ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 1. Д.Э. Постнов Введение в динамику итерируемых

Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007.
2. В.С. Анищенко «Знакомство с

нелинейной динамикой». Москва: Изд-во УРСС, 2008.

это любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие

состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени, и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию однозначно прогнозировать будущее состояние ДС и его называют законом эволюции, который является детерминированным оператором.
Таким образом, главное свойство ДС состоит в том, что зная ее состояние в некоторый момент времени, можно найти состояние в любой последующий момент времени. Для этого достаточно применить к начальному состоянию закон эволюции.
В смысле его задания ДС могут описываться с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, с помощью теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей ДС.

определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции состояния во

времени.

В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели.
Исследуя одну и ту же динамическую систему (например, движение маятника), в зависимости от учета различных факторов мы получим различные математические модели.

В дальнейшем под динамической системой будем понимать ее математическую модель.

обыкновенных дифференциальных уравнений. Для определения ДС указывается объект, допускающий описание

состояния заданием величин x1, x2, …, xN в некоторый момент времени t = t0. Величины xi могут принимать произвольные значения, причем двум различным наборам величин xi и x’i отвечают два разных состояния. Закон эволюции динамической системы во времени записывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Величины x1, x2, …, xN - фазовые переменные системы,
 - вектор управляющих параметров,
F1, F2, …, FN – некоторые функции.

(1)

точки x в N-мерном пространстве, то получается наглядное геометрическое представление

состояния ДС в виде этой точки.
Данная точка называется изображающей или фазовой точкой, а пространство состояний – фазовым пространством системы. Изменению состояния системы во времени отвечает движение фазовой точки вдоль некоторой линии, называемой фазовой траекторией.
Правые части уравнений F1, F2, …, FN определяют скорость движения изображающей точки в N-мерном фазовом пространстве.

x1

x2

x3

x0

 - фазовая траектория

форме:

(2)
В этом случае постулируется , что каждому x(t0) в фазовом пространстве ставится в соответствие состояние x(t) (t > t0), куда за время t – t0 переместится фазовая точка, движущаяся в соответствии с уравнением (2). В операторной форме (2) можно записать в виде

(3)

где Tt – закон (оператор) эволюции. Если этот оператор применить к начальному состоянию x(t0), то мы получим x(t), то есть состояние в момент времени t > t0. Оператор Tt можно назвать оператором отображения или просто отображением.
Динамические системы можно классифицировать в зависимости от вида оператора отображения и структуры фазового пространства.

называется линейным. Линейный оператор обладает свойством суперпозиции:

Если

оператор нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной.

Системы, для которых отображение x(t) с помощью оператора Т может быть определено для любых t > t0 (непрерывно во времени), называют системами с непрерывным временем или потоками (по аналогии со стационарным течением жидкости).
Если оператор отображения определен на дискретном множестве значений времени, то соответствующие динамические системы называют системами с дискретным временем, или итерируемыми отображениями (в дальнейшем для краткости – просто отображения).

образом:
(4)
x – вектор координат состояния;
n – дискретное время;
F(x) –

вектор-функция с компонентами fi, i=1,2,…, N, задающая закон преобразования из предыдущей величины xn в последующую xn+1;
 - вектор управляющих параметров системы.

Для одномерного случая уравнение (4) примет вид:


x0 – начальное состояние системы при n = 0.
Последовательность точек xn (x0, x1, x2, …, xn) представляет дискретную фазовую траекторию отображения.
Под размерностью дискретной системы N (4) понимают количество независимых переменных состояния (размерность вектора состояния x). Как и для систем с непрерывным временем, оно соответствует числу уравнений.

характер. Например, длительность светового дня можно измерить не чаще чем

365 раз в году. Изменение состояния микропроцессора в компьютере подчинено сигналам тактового генератора, а в промежутках между ними его состояние неизменно.
Системы с дискретным временем могут рассматриваться как самостоятельные при описании, например, экологических, экономических и социальных процессов.
2. Если наложить дополнительное условие на модель с непрерывным временем (введение так называемого сечения Пуанкаре), то данная модель переходит уже в класс систем с дискретным временем.

и трансверсально пересекает поверхность S (размерности N – 1), которая

называется секущей Пуанкаре.
Траектория Г порождает на секущей некоторое точечное отображение, однозначно (но не взаимно однозначно) ставящее в соответствие любой точке xn пересечения Г с S ближайшую следующую за xn точку xn+1. Полученное дискретное множество xn на секущей называется сечением Пуанкаре для траектории Г.
Закон соответствия между предыдущей и последующей точками пересечения называется отображением последования или отображением Пуанкаре.
В общем случае отображение Пуанкаре задается нелинейным дискретным уравнением, размерность которого равна размерности секущей Пуанкаре.

соответствующему отображению, которое однозначно задается выбранным дополнительным условием. Однако обратное

неверно. Одному и тому же отображению может соответствовать бесконечное количество динамических систем с непрерывным временем, так как существует бесконечное число способов заполнить промежуток между отсчетами времени.

с поведением динамической системы с непрерывным временем, то величина интервалов

времени между отсчетами не имеет значения. Достаточно просто перенумеровать значения, которые принимает переменная.
Одномерное отображение можно записать в виде рекуррентного соотношения:

(5)

Здесь f(xn) – это функция последования, задающая закон преобразования из предыдущей величины xn в последующую xn+1. Простейший случай, когда f( ) является константой, f(x) = a приводит к линейному отображению.
Чтобы найти величину xm, отстоящую на m шагов во времени от x0, достаточно m раз применить f( ), сначала к x0, а затем каждый раз – к получившейся величине. Применение функции последования на каждом шаге по времени называют итерацией, или итерированием отображения.

xn+1 = axn :
m-кратное применение функции

f( ) обычно обозначают как

геометрической прогрессии.
Точное равенство a = 1 оставляет xn неизменным

при любых n.
При 0 < a < 1, величина xn монотонно убывает, асимптотически стремясь к нулю.
При a < 0 процесс итерации приобретает характерную особенность: xn меняет знак на каждом шаге итерации. По этой причине как схождение процесса итераций к нулю, так и его разбегание в бесконечность приобретают осциллирующий характер.

Рассмотрим примеры фазовых траекторий линейного отображения xn+1 = axn для различных значений параметра a

точка. Отложим это значение по оси абсцисс. Тогда по оси

ординат функция последования xn+1 = axn даст следующее значение x1. Графически его можно было бы измерить, например, линейкой и перенести на ось абсцисс как новое начальное значение для следующей итерации. Однако с помощью биссектрисы В, отвечающей условию xn+1 = xn, это можно сделать гораздо проще.
Проведя вертикальную линию от значения x0, получим точку на графике P0(x0, x1). Отложим от нее горизонтальную линию до пересечения с биссектрисой. Абсцисса точки пересечения

есть x1. Вновь проводя вертикальную линию до пересечения с графиком функции последования, получим точку P1(x1, x2). Повторяя процедуру нужное число раз, можно без каких-либо вычислений отслеживать изменение переменной x во времени (с шагом 1).
По отношению к точке xn, точку xn+1 называют ее образом, а точку xn-1 – прообразом.