Тема: Интеграл. Определенный интеграл. Свойства. Примеры. Применение

нахождения длин, площадей и объемов».
Выполнила:
Студентка группы № 10
Юферова Марина

возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции

по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой — измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые И., вычисление которых является задачей интегрального исчисления.

[a, b], a < b. Выполним следующие операции:

1) разобьем [a,

b] точками a = x0 < x1 < ... < xi-1 < xi < ... < xn = b на n частичных отрезков [x0, x1], [x1, x2], ..., [xi-1, xi ], ..., [xn-1, xn ];

2) в каждом из частичных отрезков [xi-1, xi ], i = 1, 2, ... n, выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: f(zi);

3) найдем произведения f(zi) · Δxi, где – длина частичного отрезка [xi-1, xi ], i = 1, 2, ... n;

на отрезке [a, b]:


С геометрической точки зрения эта сумма σ

представляет собой сумму площадей прямоугольников, основания которых – частичные отрезки [x0, x1], [x1, x2], ..., [xi-1, xi ], ..., [xn-1, xn ], а высоты равны f(z1), f(z2), ..., f(zn) соответственно (рис. 1). Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка:

и он не зависит ни от способа разбиения отрезка [a,

b] на частичные отрезки, ни от выбора точек zi в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f(x) на отрезке [a, b] и обозначается
Таким образом,

[a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и

верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования; отрезок [a, b] называется промежутком интегрирования.
Теорема 1. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.
Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

обозначения переменной интегрирования:


2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного

интеграла:

функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:


4. Если

функция y = f(x) интегрируема на [a, b] и a < b < c, то

= f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом

отрезке существует точка , такая, что

Интегрируем по таблице с помощью формулы

Появившуюся константу целесообразно отделить

от и вынести за скобку.

предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем

окончательный ответ.

Пример 2
Вычислить определенный интеграл

при этом все константы выносим.
(3) Для каждого из трёх слагаемых

применяем формулу Ньютона-Лейбница:

- параметрические

уравнения гладкой кривой, то длина ее дуги равна
, где и - производные функций
и соответственно, по параметру .
Существует аналогичная формула для длины дуги пространственной гладкой кривой
:

отрезке функции, осью

и прямыми и равен

плоскостями, проходящими через точки

и то

, где — площадь сечения тела плоскостью, которая проходит через точку и перпендикулярна к оси