Теория вероятностей

Содержание

1. Теория вероятностей
2. Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая
3. СодержаниеСлучайные величины. Виды случайных величинЗакон распределенияФункция распределенияОсновные
4. Случайные величины. Виды случайных величинРезультат любого
5. Случайные величины. Виды случайных величинСлучайной называют
6. Виды случайных величинПонятие случайной величины позволяет описывать
7. Виды случайных величинДискретной называют случайную величину,
8. Примеры дискретных случайных величинСлучайная величина X
9. Примеры непрерывных случайных величинСлучайная величина X
10. Закон распределения случайной величиныЭто правило, позволяющее определить
11. Способы задания закона распределенияЗакон распределения дискретной
12. Способы задания закона распределенияЗакон распределения дискретной
13. ПримерВ некоторой местности в течение ряда лет
14. ПримерВероятности значений случайной величины X вычислим по формулам Бернулли:© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
15. ПримерЗакон распределения представим в виде таблицы© И.Р.Тимошина
16. ЗамечаниеЗаметим, что сумма всех вероятностей в законе распределения дискретной величины равна единице:© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
17. Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Закон распределения задан в виде таблицыНайти вероятности следующих событий: P(X7); P(X
18. Функция распределения случайной величиныЗакон распределения случайной
19. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Функция распределения вероятностей
20. Свойства функции распределенияЗначения функции распределения принадлежат отрезку
21. Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Закон распределения задан
22. График функции распределенияВывод. Функция распределения дискретной случайной
23. Основные законы распределения дискретной случайной величиныРассмотрим более
24. Биноминальное распределениеПримером биноминального распределения может служить случайная
25. Геометрическое распределениеПримером геометрического распределения может служить случайная
26. Гипергеометрическое распределениеДля иллюстрации этого распределения рассмотрим задачу.
27. Гипергеометрическое распределениеПоэтому формула Бернулли здесь неприменима. Обозначим
28. Гипергеометрическое распределениеНайдём вероятность события (X=m), т.е. что
29. Гипергеометрическое распределениеНайдём число исходов, благоприятствующих событию (X=m).
30. Гипергеометрическое распределениеВзять n-m нестандартных изделий из общего
31. Гипергеометрическое распределениеИскомая вероятность равна отношению числа благоприятствующих
32. Закон распределения ПуассонаДля иллюстрации этого распределения рассмотрим
33. Поток событийПотоком событий называют последовательность событий, которые
34. Поток событийРассмотрим только однородные потоки событий. Тогда
35. Поток событийСреди свойств, которыми могут обладать потоки,
36. Стационарный поток событийРассмотрим случайное событие (X=k). Поток
37. Поток без последействияПоток событий называется потоком без
38. Ординарный потокПоток событий называется ординарным, ели вероятность
39. Пуассоновский потокПростейшим (пуассоновским) называют поток событий, который
40. Пуассоновский потокМожно доказать, что если интенсивность потока
41. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Пример. Среднее число
42. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Решение. По условию
43. Скачать презентанцию

Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002 .Тимошина И.Р. Электронный конспект

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Теория вероятностей
Лекции по математике

Слайд 2Рекомендуемая литература
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:

Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 .
Гмурман В.Е. Теория вероятностей

и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002 .
Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по теории вероятностей. ВФ СПбГУСЭ, 2007.
http://www.math.spbu.ru/ru/Archive/Courses/jvr/DA_html/_lec_1_06.html

Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман

Слайд 3Содержание
Случайные величины. Виды случайных величин
Закон распределения
Функция распределения
Основные законы распределения дискретной

случайной величины
Поток событий
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»

СодержаниеСлучайные величины. Виды случайных величинЗакон распределенияФункция распределенияОсновные законы распределения дискретной случайной величиныПоток событий © И.Р.Тимошина «Теория

Слайд 4Случайные величины. Виды случайных величин
Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать

качественно и количественно.
Качественный результат случайного эксперимента - случайное событие.

