Тема 2

и взаимном положении

и В, лежащие на этой прямой. Это наиболее удобный способ

задания прямой. Прямая линия m считается заданной, если на комплексном чертеже построить проекции двух ее точек А и В

Пространственная картина

Проекции прямой

проекция прямой m1 – через А1 и В1 ; фронтальная

проекция прямой m2 – через А2 и В2

x

Пространственная картина

Комплексный чертеж

Проекции прямой

чертежа k под углом 45. С ее помощью по линиям

связи получают профильную проекцию прямой А3 В3 , положение которой определяется разностями координат z и y

k

45

Безосным называется чертеж, на котором
отсутствуют оси проекций

Безосный чертеж

45

к плоскостям проекций общее или частное положения


Метрические характеристики

отрезка:

н.в. – натуральная величина отрезка;
 – угол наклона отрезка к плоcкости П1 ;
 – угол наклона отрезка к плоcкости П2 ;
 – угол наклона отрезка к плоcкости П3

B

A

Положение прямой относительно плоскостей проекций

Н.в.

характеристики, ни одна из ее проекций не параллельна осям координат

и не перпендикулярна к ним

Прямая общего положения наклонена ко всем плоскостям проекций

Прямая общего положения

каких-либо ее характеристик. Прямая уровня про-ецируется без искажения на ту

плоскость проекций, которой она парал-лельна. Одна из проекций проецирующей прямой вырождается в точку

Прямая частного положения параллельна или перпендикулярна одной из плоскостей проекций

Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, называется прямой уровня:
Горизонтальная прямая уровня (горизонталь) h  П1
Фронтальная прямая уровня (фронталь) f  П2
Профильная прямая p П3

Прямая, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей прямой:
Горизонтально проецирующая прямая  П1
Фронтально проецирующая прямая  П2
Профильно проецирующая прямая  П3

Прямые частного положения

и имеют одинаковую аппликату z= const. Фронтальная проекция горизонтали А2

В2 параллельна оси х. Горизонтальная проекция горизон-тали А1 В1 , углы  и  изображаются в натуральную величину на П1

Пространственная картина

Комплексный чертеж

x

h

B

A

Прямые уровня: горизонталь (h П1)

АВ равноудалены от фронтальной плоскости проекций П2 и имеют одинаковую

координату y (y= const). Горизонтальная проекция фронтали А1 В1 параллельна оси х. Фронтальная проекция фронтали А2 В2 , углы  и  изображаются в натуральную величину на П2

и имеют одинаковую координату х (х= const). Горизонтальная А1 В1

и фронтальная А2 В2 проекции прямой перпендикулярны оси х. Профиль-ная проекция А3 В3 , углы  и  имеют натуральную величину на П3

Пространственная картина

Комплексный чертеж

z

O

x

y1

y3

B

A

р

Прямые уровня: профильная прямая (р П3)

поэтому ее горизонтальная проекция А1 В1 вырождается в точку.

Относительно П2 и П3 прямая параллельна и изображается на этих плоскостях проекций в натуральную величину. Проекция А2 В2 перпендикулярна оси координат х

П3 . Фронтальная проекция А2 В2 вырождается в точку. На

П1 и П3 прямая проецируется в натуральную величину. Проекция А1 В1 перпендикулярна оси координат х

Пространственная картина

Комплексный чертеж

A

B

x

Фронтально проецирующая прямая (П2)

в точку. Относительно П1 и П2 прямая параллельна, на

этих плоскостях ее проекции имеют натуральную величину. Горизонтальная и фронталь-ная проекции прямой перпендикулярны осям y и z , соответственно

Пространственная картина

Комплексный чертеж

B

A

x

z

y1

y3

Профильно проецирующая прямая (П3)

точка пересечения прямой с соответствующей плоскостью проекций. Точка М

– это горизонтальный след прямой АВ , она имеет аппликату zМ = 0. Точка N – это фронтальный след прямой АВ, который имеет ординату yN = 0.

М с координатой z =0. Пересечение фронтальной проекции прямой А2

В2 с осью х определяет фронтальную проекцию следа M2 . Горизонтальная проекция следа М1 принадлежит горизонтальной проекции прямой

Пространственная картина

Комплексный чертеж

A

B

x

Следы прямой

найдем на ней точку N с координатой y = 0.

