы задач

эксперимент и какие у него элементарные события (исходы). Убедиться, что

Опыты с равновозможными элементарными событиями

России, 7 из США, остальные − из Китая. Порядок, в

Событие состоит в том, что выбрана спортсменка, которая выступает первой. Первой может оказаться любая.
Всего участвует 20 спортсменок – это общее количество (n).

Решение:

из которых 20 – 8 – 7 = 5 спортсменок из Китая. (это количество исходов благоприятных данному событию, т.е. m)

Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая
p=m/n , т.е. p=5/20 = 1/4 = 0,25.

Ответ: 0,25

3 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для

Количество исходов, благоприятных данному событию:
m=600 – 3 = 597, т.е. это количество насосов, которые не подтекают.
Вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна p=597/600 = 0,995.

Решение:

Событие состоит в том, выбирают хороший насос из 600. Общее количество n=600.

Другой способ решения.
Вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос подтекает, равна p=3/600 = 1/200 = 0,005.
События: «насос подтекает» и «насос не подтекает» - противоположные события, тогда р=1-0,005=0,995

Ответ: 0,995

приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что

Общее количество сумок: 100 + 8 = 108 (качественных и со скрытыми дефектами).

Решение:

Событие состоит в том, купленная сумка окажется качественной. По условию известно, что таких сумок 100, т.е. это количество благоприятных исходов.

Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна
р=100/108 = 25/27=0,925... ≈ 0,93.

Ответ: 0,93

− первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между

В последний день конференции запланировано
(75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов (количество благоприятных исходов).

Решение:

Событие состоит в том, доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции. Всего докладов – 75 (общее количество исходов).

Вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна р=12/75 = 4/25 = 0,16.

Ответ: 0,16

Женя и Саша. Группу случайным образом делят на три подгруппы

Вместе с ним в этом автобусе окажутся 7-1=6 человек из 21-1=20 оставшихся.

Решение:

Пусть один из мальчиков, например, Женя, находится в одном из автобусов.

Вероятность того, что Саша окажется среди этих 6 человек, равна
р = 6 : 20 = 3 : 10 = 0,3.

Ответ: 0,3

на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в

В паре с ним могут оказаться 10-1=9 человек из России из 26-1=25 оставшихся бадминтонистов.

Решение:

Нужно учесть, что Руслан Орлов должен играть с каким-либо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов тоже из России.

Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна р=9:25 = 36:100 = 0,36.

Ответ: 0,36

рассаживаются 9 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что

р = 2 : 10 = 0,2.

Решение:

Допустим, первая девочка уже села на какое-то место. Осталось 11-1=10 мест. Число всех возможных исходов n=10.

Чтобы вторая девочка оказалась рядом с первой, она может сесть либо слева, либо справа от нее. Получаем число благоприятных исходов m=2.

Ответ: 0,2

номера карты случайные. Какова вероятность того, что последние четыре цифры

р = 90 : 10 000 = 9:1000 = 0,009.

Решение:

Цифры стоят на четырех позициях и могут быть любыми из 10 различных (от 0 до 9), т.е. число всех исходов n=10∙10∙10∙10 = 10 000.

Число благоприятных исходов m=10∙9∙1∙1=90.

Ответ: 0,009

случайного абонента совпадают?
р = 10 : 1000 = 1:100 =

Решение:

Цифры меняются от 0 до 9, значит, это комбинации: 000, 111, 222, …, 999. Количество таких комбинаций 10 и число благоприятных исходов m = 10.

Число всех исходов n=10∙10∙10= 1000

Ответ: 0,01

количестве подбрасываний удобно решать методом перебора комбинаций.
Метод перебора комбинаций:
1. Выписываем

Задачи с монетами и кубиком

исходов можно посчитать по формуле

Задачи с монетами и кубиком

какая из команд будет первая владеть мячом. Команда "Меркурий" по

р = 1 : 8 = 0,125

Решение:

Обозначим право владения первой мячом команды "Меркурий" в матче с одной из других трех команд как "Решка". Тогда право владения второй мячом этой команды – «Орел». Итак, напишем все возможные исходы бросания монеты три раза. «О» – орел, «Р» – решка.

Число всех исходов получилось n=8,
благоприятных – m=1.

Ответ: 0,125

та, у которой выпадет больше очков. Если очков выпало поровну,

Всего вариантов n=6. Подсчитаем количество исходов, в которых Диана выиграет, т.е. наберет 4, 5 или 6 очков. Таких вариантов m=3.