Количественная характеристика случайного события, которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, - случайная величина.

Случайные величины. Виды случайных величинРезультат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат случайного

Слайд 5Случайные величины. Виды случайных величин
Случайной называют величину, которая в результате

испытания примет одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное

и зависящее от случайных причин.
Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами: X, Y,…а их возможные значения строчными буквами: x, y,…
События, которые соответствуют величине X: (X=x); (X

Случайные величины. Виды случайных величинСлучайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно

Слайд 6Виды случайных величин
Понятие случайной величины позволяет описывать случайные события на

языке чисел, что даёт возможность применить в теории вероятностей аппарат

математического анализа.
Выделяют два основных вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Виды случайных величинПонятие случайной величины позволяет описывать случайные события на языке чисел, что даёт возможность применить в

Слайд 7Виды случайных величин
Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные

возможные значения с положительными вероятностями. Число возможных значений дискретной величины

может быть конечным или счётным.
Непрерывной называют величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Замечание. Это неточное определение непрерывной величины.

Виды случайных величинДискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с положительными вероятностями. Число

Слайд 8Примеры дискретных случайных величин
Случайная величина X - индикатор случайного события

А. Она имеет два возможных значения: x1=1, если случайное событие

А происходит, и x2=0, если случайное событие А не происходит.
Cлучайная величина X - количество очков, выпавших на игральном кубике.
Случайная величина X - число появлений события А в серии из n независимых испытаний.
Случайная величина X - число покупателей, посетивших магазин за определённый интервал времени.

Примеры дискретных случайных величинСлучайная величина X - индикатор случайного события А. Она имеет два возможных значения:

Слайд 9Примеры непрерывных случайных величин
Случайная величина X – это ошибка измерения

какой-либо случайной величины.
Случайная величина X – это продолжительность срока безотказной

работы прибора.
Приведите свои примеры…

Примеры непрерывных случайных величинСлучайная величина X – это ошибка измерения какой-либо случайной величины.Случайная величина X –

Слайд 10Закон распределения случайной величины
Это правило, позволяющее определить вероятность любого события, которое

может произойти со случайной величиной.
Приведите примеры событий, которые могут произойти

со случайной величиной.

Закон распределения случайной величиныЭто правило, позволяющее определить вероятность любого события, которое может произойти со случайной величиной.Приведите примеры

Слайд 11Способы задания закона распределения
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать,

если:
- перечислить все возможные её значения;
задать вероятность появления каждого значения.
Заметим,

что данный подход не годится для введения закона распределения непрерывной случайной величины, т.к. невозможно перечислить все её значения.

Способы задания закона распределенияЗакон распределения дискретной случайной величины можно задать, если:- перечислить все возможные её значения;задать

Слайд 12Способы задания закона распределения
Закон распределения дискретной величины можно задать:
таблично;

аналитически;
графически.

© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»

Способы задания закона распределенияЗакон распределения дискретной величины можно задать: таблично; аналитически; графически.© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»

Слайд 13Пример
В некоторой местности в течение ряда лет в июне 30%

дождливых дней.
Составить закон распределения дискретной случайной величины X -

числа дождливых дней в течение одной недели июня месяца. События, состоящие в том, что в 1-й день недели идет дождь, во 2-й - дождь и т.д. считать независимыми.
Решение. Случайная величина X принимает следующие значения:
x1=0, x2=1, x3=2, x4=3, x5=4, x6=5, x7=6, x8=7 Вероятность появления дождливого дня p=0,3.

ПримерВ некоторой местности в течение ряда лет в июне 30% дождливых дней. Составить закон распределения дискретной случайной

Слайд 14Пример
Вероятности значений случайной величины X вычислим по формулам Бернулли:

© И.Р.Тимошина

«Теория вероятностей»

Слайд 15Пример
Закон распределения представим в виде таблицы
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
Наибольшую

вероятность имеет событие,
состоящее в том, что на неделе будет

два
дождливых дня.

