Системы с одной степ свободы

масс

теории динамических расчётов систем
с конечным числом степеней свободы масс
( в

том числе с n = 1 )

Рассматриваются линейно деформируемые системы.
Массы сосредоточенные, элементы системы невесомые.
3. Сопротивление внешней среды и внутреннее трение в системе
учитываются по модели вязкого трения.
4. Исследуется движение системы относительно
её исходного состояния, в качестве которого принимается
состояние равновесия, вызванное статическими воздействиями
( постоянными и временными нединамическими ).
5. Определению подлежат динамические составляющие
напряжённо-деформированного состояния движущейся системы
( перемещения, усилия, напряжения, деформации ).

жёсткости обобщённой расчётной модели
линейно деформируемой системы с одной степенью свободы

масс

F = 1

F = 1

F = 1

F = 1

F = 1

δ11

δ11

δ11

δ11

δ11

m = Σ mj

δ11 – упругая
податливость системы
в точке расположения
массы по направлению
её движения

движение )

m



y(t)
y
0

R(t)
R(t) – реакция
дискретной связи

FD (t)

Сила
сопротивле-
ния (реакция)
вязкой среды
J(t)

– сила инерции

Математическая
модель

Статическая сторона задачи
( уравнение равновесия )
Σy = 0:
J(t) + FD (t) + R(t) = 0 ( 1 )

Геометрическая сторона задачи
( условие совместности
деформации дискретной связи
и перемещения массы )
Δlc (t) = y(t) ( 2 )

3. Физическая сторона задачи
– закон Гука ( для дискретной упругой связи ):
– закон инерции ( для силы инерции Д’Аламбера ):
– закон вязкого сопротивления ( по модели Фойгта ):

( 3 )

W. Voigt

kf – коэффициент сопротивления

движение )
m

y(t)
y
0

R(t)

FD (t)
J(t)

Математическая
модель

Разрешающее уравнение –
дифференциальное уравнение
свободного движения:

или

Коэффициент демпфирования

масс

Характеристическое уравнение:

Уравнение свободного движения
при β 2 < c / m:

y(t) = a0e – βt sin (ωt + ϕ0 )

Динамика систем с одной степенью свободы масс

ω – угловая частота свободных колебаний системы с одной степенью свободы

β 2 < c / m:

y(t) = a0e – βt

sin (ωt + ϕ0 ),


где

а0

а0

y0

y(t)

t

a0e – βt

T

T

аi

ai +1

– логарифмический
декремент
затухания

0

– a0e – βt

T = 2π /ω

начальная амплитуда

начальная фаза

β = 0 ( kf = 0 ):

y(t) = a0

sin (ωt + ϕ0 )


где

а0

а0

y0

y(t)

t

T

T

T

аi

ai +1

Логарифмический
декремент затухания

δ = 0

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

0

– частота ( угловая )
собственных
колебаний

вынужденное движение )
0

R(t)

FD (t)
J(t)


Математическая
модель
Статическая сторона задачи

( уравнение равновесия )
Σy = 0:
J(t) + FD (t) + R(t) + F(t) = 0

Дифференциальное уравнение
вынужденного движения

(ωt + ϕ0 )
Решение дифференциального уравнения
вынужденного движения системы
с

одной степенью свободы масс:

– общее решение
однородного
уравнения

– частное решение
неоднородного уравнения
при заданной функции F(t)

y*(t)

y*(t) ,

yst,F sin ( ωF t – ε ) =

= ydyn * sin ( ωF t – ε )

ydyn

y*(t)

t

ydyn

TF

TF

Δt

Δt

yst,F = F/c ;

Динамический коэффициент
( коэффициент динамичности )

– коэффициент
неупругого
сопротивления

0

0

Частный случай динамического воздействия – вибрационная нагрузка F(t) = F * sin ωF (t)

γ =

0,025 – сталь
0,05 – дерево
0,08 – кирпичная кладка
0,1 – бетон и железобетон

НДС механической системы ( перемещений, усилий, напряжений, деформаций ) при

приближении частоты вынуждающих воздействий к частоте собственных
колебаний системы.

