Теория вероятностей

Содержание

1. Теория вероятностей
2. Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая
3. СодержаниеНемного историиПредмет теории вероятностейОсновные понятияКлассификация событийДействия над
4. Немного истории«Замечательно, что наука, которая началась с
5. Немного историиНачало систематического исследования случайных явлений относится
6. Немного историиОднако, вначале более подробно были изучены
7. Предмет теории вероятностейИзучение количественных закономерностей, которым
8. Основные понятияИспытание – это наблюдение какого-либо явления
9. Основные понятияБудем обозначать различные события заглавными латинскими
10. Основные понятияПротивоположные  два несовместных события, образующих
11. Частота событияВ ходе испытаний или наблюдений одни
12. Вероятность случайного событияПод вероятностью случайного события
13. Классическое определение вероятностиРассмотрим некоторое испытание, для
14. Классическое определение вероятностиОдин возможный исход испытания
15. Классическое определение вероятностиВероятностью события A называют
16. Классическое определение вероятностиОбозначим вероятность события Aгде
17. © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на
18. Элементы комбинаторикиКомбинаторика – это раздел математики, в
19. Элементы комбинаторикиПодмножество будем называть упорядоченным, если важно
20. Примеры1. Пусть Ω  множество, состоящее из
21. Примеры2. Пусть Ω - множество учеников некоторого
22. ПерестановкиПерестановками называют множества, состоящие из одних и
23. Вопрос на засыпкуСколькими способами можно расставить на полке 5 книг?© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Решение. Pn=5!=1∙2∙3∙4∙5=120
24. РазмещенияРазмещениями называют множества, составленные из m элементов,
25. РазмещенияПреобразуем формулу для вычисления количества возможных размещений,
26. Вопрос на засыпкуВ алфавите 7 букв. Сколько
27. СочетанияСочетаниями называют множества, составленные из m элементов,
28. Вопрос на засыпкуВ ящике 4 чёрных и
29. Скачать презентанцию

Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002 .Тимошина И.Р. Электронный конспект

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Теория вероятностей
Лекции по математике

Слайд 2Рекомендуемая литература
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:

Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 .
Гмурман В.Е. Теория вероятностей

и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002 .
Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по теории вероятностей. ВФ СПбГУСЭ, 2007.

Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман

Слайд 3Содержание
Немного истории
Предмет теории вероятностей
Основные понятия
Классификация событий
Действия над событиями
Частота события и

её свойства
Элементы комбинаторики
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

СодержаниеНемного историиПредмет теории вероятностейОсновные понятияКлассификация событийДействия над событиямиЧастота события и её свойстваЭлементы комбинаторики© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые

Слайд 4Немного истории
«Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр,

обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания… Ведь по большей

части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами из теории вероятностей» П. Лаплас (1749 – 1827)

Немного истории«Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания…

Слайд 5Немного истории
Начало систематического исследования случайных явлений относится к XVII веку.

Уже Галилео Галилей пытался подвергнуть научному исследованию ошибки астрономических измерений.

Развитие страхового дела диктовало внимательней относиться к статистике заболеваемости, смертности, несчастных случаев,….

Немного историиНачало систематического исследования случайных явлений относится к XVII веку. Уже Галилео Галилей пытался подвергнуть научному исследованию

Слайд 6Немного истории
Однако, вначале более подробно были изучены закономерности, проявляющие себя

в азартных играх.
Само слово «le hazard» в переводе с

французского означает «случай».

Немного историиОднако, вначале более подробно были изучены закономерности, проявляющие себя в азартных играх. Само слово «le hazard»

Слайд 7Предмет теории вероятностей
Изучение количественных закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления

(т.е. те, которые можно многократно наблюдать при неизменных условиях).
©

И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Предмет теории вероятностейИзучение количественных закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления (т.е. те, которые можно многократно наблюдать

Слайд 8Основные понятия
Испытание – это наблюдение какого-либо явления при выполнении определённых

условий, которые должны повторяться при повторении наблюдений.
Событие – это возможный

исход испытания.

Примеры.
Испытание – подбрасывание монеты. Событие – выпадение герба.
Испытание – стрельба по мишени из данного орудия при данных условиях. Событие – попадание в определённую область мишени.

Основные понятияИспытание – это наблюдение какого-либо явления при выполнении определённых условий, которые должны повторяться при повторении наблюдений.Событие

Слайд 9Основные понятия
Будем обозначать различные события заглавными латинскими буквами: A, B,

C,…
Полная группа событий  это множество событий {A1, A2,…, An},

если в ходе испытания произойдёт хотя бы одно из них.

Пример.
Испытание  подбрасывание монеты. Полная группа событий  {A1, A2}: A1  выпадение орла; A2  выпадение решки.