ПримерЗакон распределения представим в виде таблицы© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Наибольшую вероятность имеет событие, состоящее в том, что

Слайд 16Замечание
Заметим, что сумма всех вероятностей в законе распределения дискретной величины

равна единице:
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»

Слайд 17Пример
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
Закон распределения задан в виде таблицы
Найти

вероятности следующих событий: P(X7); P(X

Слайд 18Функция распределения случайной величины
Закон распределения случайной величины, как дискретной, так

и непрерывной, можно задать с помощью функции распределения: F(x)=P(X

«функция распределения» используют термин «интегральная функция».

Функция распределения случайной величиныЗакон распределения случайной величины, как дискретной, так и непрерывной, можно задать с помощью

Слайд 19© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
Функция распределения вероятностей случайной величины
Значение функции

распределения в точке x равно вероятности того, что случайная величина

X примет значение меньшее, чем число x.

© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Функция распределения вероятностей случайной величиныЗначение функции распределения в точке x равно вероятности того,

Слайд 20Свойства функции распределения
Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1] или

0≤F(x) ≤1
Функция F(x) является неубывающей для всех действительных x. Доказательство.

Пусть x2> x1. Тогда

F(x) =0 для x≤ xmin, F(x) =1 для x>xmax

Свойства функции распределенияЗначения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1] или 0≤F(x) ≤1Функция F(x) является неубывающей для всех

Слайд 21Пример
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
Закон распределения задан в виде таблицы.
Построить

график функции распределения

Слайд 22График функции распределения
Вывод. Функция распределения дискретной случайной величины является неубывающей;

кусочно-постоянной; область значений [0; 1].
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»

График функции распределенияВывод. Функция распределения дискретной случайной величины является неубывающей; кусочно-постоянной; область значений [0; 1]. ©

Слайд 23Основные законы распределения дискретной случайной величины
Рассмотрим более подробно некоторые законы

распределения дискретной случайной величины:
Биноминальное
Геометрическое
Гипергеометрическое
Распределение Пуассона.
© И.Р.Тимошина «Теория

вероятностей»

Основные законы распределения дискретной случайной величиныРассмотрим более подробно некоторые законы распределения дискретной случайной величины: Биноминальное ГеометрическоеГипергеометрическоеРаспределение Пуассона.©

Слайд 24Биноминальное распределение
Примером биноминального распределения может служить случайная величина равная числу

появлений случайного события в серии независимых испытаний. Если вероятность этого

события в каждом испытании не меняется и равна p.

Биноминальное распределениеПримером биноминального распределения может служить случайная величина равная числу появлений случайного события в серии независимых испытаний.

Слайд 25Геометрическое распределение
Примером геометрического распределения может служить случайная величина равная количеству

проведённых экспериментов, если в серии независимых испытаний эксперименты проводятся до

первого появления интересующего события.

Геометрическое распределениеПримером геометрического распределения может служить случайная величина равная количеству проведённых экспериментов, если в серии независимых испытаний

Слайд 26Гипергеометрическое распределение
Для иллюстрации этого распределения рассмотрим задачу. Пусть в партии

из N изделий имеется M стандартных M< N. Из партии

случайно отбирают n изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причём отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию.

Гипергеометрическое распределениеДля иллюстрации этого распределения рассмотрим задачу. Пусть в партии из N изделий имеется M стандартных M<

Слайд 27Гипергеометрическое распределение
Поэтому формула Бернулли здесь неприменима. Обозначим через X случайную

величину, равную числу стандартных изделий среди n отобранных.
© И.Р.Тимошина

«Теория вероятностей»

Гипергеометрическое распределениеПоэтому формула Бернулли здесь неприменима. Обозначим через X случайную величину, равную числу стандартных изделий среди n

Слайд 28Гипергеометрическое распределение
Найдём вероятность события (X=m), т.е. что среди n отобранных

изделий ровно m стандартных изделий. Используем для этого классическое определение

вероятности.
Общее число возможных исходов равно числу сочетаний .