Динамика систем с одной степенью свободы масс

y(t) = a0e – βt sin (ωt + ϕ0 ) + μ * yst,F sin ( ωF t – ε )

Условие
возникновения
резонанса: ωF = ω

Динамический
коэффициент
при резонансе:

8

Резонансная
кривая

(амплитудно-
частотная
характе-
ристика)

– внезапно приложенная нагрузка F(t) = F

0
F(t)


F
t
y*(t) = yst,F =

F/c

a0

y(t)

t

yst,F + a0e – βt

a0

0

yst,F – a0e – βt

yst,F

Динамический коэффициент

; при β = 0 ( kf = 0 ) μ = 2

–прямоугольный импульс F(t) = F
0
F(t)


F
t
t
0
Интеграл Дюамеля
( J.M.C. Duhamel )
Δt
Нагрузка, произвольно

изменяющаяся
во времени ( по сложному закону F(t) )

F(t)

τ

dτ

F(τ)

y(t) = a0e – βt sin (ωt + ϕ0 ) +

+

Δt < T/(~50)

0

t

y(t)

A0

A0

y(t) = A0e – βt sin ωt

массы есть сумма перемещения безмассовой системы
с обобщенной жесткостью c

от нагрузки F(t) ( эта часть перемещения с точностью
до c –1 повторяет закон изменения F(t) ) и собственной составляющей перемещения

t

0

F(t)

0

t

y(t)

a0e – βt sin (ωt + ϕ0 ).

t

0

y(t)

t

0

F(t)

t

F(t)

0

0

t

y(t)

Вибрационная
( гармоническая )
нагрузка

Внезапно
прикладываемая
нагрузка

Линейно
возрастающая
нагрузка

Для безмассовой
системы

= ystr (t) = y(t)


F(t)


m
R (t)

FD (t)
J(t)



= – [F

(t) + FD (t) + J(t)]

R (t) = – с * y(t)

Эквивалентная расчётная нагрузка
для безмассовой системы

y(t)

Feq (t) = – R (t)

Feq (t) =

F (t) + FD (t) + J(t)

с * y(t)

– вар. 1

– вар. 2

Динамические усилия, напряжения
и перемещения:

– от F = 1

– из условия
равновесия

– по закону Гука
для связи в модели

Расчётная
модель

Динамика систем с одной степенью свободы масс

Sdyn (t)

В модели

В исходной
конструкции

[F (t) + FD (t) + J(t)]
R (t) = –

с * y(t)

Эквивалентная расчётная нагрузка
для безмассовой системы

y(t)

Feq (t) = – R (t)

Feq (t) =

F (t) + FD (t) + J(t)

с * y(t)

– вар. 1

– вар. 2

Динамические усилия, напряжения
и перемещения:

– от F = 1

– из условия
равновесия

– по закону Гука
для связи в модели

Динамика систем с одной степенью свободы масс

Sdyn (t)

Полные усилия, напряжения, перемещения

безмассовой системы













y(t)
Feq (t) = – R (t)

Feq (t) =
F (t)

+ FD (t) + J(t)

с * y(t)

– вар. 1

– вар. 2

Динамические усилия, напряжения
и перемещения:

– от F = 1

Динамика систем с одной степенью свободы масс

Sdyn (t)

S(t) = Sst + Sdyn (t) ,

где Sst = Sconst + Stemp, st

0

t

S (t)

Smax

Smin

Sst

Полные усилия, напряжения, перемещения

Δ(t), σ(t) – аналогично

Напряжения при установившихся
вынужденных гармонических колебаниях

– усилия от статических ( квази-
статических ) воздействий

безмассовой системы













y(t)
Feq (t) = – R (t)

Feq (t) =
F (t)

+ FD (t) + J(t)

с * y(t)

– вар. 1

– вар. 2

Динамические усилия, напряжения
и перемещения:

– от F = 1

Динамика систем с одной степенью свободы масс

σ (t)

S(t) = Sst + Sdyn (t) ,

где Sst = Sconst + Stemp, st

0

t

S (t)

