Теорема Пифагора - история, формулировка, доказательства

пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование.

В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

книга Чупей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике

со сторонами 3, 4 и 5:
"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".
В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

уже египтянам еще около 2300 г.
до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно

папирусу 6619 Берлинского музея).
По мнению Кантора гарпедонапты, или
"натягиватели веревок", строили прямые углы
при помощи прямоугольных треугольников со
сторонами 3, 4 и 5.

построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к

ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до

н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников,Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:

равновелик сумме квадратов, построенных на катетах»

« Площадь квадрата, построенного

на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». 

Во времена Пифагора теорема звучала так:

или

катетов».    

(геометрических, алгебраических, механических и т.д.).

+ c.
c
a

со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a

и c.

a

c

a

c

В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.

a

c

Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c.

ACFG и BCHI-квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины

C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q; соединим точки C и E, B и G.

AGB(закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и

углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA; они имеют общее основание AE и высоту AP, опущенную на это основание, следовательно
SPQEA=2SACE
Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, SFCAG=2SGAB

Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема Пифагора.

угла С. 2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB, отсюда следует
AB*AD=AC2.
3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB,

значит
AB*BD=BC2.
4) Сложив полученные равенства почленно, получим:
AC2+BC2=АВ*(AD + DB)
AB2=AC2+BC2. Что и требовалось доказать.

AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим

перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E. 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:

SABED=2*AB*AC/2+BC2/2
3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:
SABED= (DE+AB)*AD/2.
4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:
AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2
AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2
AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC
BC2=AB2+AC2.
   Это доказательство было опубликовано в 1882 году Гэрфилдом.

теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё

или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

наибольших возможных, то по крайней мере хороших математических знаний. Характерный

чертёж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора (рис. 7, 8) или в человечка в цилиндре (рис. 9) и т.п., в те времена всеобщей страсти к символам нередко употреблялся как символ математики. Столь же часто мы встречаемся с «Пифагором» в средневековой живописи, мозаике, геральдике.