Гипергеометрическое распределениеНайдём вероятность события (X=m), т.е. что среди n отобранных изделий ровно m стандартных изделий. Используем для

Слайд 29Гипергеометрическое распределение
Найдём число исходов, благоприятствующих событию (X=m). Число способов, которыми

можно извлечь m стандартных изделий из общего числа M стандартных

изделий равно , при этом все остальные n-m изделий должны быть нестандартными.

Гипергеометрическое распределениеНайдём число исходов, благоприятствующих событию (X=m). Число способов, которыми можно извлечь m стандартных изделий из общего

Слайд 30Гипергеометрическое распределение
Взять n-m нестандартных изделий из общего числа N-M нестандартных

изделий можно способами.
Следовательно,

число благоприятствующих исходов равно

Гипергеометрическое распределениеВзять n-m нестандартных изделий из общего числа N-M нестандартных изделий можно

Слайд 31Гипергеометрическое распределение
Искомая вероятность равна отношению числа благоприятствующих событию исходов к

Гипергеометрическое распределениеИскомая вероятность равна отношению числа благоприятствующих событию исходов к общему числу всех элементарных исходов.© И.Р.Тимошина

Слайд 32Закон распределения Пуассона
Для иллюстрации этого распределения рассмотрим события, которые наступают

Закон распределения ПуассонаДля иллюстрации этого распределения рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени.© И.Р.Тимошина «Теория

Слайд 33Поток событий
Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные

моменты времени.
Примеры: поток вызовов на АТС; поток самолётов, прибывающих в

аэропорт, поток клиентов на предприятие бытового обслуживания и т.д.

Поток событийПотоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.Примеры: поток вызовов на АТС; поток

Слайд 34Поток событий
Рассмотрим только однородные потоки событий. Тогда каждый поток определяется

моментами времени, в которые эти события появляются. Отобразим эти моменты

времени на числовой оси.

Поток событийРассмотрим только однородные потоки событий. Тогда каждый поток определяется моментами времени, в которые эти события появляются.

Слайд 35Поток событий
Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности,

отсутствия последействия и ординарности.
Выделим на временной оси интервал длины τ

и рассмотрим случайную величину X, равную числу событий, наступивших за этот временной интервал. Возможные значения случайной величины : 0, 1, 2,…,,…

Поток событийСреди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последействия и ординарности.Выделим на временной оси

Слайд 36Стационарный поток событий
Рассмотрим случайное событие (X=k). Поток событий называется стационарным,

если вероятность этого события зависит только от продолжительности интервала τ

и не зависит от того, где на временной оси расположен этот интервал.

Стационарный поток событийРассмотрим случайное событие (X=k). Поток событий называется стационарным, если вероятность этого события зависит только от

Слайд 37Поток без последействия
Поток событий называется потоком без последействия, если для

двух непересекающихся интервалов вероятность того, что (X=k) для одного интервала

не зависит от того, сколько событий наступило на другом временном интервале.

Поток без последействияПоток событий называется потоком без последействия, если для двух непересекающихся интервалов вероятность того, что (X=k)

Слайд 38Ординарный поток
Поток событий называется ординарным, ели вероятность появления двух и

более событий за очень маленький интервал времени пренебрежимо мала по

сравнению с вероятностью появления одного события за этот малый интервал времени.

Ординарный потокПоток событий называется ординарным, ели вероятность появления двух и более событий за очень маленький интервал времени

Слайд 39Пуассоновский поток
Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности,

отсутствия последействия и ординарности.
Интенсивностью потока λ называют среднее число

событий, которые появляются в единицу времени.

Пуассоновский потокПростейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности. Интенсивностью потока λ

Слайд 40Пуассоновский поток
Можно доказать, что если интенсивность потока λ известна,

то вероятность того, что за время τ появится k событий

определяется формулой Пуассона:

Пуассоновский потокМожно доказать, что если интенсивность потока λ известна, то вероятность того, что за время τ

за минуту, равно двум. Найти вероятность того,
что за 5

минут на АТС поступит:
а)2 вызова; б)менее двух вызовов;
в) не менее двух вызовов.
Поток вызовов простейший.

© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Пример. Среднее число вызовов, поступающихна АТС за минуту, равно двум. Найти вероятность того,

формулой Пуассона:

а) заметим, что

б)

в)
Это событие практически достоверное.

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Теория вероятностей

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Теория вероятностейЛекции по математике

Слайд 2Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:

Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман В.Е. Теория вероятностей

Слайд 3СодержаниеСлучайные величины. Виды случайных величинЗакон распределенияФункция распределенияОсновные законы распределения дискретной

случайной величиныПоток событий © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»

Слайд 4Случайные величины. Виды случайных величинРезультат любого случайного эксперимента можно характеризовать

качественно и количественно. Качественный результат случайного эксперимента - случайное событие.

Слайд 5Случайные величины. Виды случайных величинСлучайной называют величину, которая в результате

испытания примет одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное

Слайд 6Виды случайных величинПонятие случайной величины позволяет описывать случайные события на

языке чисел, что даёт возможность применить в теории вероятностей аппарат

Слайд 7Виды случайных величинДискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные

возможные значения с положительными вероятностями. Число возможных значений дискретной величины

Слайд 8Примеры дискретных случайных величинСлучайная величина X - индикатор случайного события

А. Она имеет два возможных значения: x1=1, если случайное событие

Слайд 9Примеры непрерывных случайных величинСлучайная величина X – это ошибка измерения

какой-либо случайной величины.Случайная величина X – это продолжительность срока безотказной

Слайд 10Закон распределения случайной величиныЭто правило, позволяющее определить вероятность любого события, которое

может произойти со случайной величиной.Приведите примеры событий, которые могут произойти

Слайд 11Способы задания закона распределенияЗакон распределения дискретной случайной величины можно задать,

если:- перечислить все возможные её значения;задать вероятность появления каждого значения.Заметим,

Слайд 12Способы задания закона распределенияЗакон распределения дискретной величины можно задать: таблично;

аналитически; графически.© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»

Слайд 13ПримерВ некоторой местности в течение ряда лет в июне 30%

дождливых дней. Составить закон распределения дискретной случайной величины X -

Слайд 14ПримерВероятности значений случайной величины X вычислим по формулам Бернулли:© И.Р.Тимошина

«Теория вероятностей»

Слайд 15ПримерЗакон распределения представим в виде таблицы© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Наибольшую

вероятность имеет событие, состоящее в том, что на неделе будет

Слайд 16ЗамечаниеЗаметим, что сумма всех вероятностей в законе распределения дискретной величины

равна единице:© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»

Слайд 17Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Закон распределения задан в виде таблицыНайти

вероятности следующих событий: P(X7); P(X

Слайд 18Функция распределения случайной величиныЗакон распределения случайной величины, как дискретной, так

и непрерывной, можно задать с помощью функции распределения: F(x)=P(X

Слайд 19© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Функция распределения вероятностей случайной величиныЗначение функции

распределения в точке x равно вероятности того, что случайная величина

Слайд 20Свойства функции распределенияЗначения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1] или

0≤F(x) ≤1Функция F(x) является неубывающей для всех действительных x. Доказательство.