Smin

Sst

Напряжения при установившихся
вынужденных гармонических колебаниях

σm

σa

σm

σa

0

σu

σ–1

Δ(t), σ(t) – аналогично

Полные усилия, напряжения, перемещения

Smax

– усилия от статических ( квази-
статических ) воздействий

е в о п р о с ы
( в

скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 21» )
1. Перечислить предпосылки и рабочие гипотезы линейной теории динамических
расчётов систем с конечным числом степеней свободы масс. ( 3 )
2. Может ли число степеней свободы масс n быть равным 1, если в системе имеется
несколько сосредоточенных масс? ( 2 )
3. Если в системе есть только одна сосредоточенная масса, то обязательно ли n = 1 ?
4. Какова обобщённая расчётная модель системы с одной степенью свободы масс? ( 2 )
5. Как определяется характеристика с жёсткости обобщённой расчётной модели
для любой линейно деформируемой системы с одной степенью свободы масс? ( 4 )
6. Какие уравнения описывают состояние расчётной модели при решении задач
динамики системы с n = 1 кинетостатическим методом? ( 5 )
7. Какие силы учитываются в уравнении равновесия? ( 5 )
8. Каково условие совместности перемещений и деформаций элементов расчётной
модели? ( 5 )
9. Какие физические зависимости используются в решении динамической задачи? ( 5 )
10. Как получается дифференциальное уравнение свободного движения массы системы
с n = 1 ? ( 6 ) Каково его решение (функция, описывающая перемещение массы)? ( 7 )
11. Какими компонентами выражения y(t) описывается колебательный характер
свободного движения и затухание процесса? ( 8 )
12. Из-за чего происходит затухание свободных колебаний?
13. От чего зависит частота свободных колебаний? ( 7 )
14. Какие параметры функции y(t) зависят от собственных свойств системы,
а какие – от начальных условий свободного движения? ( 7, 8 )
15. Каков закон изменения перемещения массы в свободном движении системы с n = 1
при отсутствии сопротивления? ( 9 ) По какой формуле в этом случае определяется
частота собственных колебаний? ( 9 )
*) Только в режиме «Показ слайдов»

е в о п р о с ы
( в

скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 22» )
16. Чем отличаются уравнения кинетостатического метода в случае вынужденного движе-
ния системы с одной степенью свободы масс от уравнений свободного движения? ( 10 )
17. Каков вид выражения динамического перемещения y(t) массы в общем случае
вынужденного движения? ( 11 ) Как в нём учитывается характер заданной
динамической нагрузки? ( 11 )
18. Какая функция y(t) описывает динамическое перемещение массы при действии
гармонической ( вибрационной ) нагрузки? ( 12 )
19. От чего зависит разность фаз гармонической нагрузки и вызываемого ею
динамического перемещения массы ? ( 12 )
20. Что такое динамический коэффициент ( коэффициент динамичности )? ( 12 )
21. По какой формуле вычисляется динамический коэффициент при гармонической
нагрузке? ( 12 )
21. Что понимается под переходным процессом в случае колебаний от вибрационной
нагрузки? ( 13 )
22. Что такое установившиеся вынужденные колебания при вибрационной нагрузке? ( 13 )
По какому закону и с какой частотой они происходят? ( 13 )
23. Что представляет собой резонанс и при каких условиях он возникает? ( 13 )
24. Чему равен динамический коэффициент при резонансе? ( 13 )
25. Каков характер движения массы при внезапном приложении нагрузки? ( 14 )
Чему равен динамический коэффициент при таком воздействии? ( 14 )
26. Какое общее свойство динамического перемещения массы системы с одной степенью
свободы можно использовать для предсказания вида функции y(t) ? ( 16 )
27. Как по найденной функции y(t) динамического перемещения массы обобщённой
расчётной модели определяются динамические и полные усилия, напряжения
и напряжения в исходной конструкции? ( 17 – 20 )
28. Как проверяется прочность материала при циклических напряжениях? ( 20 )

*) Только в режиме «Показ слайдов»