Решение:

При условии, что у Марины выпало 3 очка, возможны следующие варианты:

3 и 1
3 и 2
3 и 3
3 и 4
3 и 5
3 и 6

Ответ: 0,5

р=3:6 = 0,5

того, что одновременно хотя бы на одном кубике выпало число

Благоприятных исходов m=9.

Решение:

Общее число исходов

1 и 1
1 и 2
1 и 3
1 и 4
1 и 5

Ответ: 0,25

р=9:36 =1: 4=0,25

2 и 1
3 и 1
4 и 1
5 и 1

выпадет ровно 5 раз» более вероятно, чем событие «орел выпадет

Решение:

Количество всех исходов первого и второго события одинаково:

Ответ: 2,1

формул сложения и умножения вероятностей.

гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то

Пусть событие С – «выигрыш гроссмейстера А., когда он играет белыми», р(С)=0,52. Событие D – «выигрыш гроссмейстера А., когда он играет черными», р(D)=0,3.
Событие F – гроссмейстера А. выиграет обе партии.

Решение:

Событие F является произведением событий C и D, т.к. гроссмейстер А. выиграет оба раза, играя и белыми, и черными.

События C и D независимы друг от друга, поэтому р(F)=р(С∙D)=р(С)∙р(D)=0,52∙0,3=0,156.

Ответ: 0,156.

с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в

Решение:

Пусть событие А – «продавец занят с клиентом», р(А)=0,3.

Необходимо найти вероятность события С, когда занят первый продавец, при этом занят второй, и при этом (занятости первого и второго) ещё занят и третий. Используется правило умножения. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Значит, вероятность того, что все три продавца заняты, равна:
р(С)= р(А)∙р(А)∙р(А)=0,3∙0,3∙0,3 = 0,027.

Ответ: 0,027.

интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А,

Решение:

Пусть событие F – «товар доставят из магазина А»,
тогда событие - «товар не доставят из магазина А», р( )=1– 0,89 = 0,2.
Событие G – «товар доставят из магазина Б»,
тогда событие - «товар не доставят из магазина Б», р( )=1– 0,9 = 0,1.

Эти события независимы. Вероятность совершения независимых событий одновременно (событие C – «оба магазина не доставят товар»), равна произведению вероятностей этих событий: р(С)=0,1∙0,2 = 0,02.

Ответ: 0,02.

в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того,

Решение:

Пусть событие А – «биатлонист попадает в мишени», р(А)=0,8, тогда событие - «биатлонист промахнулся», р( )= 1 – 0,8 = 0,2.

Попадание в мишень при стрельбе является независимым событием. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Таким образом, вероятность события «попал, попал, промахнулся» равна:
0,8∙0,8∙0,2 = 0,128.
Округляем до сотых, получаем 0,13.

Ответ: 0,13.

из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на

Решение:

Пусть событие А – школьнику достанется вопрос по теме «Вписанная окружность», р(А)=0,2. Событие B – школьнику достанется вопрос по теме «Параллелограмм», р(B)=0,15.

Событие С – школьнику достанется вопрос по одной из двух тем.

Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет, т.е. события А и В несовместны. *Несовместные (независимые) события – это события, которые не могут произойти одновременно.
В данном случае вероятности складываются: р(С)=0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух

Решение:

Событие А – «чайник прослужит больше года», В – «чайник прослужит больше двух лет», С – «чайник прослужит меньше двух лет, но больше года»

Обратите внимание, что событие «В» включено в событие «А». Графически это можно выразить так:

Таким образом, р(А)=р(В)+р(С). Искомая вероятность события С будет равна разности: Р(С)=Р(А)–Р(В)= 0,97–0,89 = 0,08.

Ответ: 0,08.

Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20

Решение:

Событие А – «в автобусе меньше 20 пассажиров» состоит из двух несовместных событий: В – «в автобусе меньше 15 пассажиров» и события С – «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». р(А)=0,94, р(В)=0,56.

Таким образом, р(А)=р(В)+р(С). Искомая вероятность события С будет равна разности: Р(С)=Р(А)–Р(В)=0,94–0,56=0,38.

Ответ: 0,38.

что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на

Решение:

Событие А – «при изготовлении подшипников диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм», т.е. диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм, р(А)=0,965.

Событие «подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм» является противоположным событию А.

Значит, необходимо найти вероятность противоположного события.
р( ) =1 – 0,965 = 0,035.

Ответ: 0,035.

Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе,

Решение:

Пусть событие А – кофе закончится в первом автомате, р(А)=0,3. Событие В – кофе закончится во втором автомате, р(В)=0,3.

Обратите внимание, что события А и В совместны, т.к. кофе может закончиться в обоих автоматах.
Событие А∙В – кофе закончится и в первом, и во втором автоматах, р(А∙В) = 0,12.

