ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

следующие действия: «достоверное событие» (все сидят и не встают), «случайное

событие» (поднять руку), «невозможное событие» (должны встать). 1. «завтра будет хорошая погода». (случайное) 2. «в январе в городе пойдет снег». (достоверное) 3. «в 12 часов в городе идет дождь, а через 24 часа будет светить солнце». (случайное) 4. «на день рождения вам подарят говорящего крокодила». (невозможное) 5. «круглая отличница получит двойку». (случайное) 6. «камень, брошенный в воду утонет». (достоверное) 7. «вы выходите на улицу, а навстречу идет слон». (невозможное) 8. «вас пригласят лететь на Луну». (случайное) 9. «черепаха научится говорить». (невозможное) 10. «выпадет желтый снег». (случайное) 11: «вы не выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее». (невозможное) 12: «после четверга будет пятница». (достоверное)

называется невозможным.
Пусть из урны, содержащей
только черные шары, вынимают шар.
Тогда

появление черного шара –
достоверное событие;
Появление белого
шара – невозможное событие.

совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, - несовместными.

Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» - несовместные.

называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие

А (m – число благоприятных исходов), к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания (n – число всех возможных исходов).

А при проведении некоторого испытания следует проведении некоторого испытания следует

найти:
1) число N всех возможных исходов данного испытания;
Алгоритм для решения задач с помощью классического определения.
1)обозначить событие (А)
2)сосчитать число всех исходов (n)
3)сосчитать число исходов благоприятствующих данному событию (m)
4)найти отношение благоприятствующих исходов к числу всех исходов

карточку с буквой вероятнее всего вытащить? Какие события равновероятные?
Всего 8

букв.
Буква «и» встречается 2 раза – P = 2/8= 1/4;
буква «а» встречается 2 раза – P= 2/8= 1/4;
остальные 1 раз– P = 1/8.
Карточку с какой буквой вероятнее всего вытащить?
Какие события равновероятные?

утверждения из теории вероятности.

Вероятность Р(С) наступления хотя бы одного из

двух несовместных событий А и В равна сумме их вероятностей.
Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Вероятность противоположного события : Р(А) = 1 - Р(А).

Вероятность Р(С) совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей событий А и В.
Р(С) = Р(А) Р(В)

на брак, неисправность, выученный и невыученный билет, наличие приза
Б) Задачи

на чашки различных цветов, такси различных цветов, подарки (пазлы, машинки, книжки), пирожки разных начинок, начало игры девочкой, мальчиком
В) Задачи на команды из разных стран и на первоначальное владение мячом
2. Задачи с монетами, игральными кубиками, карточками (задачи, в которых используется метод перебора возможных вариантов)
3. Частота рождения девочек, мальчиков.
4. Сложение и умножение вероятностей (стрелок стреляет по мишени, на работу принтера, сканера, кофемашины какое-то количество лет

вероятность купить исправную лампочку?

Опыт имеет 100 равновозможных
исходов, т.е. п

= 100.
Число благоприятных исходов
т = 100 – 25 = 75.
Вероятность того, что лампочка
будет исправной

22 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором

выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение

Число вариантов выбора спортсменки, выступающей первой, из разных стран: n = 50.
Число вариантов выбора спортсменки, выступающей первой, из Китая: m = 50 - (17 + 22) = 11.
Искомая вероятность:

Ответ: 0,22.

 

что орел не выпадет ни разу.
 

4, 6, 7, 8, 9?
Решение

Составим таблицу: слева первый столбец

- первые цифры искомых чисел, вверху первая строка - вторые цифры.







Ответ: 28.

ока­жет­ся маль­чи­ком, равна 0,512. В 2010 г. в этом ре­ги­о­не

на 1000 ро­див­ших­ся мла­ден­цев в сред­нем при­ш­лось 477 де­во­чек. На­сколь­ко ча­сто­та рож­де­ния де­воч­ек в 2010 г. в этом ре­ги­о­не от­ли­ча­ет­ся от ве­ро­ят­но­сти этого со­бы­тия?