Пересечение горизонтальной проекции прямой А1 В1 с осью х определяет горизонтальную проекцию следа N1 . Фронтальная проекция следа N2 принадлежит фронтальной проекции прямой

с катетами x и y. Отрезок АВ – гипотенуза прямоугольного

треугольника АВК , один катет которого АК = А1 В1 , а другой равен раз-ности расстояний z концов отрезка А и В от плоскости проекций П1

Метод прямоугольного треугольника

 АВ 2 = x 2 + y 2 + z 2

x 2 + y 2 = А1 В1 2

x

Определение характеристик отрезка

К

А1 В1 В0 , второй катет которого равен z. Гипотенуза

А1 В0 треугольника равна натуральной величине отрезка АВ , а угол  есть угол наклона отрезка АВ к горизонтальной плоскости проекций

Метод прямоугольного треугольника

x

z

y

x

x

Определение характеристик отрезка

К

проекции А2 В2 строят прямо-угольный треугольник В2 А2 А0 ,

второй катет которого равен y. Гипоте-нуза А0 В2 треугольника равна натуральной величине отрезка АВ , а угол  есть угол наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций

К

СD = K(К1 , К2)
А1 В1  С1 D1 =

K1

А2 В2  С2 D2 = K2

Точка пересечения К прямых АВ и СD проецируется в точки пересече-ния соответствующих проекций прямых: на П1 - это точка К1 ; на П2 - точка К2 . Точки пересечения К1 и К2 одноименных проекций прямых лежат на одной линии связи

прямых не пересекаются. Одноименные проекции прямых параллельны или совпадают, если

параллельные прямые лежат в проецирующей плоскости

n

m

x

n

1

m  n

m1  n1

m2  n2

параллельны между собой
Проекции скрещивающихся прямых могут быть параллельны, т.к. пря-мые

m и n лежат в параллельных плоскостях. Проекции скрещивающихся прямых могут иметь пересечение, т.к. прямые m и n не параллельны меж-ду собой. 1 и 2 – конкурирующие точки, принадлежащие разным прямым

m

n

m1  n1

m2  n2

обе его стороны параллельны плоскости проекций
Проекции сторон угла равны натуральным

величинам. При проециро-вании величина угла не искажается

BC  B1 C1

АВ  А1 В1

параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, то прямой

угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения

Для доказательства продолжим сторону угла АВ до пересечения с ее проекцией А1 В1 в точке М1 . Через точку М1 проведем прямую М1 N1  В1 C1 .
Т. к. BC П1 , то BC В1 С1 . Значит, М1 N1 ВС и BM1 N1 =90 . По теореме о 3-х перпендикулярах B1 M1 N1 =90 , следовательно, и A1 В1 С1 = 1 =90

Дано:

Доказать:

угла, то одна из его сторон обязательно натуральная величина

С к прямой f
D2  D1
C2D2  f2

D1  C1

Прямая f является фронталью и проецируется на П2 в натуральную величину. Следовательно, фронтальная проекция перпендикуляра С2 D2 перпендикулярна фронтальной проекции прямой f . Определяем основа-ние перпендикуляра – точку D. Строим горизонтальную проекцию С1 D1

проекции точки будут принадлежать соответствующим проекциям пря-мой. И наоборот, если

проекции точки принадлежат соответствующим проекциям прямой, то в пространстве точка будет принадлежать прямой

а



K  a

Пространственная картина

Комплексный чертеж

а) одна
б) две
в) бесчисленное множество
Если

отрезок прямой параллелен плоскости про-екций, то длина его проекции на этой плоскости…
а) искажается
б) будет точкой
в) равна длине отрезка
Если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то ее проекцией на эту плоскость будет…
а) прямая
б) точка
Может ли прямая общего положения быть параллельной или перпендикулярной одной из основных плоскостей проекций?
а) да
б) нет

и положению в пространстве:
а) ? – горизонталь
б)

? – фронталь
с) ? – профильная прямая

д) ? –  П1
е) ? –  П2
ж) ? –  П3

и положению в пространстве:
а) ? – горизонтально-проецирующая
б)

? – фронтально-проецирующая
с) ? – профильно-проецирующая

д) ? –  П1
е) ? –  П2
ж) ? –  П3

Вопросы для самопроверки

для самопроверки

к прямой f?
а) MN
б) MK
в) оба
а) М ?

f
б) K ? f
в) N ? f