Основные понятияБудем обозначать различные события заглавными латинскими буквами: A, B, C,…Полная группа событий  это

Слайд 10Основные понятия
Противоположные  два несовместных события, образующих полную группу. Обозначения:

А и Ā
Равновозможные  события, для которых есть основания считать,

что ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Пример.
Испытание  бросание игральной кости. События: А1  выпадение чётного и А2  выпадение нечётного числа очков являются противоположными. События: В1  выпадение единицы и В2  выпадение двойки являются равновозможными.

Основные понятияПротивоположные  два несовместных события, образующих полную группу. Обозначения: А и ĀРавновозможные  события, для которых

Слайд 11Частота события
В ходе испытаний или наблюдений одни события появляются чаще,

а другие реже. Более часто появляющиеся события являются более возможными.

Хочется подобрать объективную меру, характеризующую возможность появления того или другого события.

Частота событияВ ходе испытаний или наблюдений одни события появляются чаще, а другие реже. Более часто появляющиеся события

Слайд 12Вероятность случайного события
Под вероятностью случайного события будем понимать объективную количественную

меру возможности появления этого события.
Вопрос. Нельзя ли как-нибудь количественно до

проведения эксперимента определить вероятность наступления интересующего нас события.

Вероятность случайного событияПод вероятностью случайного события будем понимать объективную количественную меру возможности появления этого события.Вопрос.

Слайд 13Классическое определение вероятности
Рассмотрим некоторое испытание, для которого известны все возможные

элементарные исходы (события).
К примеру, при бросании монеты все возможные исходы:

«орёл», «решка».
Эти события образуют полную группу, являются равновозможными и элементарными.

Классическое определение вероятностиРассмотрим некоторое испытание, для которого известны все возможные элементарные исходы (события).К примеру, при бросании

Слайд 14Классическое определение вероятности
Один возможный исход испытания благоприятен событию «орёл», а

другой событию «решка».

© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Классическое определение вероятностиОдин возможный исход испытания благоприятен событию «орёл», а другой событию «решка».© И.Р.Тимошина «Множества.

Слайд 15Классическое определение вероятности
Вероятностью события A называют отношение числа благоприятных этому

событию исходов к числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих

полную группу.

Классическое определение вероятностиВероятностью события A называют отношение числа благоприятных этому событию исходов к числу всех равновозможных

Слайд 16Классическое определение вероятности
Обозначим вероятность события A

где m - число элементарных

исходов, благоприятствующих событию A,
n - число всех равновозможных исходов испытания.

Классическое определение вероятностиОбозначим вероятность события Aгде m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию A,n - число

Слайд 17© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Вопрос на засыпку
Пример. Брошены две игральные

кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4.

Решение. Возможные исходы испытания:
(1, 1); (1, 2);… (6, 6).
Общее количество возможных исходов равно 36.
Благоприятные исходы: (1, 3); (2, 2); (3, 1).
Ответ. P(A)=3/36=1/12.

© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на засыпкуПример. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что

Слайд 18Элементы комбинаторики
Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются свойства

множеств, составленных из элементов некоторого конечного множества.
Пусть Ω={ω1, ω2,…, ωn}

 некоторое заданное конечное множество. Мощность этого множества равна количеству его элементов.

Элементы комбинаторикиКомбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются свойства множеств, составленных из элементов некоторого конечного множества.Пусть

Слайд 19Элементы комбинаторики
Подмножество будем называть упорядоченным, если важно учитывать порядок расположения

его элементов.
В противном случае подмножество будем называть неупорядоченным.
© И.Р.Тимошина «Множества.

Числовые функции»

Элементы комбинаторикиПодмножество будем называть упорядоченным, если важно учитывать порядок расположения его элементов.В противном случае подмножество будем называть

Слайд 20Примеры
1. Пусть Ω  множество, состоящее из букв {А, В,

Д}. Из этих букв будем составлять словосочетания, состоящие из двух

букв. При этом слова АД и ДА будут различными, несмотря на то, что они состоят из одних и тех же элементов, т.е. эти множества являются упорядоченными.

Примеры1. Пусть Ω  множество, состоящее из букв {А, В, Д}. Из этих букв будем составлять словосочетания,

Слайд 21Примеры
2. Пусть Ω - множество учеников некоторого класса. Из этих

учеников составляются пары для дежурства. При этом пара Петров, Иванов

эквивалентна паре Иванов, Петров, т.е. порядок расположения элементов не важен. Поэтому подмножество, состоящее из двух учеников, является неупорядоченным.

Примеры2. Пусть Ω - множество учеников некоторого класса. Из этих учеников составляются пары для дежурства. При этом

Слайд 22Перестановки
Перестановками называют множества, состоящие из одних и тех же элементов

и отличающиеся только порядком расположения этих элементов.
Количество всевозможных перестановок из

n различных элементов:
Pn=n!