Слайд 21Пример© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»Закон распределения задан в виде таблицы. Построить

график функции распределения

Слайд 22График функции распределенияВывод. Функция распределения дискретной случайной величины является неубывающей;

кусочно-постоянной; область значений [0; 1]. © И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»

Слайд 23Основные законы распределения дискретной случайной величиныРассмотрим более подробно некоторые законы

распределения дискретной случайной величины: Биноминальное ГеометрическоеГипергеометрическоеРаспределение Пуассона.© И.Р.Тимошина «Теория

Слайд 24Биноминальное распределениеПримером биноминального распределения может служить случайная величина равная числу

появлений случайного события в серии независимых испытаний. Если вероятность этого

Слайд 25Геометрическое распределениеПримером геометрического распределения может служить случайная величина равная количеству

проведённых экспериментов, если в серии независимых испытаний эксперименты проводятся до

Слайд 26Гипергеометрическое распределениеДля иллюстрации этого распределения рассмотрим задачу. Пусть в партии

из N изделий имеется M стандартных M< N. Из партии

Слайд 27Гипергеометрическое распределениеПоэтому формула Бернулли здесь неприменима. Обозначим через X случайную

величину, равную числу стандартных изделий среди n отобранных.© И.Р.Тимошина

Слайд 28Гипергеометрическое распределениеНайдём вероятность события (X=m), т.е. что среди n отобранных

изделий ровно m стандартных изделий. Используем для этого классическое определение

Слайд 29Гипергеометрическое распределениеНайдём число исходов, благоприятствующих событию (X=m). Число способов, которыми

можно извлечь m стандартных изделий из общего числа M стандартных

Слайд 30Гипергеометрическое распределениеВзять n-m нестандартных изделий из общего числа N-M нестандартных

изделий можно способами. Следовательно,

Слайд 31Гипергеометрическое распределениеИскомая вероятность равна отношению числа благоприятствующих событию исходов к

общему числу всех элементарных исходов.© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»

Слайд 32Закон распределения ПуассонаДля иллюстрации этого распределения рассмотрим события, которые наступают

в случайные моменты времени.© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»

Слайд 33Поток событийПотоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные

моменты времени.Примеры: поток вызовов на АТС; поток самолётов, прибывающих в

Слайд 34Поток событийРассмотрим только однородные потоки событий. Тогда каждый поток определяется

моментами времени, в которые эти события появляются. Отобразим эти моменты

Слайд 35Поток событийСреди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности,

отсутствия последействия и ординарности.Выделим на временной оси интервал длины τ

Слайд 36Стационарный поток событийРассмотрим случайное событие (X=k). Поток событий называется стационарным,

если вероятность этого события зависит только от продолжительности интервала τ

Слайд 37Поток без последействияПоток событий называется потоком без последействия, если для

двух непересекающихся интервалов вероятность того, что (X=k) для одного интервала

Слайд 38Ординарный потокПоток событий называется ординарным, ели вероятность появления двух и

более событий за очень маленький интервал времени пренебрежимо мала по

Слайд 39Пуассоновский потокПростейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности,

Слайд 1Теория вероятностей
Лекции по математике

Слайд 2Рекомендуемая литература
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:

Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 .
Гмурман В.Е. Теория вероятностей

Слайд 3Содержание
Случайные величины. Виды случайных величин
Закон распределения
Функция распределения
Основные законы распределения дискретной

случайной величины
Поток событий
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»

Слайд 4Случайные величины. Виды случайных величин
Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать

качественно и количественно.
Качественный результат случайного эксперимента - случайное событие.

Слайд 5Случайные величины. Виды случайных величин
Случайной называют величину, которая в результате

Слайд 6Виды случайных величин
Понятие случайной величины позволяет описывать случайные события на

Слайд 7Виды случайных величин
Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные

Слайд 8Примеры дискретных случайных величин
Случайная величина X - индикатор случайного события

Слайд 9Примеры непрерывных случайных величин
Случайная величина X – это ошибка измерения

какой-либо случайной величины.
Случайная величина X – это продолжительность срока безотказной

Слайд 10Закон распределения случайной величины
Это правило, позволяющее определить вероятность любого события, которое

может произойти со случайной величиной.
Приведите примеры событий, которые могут произойти

Слайд 11Способы задания закона распределения
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать,

если:
- перечислить все возможные её значения;
задать вероятность появления каждого значения.
Заметим,

Слайд 12Способы задания закона распределения
Закон распределения дискретной величины можно задать:
таблично;

аналитически;
графически.

© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»

Слайд 13Пример
В некоторой местности в течение ряда лет в июне 30%

дождливых дней.
Составить закон распределения дискретной случайной величины X -

Слайд 14Пример
Вероятности значений случайной величины X вычислим по формулам Бернулли:

© И.Р.Тимошина

Слайд 15Пример
Закон распределения представим в виде таблицы
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
Наибольшую

вероятность имеет событие,
состоящее в том, что на неделе будет

Слайд 16Замечание
Заметим, что сумма всех вероятностей в законе распределения дискретной величины

равна единице:
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»

Слайд 17Пример
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
Закон распределения задан в виде таблицы
Найти

Слайд 18Функция распределения случайной величины
Закон распределения случайной величины, как дискретной, так

Слайд 19© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
Функция распределения вероятностей случайной величины
Значение функции

Слайд 20Свойства функции распределения
Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1] или

0≤F(x) ≤1
Функция F(x) является неубывающей для всех действительных x. Доказательство.

Слайд 21Пример
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
Закон распределения задан в виде таблицы.
Построить

Слайд 22График функции распределения
Вывод. Функция распределения дискретной случайной величины является неубывающей;

кусочно-постоянной; область значений [0; 1].
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»

Слайд 23Основные законы распределения дискретной случайной величины
Рассмотрим более подробно некоторые законы

распределения дискретной случайной величины:
Биноминальное
Геометрическое
Гипергеометрическое
Распределение Пуассона.
© И.Р.Тимошина «Теория

Слайд 24Биноминальное распределение
Примером биноминального распределения может служить случайная величина равная числу

Слайд 25Геометрическое распределение
Примером геометрического распределения может служить случайная величина равная количеству

Слайд 26Гипергеометрическое распределение
Для иллюстрации этого распределения рассмотрим задачу. Пусть в партии

Слайд 27Гипергеометрическое распределение
Поэтому формула Бернулли здесь неприменима. Обозначим через X случайную

величину, равную числу стандартных изделий среди n отобранных.
© И.Р.Тимошина

Слайд 28Гипергеометрическое распределение
Найдём вероятность события (X=m), т.е. что среди n отобранных

Слайд 29Гипергеометрическое распределение
Найдём число исходов, благоприятствующих событию (X=m). Число способов, которыми

Слайд 30Гипергеометрическое распределение
Взять n-m нестандартных изделий из общего числа N-M нестандартных

изделий можно способами.
Следовательно,

Слайд 31Гипергеометрическое распределение
Искомая вероятность равна отношению числа благоприятствующих событию исходов к

общему числу всех элементарных исходов.
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»

Слайд 32Закон распределения Пуассона
Для иллюстрации этого распределения рассмотрим события, которые наступают

в случайные моменты времени.
© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»

Слайд 33Поток событий
Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные

моменты времени.
Примеры: поток вызовов на АТС; поток самолётов, прибывающих в

Слайд 34Поток событий
Рассмотрим только однородные потоки событий. Тогда каждый поток определяется

Слайд 35Поток событий
Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности,

отсутствия последействия и ординарности.
Выделим на временной оси интервал длины τ

Слайд 36Стационарный поток событий
Рассмотрим случайное событие (X=k). Поток событий называется стационарным,

Слайд 37Поток без последействия
Поток событий называется потоком без последействия, если для

Слайд 38Ординарный поток
Поток событий называется ординарным, ели вероятность появления двух и

Слайд 39Пуассоновский поток
Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности,

отсутствия последействия и ординарности.
Интенсивностью потока λ называют среднее число

Слайд 40Пуассоновский поток
Можно доказать, что если интенсивность потока λ известна,

Слайд 41© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
Пример. Среднее число вызовов, поступающих
на АТС

за минуту, равно двум. Найти вероятность того,
что за 5

Слайд 42© И.Р.Тимошина «Теория вероятностей»
Решение. По условию λ=2, t=5.

Воспользуемся