Решение.
Частота cобытия «рождение девочки» равна 477 : 1000 = 0,477. Ве­ро­ят­ность рождения де­воч­ки в этом ре­ги­о­не равна 1 − 0,512 = 0,488. По­это­му частота дан­но­го события от­ли­ча­ет­ся от его ве­ро­ят­но­сти на 0,488 − 0,477 = 0,011.
 
Ответ: 0,011.

четное число
1
1
3

Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87.

Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.
Пусть A = «сканер прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «сканер прослужит больше двух лет», С = «сканер прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «сканер прослужит больше года».
События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что сканер выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:
P(A + B + С) = P(A) + P(B) + P(С)= P(A) + P(B),
откуда, используя данные из условия, получаем
0,94 = P(A) + 0,87.
Тем самым, для искомой вероятности имеем:
P(A) = 0,94 − 0,87 = 0,07.
 
Ответ: 0,07.

при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист

первые четыре раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение

Вероятность попадания в мишень равна 0,7;
вероятность промаха равна 1 – 0,7 = 0,3.
Т. к. результаты выстрелов – независимые события, вероятность того, что биатлонист четыре раза попал в мишень, а один раз промахнулся, равна:

Р= 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,3 ≈ 0,07

Ответ: 0,07

быть неисправен с вероятностью 0,07 независимо от другого автомата. Найдите

вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение.
Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата.
Эти события независимые, значит вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий: 0,07∙0,07 = 0,0049.
Значит, вероятность того, что исправны оба автомата или какой-то из них будет равна 1 – 0,0049 = 0,9951. 

числа благоприятных для события исходов испытания к числу всех равновероятных

исходов.
2. это отношение числа неблагоприятных для события исходов испытания к числу всех равновероятных исходов.
3. это отношение числа всех исходов испытания к числу благоприятных для события исходов.
4. это отношение числа всех исходов испытания к числу неблагоприятных для события исходов

что выпал "орел":
2
0,5
1
0,2 
0,1

= {взошло семечко}. Чему равна вероятность события А?
0,85
85
  100/85
185

бракованные. Событие В = {наугад из коробки достали бракованную деталь} Чему

равна вероятность события В?
500/7
7/500
3500 

350

10 - не кондиция.  Событие С = {наугад достали хорошую лампочку}.  Найти

вероятность события С:  0,1
90
9
0,9

из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Коля

вы­би­ра­ет трех­знач­ное число. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что оно де­лит­ся на 5.
Телевизор у Маши сло­мал­ся и по­ка­зы­ва­ет толь­ко один слу­чай­ный канал. Маша вклю­ча­ет телевизор. В это время по трем ка­на­лам из два­дца­ти по­ка­зы­ва­ют кинокомедии. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Маша по­па­дет на канал, где ко­ме­дия не идет.
На та­рел­ке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с ка­пу­стой и 3 с вишней. На­та­ша на­у­гад вы­би­ра­ет один пирожок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с вишней.
В каж­дой де­ся­той банке кофе со­глас­но усло­ви­ям акции есть приз. Призы рас­пре­де­ле­ны по бан­кам случайно. Варя по­ку­па­ет банку кофе в на­деж­де вы­иг­рать приз. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Варя не най­дет приз в своей банке.
В чем­пи­о­на­те по фут­бо­лу участ­ву­ют 16 команд, ко­то­рые же­ре­бьев­кой рас­пре­де­ля­ют­ся на 4 группы: A, B, C и D. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Рос­сии не по­па­да­ет в груп­пу A?
Опре­де­ли­те ве­ро­ят­ность того, что при бро­са­нии ку­би­ка вы­па­ло число очков, не боль­шее 3.
Стре­лок 4 раза стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,5. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что стре­лок пер­вые 3 раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ний раз про­мах­нул­ся.
Известно, что в не­ко­то­ром регионе ве­ро­ят­ность того, что ро­див­ший­ся младенец ока­жет­ся мальчиком, равна 0,486. В 2011 г. в этом ре­ги­о­не на 1000 ро­див­ших­ся младенцев в сред­нем пришлось 522 девочки. На­сколь­ко частота рож­де­ния девочки в 2011 г. в этом ре­ги­о­не отличается от ве­ро­ят­но­сти этого события?
В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что орел вы­па­дет ровно 1 раз.