Системы счисления. Кодирование чисел целых и дробных

позиционные и непозиционные
Непозиционная система счисления – это система, где

Позиционной системой счисления, называется система - где порядок цифры в числе определяется рядом степени числа, которое является основанием данной системы счисления.

Система счисления - это совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора знаков.

представить выражением:
N (m) = k0 * m0 + k1

N( m ) - число в m-ой системе счисления;
m - разрядность системы (m = 2 – двоичная система; m = 8 - восьмеричная система; m = 10 – десятичная система; m = 16 – шестнадцатеричная система);
n - количество разрядов в числе;
k - цифра в числе.

10.
Разрядность системы m = 10.
В десятичной системе счисления

Возьмем, к примеру, десятичное число 1957.

Число, состоит из четырех цифр - четырехзначное, т.е. n =4. Используя выше приведенную формулу, получим число в десятичной системе счисления.

N(10) = 7*100 + 5*101 + 9*102 + 1*103 = 1957

2

Разрядность системы m = 2
В двоичной системе счисления

Возьмем, к примеру, двоичное число 100011В

Число, состоит из шести цифр - шестизначное, т.е. n = 6

В – идентификатор двоичной системы счисления. Так цифры 0 и 1 используются как десятичной, так и двоичной системой, в записи чисел недесятичной системы счисления принято использовать буквы являющиеся идентификаторами систем счисления и позволяющие отличить числа одной системы счисления от другой.

Используя выше приведенную формулу, получим десятичное число.

N(2) = 1*20 + 1*21 + 0*22 + 0*23 + 0*24 + 1*25 = 35,

т.е. двоичное число 100011В = десятичному числу 35.

8
Разрядность системы m = 8
В восьмеричной системе счисления

Возьмем, к примеру, восьмеричное число 573Q

Число, состоит из трех цифр - трехзначное, т.е. n = 3

Q – идентификатор восьмеричной системы счисления

Используя выше приведенную формулу, получим десятичное число

N(8) = 3*80 + 7*81 + 5*82 = 379

т.е. восьмеричное число 573Q = десятичному числу 379

16
Разрядность системы m = 16
В шестнадцатеричной системе счисления

A – цифра десять;
B – цифра одиннадцать;
C – цифра двенадцать;

D – цифра тринадцать;
E – цифра четырнадцать;
F – цифра пятнадцать

цифр - трехзначное, т.е. n = 3
H – идентификатор

Используя выше приведенную формулу, получим десятичное число

N(16) = 7*160 + 10*161 + 1*162 = 423,

т.е. шестнадцатеричное число 1A7H = десятичному числу 423

Каждый раз, вычисляя число N(m) по приведенной выше формуле мы получаем число в десятичной системе. Таким образом, числа из 2-ой, 8-ой и 16-ой системы мы переводили в десятичную систему счисления.

шестнадцатеричную системы
Для этого перевода необходимо определить цифры соответствующей системы

Чтобы получить цифры, которыми будет записано число в системе счисления, необходимо делить столбиком десятичное число на число являющееся основанием системы счисления до тех пор, пока частное от деления не будет меньше этого числа, и затем проанализировать результат деления.

Например, как мы выяснили ранее десятичное число 35 равно двоичному числу 100011В. Попробуем его получить. Делим столбиком число 35 на число 2, являющееся основанием двоичной системы счисления.

налево. Получили двоичное число: 100011В. Т.е.
35=100011B

573Q. Проверим это. Делим столбиком число 379 на число 8,

Анализируя результат деления, складываем полученные цифры системы в число справа налево. Получили восьмеричное число: 573Q. Т.е.
379=573Q

1А7Н. Проверим это. Делим столбиком число 423 на число 16,

Анализируя результат деления, складываем полученные цифры системы в число справа налево. Получили шестнадцатеричное число: 1А7Н. Т.е.
423=1A7H

записи информации в компьютер.
Двоичное кодирование информации, как уже было

Вся информация в компьютер записывается в байты.

Вид байта с пронумерованными битами

Старшая тетрада

Младшая тетрада

биты в байте нумеруются справа налево

в двоичную систему, так и цифрами восьмеричной и шестнадцатеричной системы

8 (от 0 до 7).
Их двоично-восьмеричные коды таковы:
0

Как видим, чтобы записать одну цифру восьмеричной системы в двоично-восьмеричном коде необходимо три бита.

Старшая триада

Средняя триада

Младшая триада

Видно, что левая старшая триада является усеченной.

Поэтому при такой записи информации байт, состоящий из восьми битов, делят не на тетрады по четыре бита, а на триады по три бита

На рисунке в байт записано восьмеричное число 257Q.

Максимальное восьмеричное число, которое можно записать в один байт равно 377Q.

системе 16 (от 0 до F).
Их двоично-шестнадцатеричные коды таковы:

A – 1010 – цифра десять
B – 1011 - цифра одиннадцать
C – 1100 - цифра двенадцать
D – 1101 - цифра тринадцать
E – 1110 - цифра четырнадцать
F – 1111 - цифра пятнадцать

0 – 0000B 5 – 0101B
1 – 0001B 6 – 0110B
2 – 0010B 7 – 0111B
3 – 0011B 8 – 1000B
4 – 0100 B 9 – 1001B

Цифры десятичной системы

Анализируя двоично-шестнадцатеричные коды видно, что, разбивая байт на тетрады, и, записывая одну цифру двоично-шестнадцатеричного кода в четырех битах, мы полностью используем все комбинации двоичных цифр от 0000 до 1111. Двоично-десятичная же запись информации не позволяет нам это сделать. Поэтому большинство современных компьютеров используют шестнадцатеричную систему счисления

Поэтому, например, полученное нами, в ранее рассмотренных примерах, число 1А7Н

7

A

1

Незначащие ноли

Лишняя тетрада заполняется незначащими нолями

В этом случае старший разряд в байте (или группе байт),

Разряды для записи числа

Знаковый разряд

Для этого сначала переведем это число в двоичную систему счисления.

Число десятичное 106 равно числу двоичному 1101010В.

Число 106 в двоичном коде

Ноль в знаковом
разряде означает, что число положительное

Число +106

На рисунке видно, что разряды в байте пронумерованы в соответствии с рядом степени числа 2. В этом порядке и записано в байт наше двоичное число.

коде.
Чтобы получить число в дополнительном коде двоичное число инвертируют

Проинвертировать двоичное число это, значит, записать его разряды наоборот, т.е. вместо единиц записать ноли, а вместо нолей единицы.

+106

Инвертированное число

+

1

-106

+106

+

-106

1

Единица переполнения

+127. Минимальное отрицательное число, которое можно записать в один байт

+127

-128

с плавающей запятой или числа с плавающей точкой.
Числа с плавающей

На Американском континенте в дробном десятичном числе принято отделять целую часть точкой, а не запятой как у нас в Европе. Поэтому в литературе по информатике вам могут встретиться оба эти названия. Так как мы живем в России, остановимся на названии числа с плавающей запятой.

Почему запятая плавает?

=0,25*101
0,25*101 – число в нормализованном виде
Число записанное следующим

Как видим, запятая плавает в зависимости от степени числа 10. Отсюда название числа с плавающей запятой.

полулогарифмическая форма, которая имеет вид:

S – мантисса числа A, всегда

Запись такого типа называется полулогарифмической, так как в логарифмической форме представляется часть числа p± r

или в восемь байтов.
Структура записи числа с плавающей запятой в

Знак числа

Знак порядка

Характеристика числа

Мантисса числа

Крайний левый разряд (31) содержит знак числа (0 соответствует плюсу, а 1 минусу).

Следующий слева (30) разряд знак порядка в числе.

В остальные биты старшего байта (разряды с 29 по 24) записана характеристика числа, она несет в себе информацию о порядке числа.

Остальные биты в оставшихся байтах содержат мантиссу числа в нормализованном виде.

Мантисса -- дробная часть десятичного логарифма

символу алфавита сопоставить определенное целое число, то с помощью двоичного

Восьми двоичных разрядов достаточно для кодирования 256 различных символов. Этого хватит, чтобы выразить различными комбинациями из восьми битов все символы английского и русского языков, как строчные, так и прописные, а также знаки препинания, символы основных арифметических действий и некоторые общепринятые специальные символы, например символ «@».

В настоящее время разработана система, основанная на 16-разрядном кодировании символов. Она получила название UNICODE. Шестнадцать разрядов позволяют обеспечить уникальные коды для 65536 различных символов – этого поля достаточно для размещения в одной таблице символов большинства языков планеты.

мельчайших точек, образующих характерный узор, называемый растром.
Линейные координаты и

Векторная графика

Элементарным объектом векторного изображения является не точка, а линия. Графические объекты создаются как совокупности линий.

В векторных редакторах каждая линия рассматривается как математическая кривая третьего порядка и, соответственно, представляется математической формулой (в компьютере хранятся числовые коэффициенты этой формулы).

Из элементарных объектов (линий) создаются простейшие геометрические объекты (примитивы) из которых, в свою очередь, составляются законченные композиции.

RGB.
За основные три цвета приняты красный (Red), зеленый (Green),

Эта схема применяется для создания графических образов в устройствах, излучающих свет, - мониторах, телевизорах.

Модель CMYK.

Изображение формируется на основе отраженной волны от окрашенных поверхностей.

Цвет поверхности можно получить красителями, которые поглощают, а не излучают. Например, если мы видим зеленое дерево, то это означает, что из падающего белого цвета, т.е. суммы красного, зеленого, синего, поглощены красный и синий, а зеленый отражен.

дополняющий красного;
пурпурный (Magenta = R+B), дополняющий зеленого;
желтый (Yellow

Но так как цветные красители по отражающим свойствам не одинаковы, то для повышения контрастности применяется еще черный (black).

Модель CMYK названа по первым буквам слов Cyan, Magenta, Yellow и последней букве слова black.

Так как цвета вычитаются, модель называется субстрактивной.

спектр, то есть являются аналоговыми.
Их разложение в гармонические ряды

Обратное преобразование для воспроизведения звука, закодированного числовым кодом, выполняют цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП).

При таких преобразованиях неизбежны потери информации, связанные с методом кодирования, поэтому качество звукозаписи обычно получается не вполне удовлетворительным .

музыкальных инструментов (и не только для них).
Метод таблично-волнового (Wave-Table)

В технике такие образцы называются сэмплами.

Числовые коды выражают тип инструмента, номер его модели, высоту тона, продолжительность и интенсивность звука, динамику его изменения, некоторые параметры среды, в которой происходит звучание, а также прочие параметры, характеризующие особенности звука.

Поскольку в качестве образцов используются «реальные» звуки, то качество звука, полученного в результате синтеза, получается очень высоким и приближается к качеству звучания реальных музыкальных инструментов.