Pn=n!

ПерестановкиПерестановками называют множества, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся только порядком расположения этих элементов.Количество

И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Решение. Pn=5!=1∙2∙3∙4∙5=120

Слайд 24Размещения
Размещениями называют множества, составленные из m элементов, которые выбирают из

различных n элементов. Размещения отличаются друг от друга либо составом,

либо порядком расположения элементов.
Количество всех возможных размещений вычисляется по формуле:

РазмещенияРазмещениями называют множества, составленные из m элементов, которые выбирают из различных n элементов. Размещения отличаются друг от

Слайд 25Размещения
Преобразуем формулу для вычисления количества возможных размещений, умножив и поделив

РазмещенияПреобразуем формулу для вычисления количества возможных размещений, умножив и поделив выражение на m!:© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые

Слайд 26Вопрос на засыпку
В алфавите 7 букв. Сколько можно составить различных

функции»

Решение.

Вопрос на засыпкуВ алфавите 7 букв. Сколько можно составить различных слов, состоящих из пяти не одинаковых букв?©

Слайд 27Сочетания
Сочетаниями называют множества, составленные из m элементов, которые выбирают из

различных n элементов. Размещения отличаются друг от друга составом.
Количество всех

возможных сочетаний вычисляется по формуле:

СочетанияСочетаниями называют множества, составленные из m элементов, которые выбирают из различных n элементов. Размещения отличаются друг от

Слайд 28Вопрос на засыпку
В ящике 4 чёрных и 6 белых шаров. Наудачу

было взять 3 шара. Сколько существует вариантов того, что среди выбранных

шаров будет 2 чёрных шара?

Решение.

Вопрос на засыпкуВ ящике 4 чёрных и 6 белых шаров. Наудачу было взять 3 шара. Сколько существует

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Теория вероятностей

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Теория вероятностейЛекции по математике

Слайд 2Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:

Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман В.Е. Теория вероятностей

Слайд 3СодержаниеНемного историиПредмет теории вероятностейОсновные понятияКлассификация событийДействия над событиямиЧастота события и

её свойстваЭлементы комбинаторики© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 4Немного истории«Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр,

обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания… Ведь по большей

Слайд 5Немного историиНачало систематического исследования случайных явлений относится к XVII веку.

Уже Галилео Галилей пытался подвергнуть научному исследованию ошибки астрономических измерений.

Слайд 6Немного историиОднако, вначале более подробно были изучены закономерности, проявляющие себя

в азартных играх. Само слово «le hazard» в переводе с

Слайд 7Предмет теории вероятностейИзучение количественных закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления

(т.е. те, которые можно многократно наблюдать при неизменных условиях). ©

Слайд 8Основные понятияИспытание – это наблюдение какого-либо явления при выполнении определённых

условий, которые должны повторяться при повторении наблюдений.Событие – это возможный

Слайд 9Основные понятияБудем обозначать различные события заглавными латинскими буквами: A, B,

C,…Полная группа событий  это множество событий {A1, A2,…, An},

Слайд 10Основные понятияПротивоположные  два несовместных события, образующих полную группу. Обозначения:

А и ĀРавновозможные  события, для которых есть основания считать,

Слайд 11Частота событияВ ходе испытаний или наблюдений одни события появляются чаще,

а другие реже. Более часто появляющиеся события являются более возможными.

Слайд 12Вероятность случайного событияПод вероятностью случайного события будем понимать объективную количественную

меру возможности появления этого события.Вопрос. Нельзя ли как-нибудь количественно до

Слайд 13Классическое определение вероятностиРассмотрим некоторое испытание, для которого известны все возможные

элементарные исходы (события).К примеру, при бросании монеты все возможные исходы:

Слайд 14Классическое определение вероятностиОдин возможный исход испытания благоприятен событию «орёл», а

другой событию «решка».© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 15Классическое определение вероятностиВероятностью события A называют отношение числа благоприятных этому

событию исходов к числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих

Слайд 16Классическое определение вероятностиОбозначим вероятность события Aгде m - число элементарных

исходов, благоприятствующих событию A,n - число всех равновозможных исходов испытания.

Слайд 17© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на засыпкуПример. Брошены две игральные

кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4.

Слайд 18Элементы комбинаторикиКомбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются свойства

множеств, составленных из элементов некоторого конечного множества.Пусть Ω={ω1, ω2,…, ωn}

Слайд 19Элементы комбинаторикиПодмножество будем называть упорядоченным, если важно учитывать порядок расположения

его элементов.В противном случае подмножество будем называть неупорядоченным.© И.Р.Тимошина «Множества.

Слайд 20Примеры1. Пусть Ω  множество, состоящее из букв {А, В,