Совершенные числа

Исследователь: Гречкин Владислав Геннадьевич ученик 8 «А» класса МБОУ «ЮРЛК и НК»     Научный руководитель: Ермуратина Татьяна Викторовна учитель математики высшей категории МБОУ «ЮРЛК и НК»

очаровывали и пленяли таинственные законы чисел. А само возникновение понятия

числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. Две с половиной тысячи лет тому назад мыслитель из Кротона Пифагор, чьё имя теперь известно каждому школьнику, сделал из учения о числах религию, считая незыблемые законы чисел мистической основой всего мира.

занимают совершенные числа.
Аристотель говорил, что: «Совершенным называется то, что по

достоинствам и ценности не может быть превзойдено в своей области».

Натуральное число п называется совершенным, если сумма всех его собственных делителей, отличных от самого п, в точности равна п. Легко заметить, что далеко не всякое натуральное число равно сумме всех своих делителей, отличающихся от этого числа.

веке, писал: «Совершенные числа красивы. Красивые вещи редки и немногочисленны,

безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного».
Он не знал, сколько имеется совершенных чисел. Не знаем этого и мы. До настоящего времени нет ответов на два важных вопроса. Существует ли наибольшее совершенное число? Существует ли нечётное совершенное число?

считались божественными. Так, средневековая церковь полагала, что изучение совершенных чисел

ведёт к спасению души, что нашедшему новое совершенное число гарантировано вечное блаженство. Существовало также убеждение, что мир потому прекрасен, что сотворен создателем за 6 дней. В сочинении «Град Божий» Святой Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочёл сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира.

знали математики Древней Греции, было число 6. На шестом месте,

на званом пиру, возлежал самый уважаемый, самый почётный гость. Рассмотрим число 6. Оно имеет делители 1, 2, 3 и 6. Если сложить все его делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3, то мы получим 6. Значит, число 6 является первым совершенным числом.

6 = 1+2+3

в этом числе особый смысл. По его мнению, Луна обновляется

за 28 суток, потому что число 28 - совершенное. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах.

28=1+2+4+7+14

никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько

таких чисел вообще может быть. Великий основатель геометрии много занимался изучением свойств чисел. Конечно, его не могли не интересовать совершенные числа. Евклид доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей 2(р-1) и (2р – 1), где второе число – простое (то есть делящееся только на себя и на единицу), является совершенным числом. Если в формулу Евклида подставить p=2, то получим 2 х 3 = 6 - первое совершенное число, а если p=3, то 2(3-1) х (23-1) = 28.

Леонард Эйлер впоследствии доказал, что все чётные совершенные числа имеют указанный вид. Он же в 1772 году нашёл восьмое совершенное число  при р=31 2 305 843 008 139 952 128.

Благодаря своей формуле,

Евклид сумел найти ещё два совершенных числа: третье при p=5 и четвёртое при p=7. Это числа 496 и 8128. Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида.

знали только четыре совершенных числа, и никто не знал, могут

ли существовать ещё числа, которые можно представить в евклидовской формуле, и никто не мог сказать, возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида.
Следующее, пятое, совершенное число было найдено лишь в пятнадцатом веке немецким математиком Региомонтаном, оказалось, что и оно подчиняется условию Евклида и равно 33 550 336.

числа – шестое и седьмое. Они соответствуют р = 17

и р = 19 и равны 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Обратите внимание, что счёт идёт уже на миллиарды, и страшно даже представить, что все вычисления были проделаны без калькуляторов и компьютеров!

Катальди Пьетро Антонио, бывший профессором математики во Флоренции и Болонье, который первый дал способ извлечения квадратных корней, тоже занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел. И навсегда осталась в истории загадочная тайна, как он сумел найти их. До сих пор предложено только одно объяснение этой загадке – оно было дано ещё его современниками: помощь божественного провидения, подсказавшего своему избраннику верные значения двух совершенных чисел.

нём оказалось тридцать семь знаков. Этот вычислительный подвиг совершил сельский

священник из-под Перми Иван Михеевич Первушин. Первушин тоже считал без всяких вычислительных приборов.

р = 89, 107 и 127). А к середине XX

века обнаружено ещё семь таких чисел. С 1952 года в поиски включились электронно-вычислительные машины. И если первое совершенное число однозначно, то двадцать четвёртое содержит уже свыше 12000 знаков. В 1971 году за 40 минут работы мощная ЭВМ нашла 24-е совершенное число. А в 1978 году ЭВМ уже работала 440 часов, чтобы дойти до следующего, 25-го совершенного числа. В развёрнутой записи этого числа содержится 26790 цифр!
На апрель 2010 года известно 47 чётных совершенных чисел, поиском новых таких чисел занимается проект распределённых вычислений GIMPS. Почти все последующие совершенные числа выдерживают только евклидову форму записи.

свойства совершенных чисел:
Все чётные совершенные числа являются треугольными числами. Это

значит, что, взяв совершенное число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.

Кроме того, они являются шестиугольными числами, то есть могут быть представлены в виде n(2n−1).

Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2. Например, для совершенного числа 28:



Все чётные совершенные числа, кроме 6, являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел. Например, 28 = 13 + 33, а 496 = 13 + 33 + 53 + 73.

понял, что мир чисел очень загадочен и увлекателен, и если

бы каждый из нас уделял ему больше внимания, то нашёл бы для себя много нового и интересного. Выполняя эту работу, я познакомился с удивительными натуральными числами: совершенными. Анализируя научно-популярную литературу об этих числах, я убедился, что совершенные числа и сегодня скрывают много загадок. Вопрос о существовании нечётного совершенного числа и о бесконечности множества чётных совершенных чисел открыт до сих пор. Все открытые совершенные числа парные. Ученые доказали, что может быть не меньше 1036 непарных совершенных чисел, но ни одного из них ещё не нашли. Считают, что даже наименьшее из непарных совершенных чисел может быть чрезвычайно большим. Возникают и другие вопросы, ответа на которые ищет много математиков. Это ещё раз подтверждает, что мир математики полон тайн и загадок, но разгадать их могут только пытливые.