А+В – кофе закончится хотя бы в одном автомате.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий находится по формуле:
Р(А + В) =Р(АUВ)=Р(А) + Р (В) – Р(А∙В) = 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48.

– ОСТАЛСЯ ВО ВТОРОМ
ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ – ОСТАЛСЯ ВО ВТОРОМ
ОСТАЛСЯ

Выражению – «кофе закончится хотя бы в одном» соответствуют три события из представленных.

Значит, событие «кофе останется в обоих автоматах» противоположно событию «кофе закончится хотя бы в одном». И его вероятность равна: 1 – 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.

событие - «оба автомата неисправны». Они противоположны, т.к.
«неисправен-неисправен»
«исправен-неисправен»
«неисправен-исправен»
«исправен-исправен».
Задача

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата.
Эти события независимые, значит, вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий: р( )=0,05∙0,05=0,0025.

Решение:

Значит вероятность того, что исправен хотя бы один автомат: р(А)=1– 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет

Решение:

Пусть событие С – «Джон попадет в муху». Вероятность этого события найдем по формуле полной вероятности: р(С)=р(А)∙р(С\А)+р(В)∙р(С\В),

где событие А – «Джон схватит пристрелянный револьвер», р(А)= ;
событие В – «Джон схватит непристрелянный револьвер», р(В)=1-0,4=0,6;

р(С\А) – вероятность того, что Джон попадет в муху, если возьмет пристрелянный револьвер, р(С\А)=0,9;
р(С\В) – вероятность того, что Джон попадет в муху, если возьмет непристрелянный револьвер, р(С∙В)=0,2.

Ответ: 0,52.

р(С)=0,4∙0,9+0,6∙0,2=0,48.

«Джон попадет» и «Джон промахнется» - противоположные события, значит р( )=1-0,48=0,52.

он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек

Решение:

Выбор пути на каждой развилке происходит наудачу, поэтому вероятность того, что пенсионер
выберет дорожку АВ р= , дорожку ВG р= .

Ответ: 0,125.

Пусть событие G – «пенсионер пришел в точку G», АВG – «маршрут пенсионера».

Значит, по правилу умножения вероятность того, что пенсионер придет в точку G, равна: Р(G) = Р(АВG) = 1/2·1/4= 0,125.

Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая

Решение:

Событие С – случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Первая фабрика выпускает 45% стёкол, значит, вероятность купить стекло первой фабрики р(А)=0,45. Вероятность купить бракованное стекло первой фабрики р=0,03.

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике И при этом оно окажется бракованным равна: 0,45∙ 0,03=0,0135.

Вторая фабрика выпускает 55% стёкол, значит, вероятность купить стекло второй фабрики р(В)=0,55. Вероятность купить бракованное стекло второй фабрики равна р=0,01.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике И при этом оно окажется бракованным равна 0,55∙0,01=0,0055.

Ответ: 0,019.

Покупка в магазине бракованного стекла подразумевает, что оно (бракованное стекло) куплено с первой фабрики ИЛИ со второй. Это независимые события, то есть полученные вероятности складываем: 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если

Решение:

Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами:
3 + 1, 1 + 3, 3 + 3.

Ответ: 0,33.

Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей.
Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий – результата в первой и во второй игре.

Получаем: р(N ≥ 4) = р(3+1) + р(1+3) + р(3+3) =
= р(3) · р(1) + р(1) · р(3) + р(3) · р(3) =
= 0,3 · 0,4 + 0,4 · 0,3 + 0,3 · 0,3=
= 0,12 + 0,12 + 0,09 = 0,33.

Вероятность событий «проигрыш», «выигрыш», «ничья» составляют полную вероятность. Значит, р(3)+ р(0)+р(1)=1, отсюда р(1)=1-0,3-0,3=0,4.

дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные

Решение:

Пусть завод произвел t тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки, т.е. (1-0,1)t=0,9t, и 30% невыявленных дефектных тарелок, т.е 0,3∙0,1t.
Количество всех тарелок n=0,9t + 0,3 · 0,1t = 0,9t + 0,03t = 0,93t.

Ответ: 0,97.

Поскольку качественных из них (количество благоприятных исходов) m=0,9t,

то вероятность купить качественную тарелку равна: р = 0,9t/0,93t = 0,967 ...≈0,97

10%=0,1 70%=0,7

а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!
Д. Пойа

Учебное пособие. - Курск: ЦР «Лоцман»,
2013. – 96 с.

ЕГЭ: 4000

Список источников основного содержания:

- фотосток фотографий, иллюстраций, векторных изображений.

Список источников иллюстраций: