Теория вероятностей

Содержание

1. Теория вероятностей
2. Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая
3. СодержаниеВероятность случайного событияКлассическое определениеСтатистическое определение вероятностиГеометрическое определение
4. Статистическое определение вероятностиПусть проводилось N испытаний, в
5. ЗамечаниеНа практике в качестве количественной оценки вероятности
6. Геометрическое определение вероятностиПусть, например, плоская фигура
7. Геометрическое определение вероятностиПолагая, что вероятность события
8. Геометрическое определение вероятностиГеометрической вероятностью события А
9. Аксиоматическое определение вероятностиНаиболее корректным с точки
10. Действия над событиями. Суммой или объединением двух
11. СледствияСледствие 1. Если события А, В, С
12. © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на
13. © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на
14. Действия над событиями. Произведением или пересечением событий
15. Основные теоремы теории вероятностейТеорема (умножения вероятностей) P(AB)=P(A)∙P(B/А)
16. © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на
17. Основные теоремы теории вероятностейТеорема (сложения вероятностей для
18. © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на
19. Скачать презентанцию

Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002 .Тимошина И.Р. Электронный конспект

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Теория вероятностей
Лекции по математике

Слайд 2Рекомендуемая литература
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:

Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 .
Гмурман В.Е. Теория вероятностей

и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002 .
Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по теории вероятностей. ВФ СПбГУСЭ, 2007.

Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман

Слайд 3Содержание
Вероятность случайного события
Классическое определение
Статистическое определение вероятности
Геометрическое определение вероятности
Действия над событиями.

Основные теоремы теории вероятностей
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

СодержаниеВероятность случайного событияКлассическое определениеСтатистическое определение вероятностиГеометрическое определение вероятностиДействия над событиями. Основные теоремы теории вероятностей© И.Р.Тимошина «Множества.

Слайд 4Статистическое определение вероятности
Пусть проводилось N испытаний, в результате которых интересующее

нас событие А произошло M раз.
Статистической вероятностью события А

называется предел отношения M / N, если N стремится к бесконечности.

Статистическое определение вероятностиПусть проводилось N испытаний, в результате которых интересующее нас событие А произошло M раз. Статистической

Слайд 5Замечание
На практике в качестве количественной оценки вероятности используют отношение M

/ N, в котором число проведённых испытаний N достаточно велико.

ЗамечаниеНа практике в качестве количественной оценки вероятности используют отношение M / N, в котором число проведённых

Слайд 6Геометрическое определение вероятности
Пусть, например, плоская фигура A составляет часть плоской

фигуры B. На фигуру B наугад бросается точка. Все точки

области B «равноправны» в отношении попадания туда брошенной случайной точки. Пусть случайное событие– это попадание точки в область A.
Отметим, что классический подход к определению вероятности данного события не подходит, т.к. количество возможных исходов и количество благоприятных исходов бесконечное.

Геометрическое определение вероятностиПусть, например, плоская фигура A составляет часть плоской фигуры B. На фигуру B наугад

Слайд 7Геометрическое определение вероятности
Полагая, что вероятность события А пропорциональна площади SA

области A, получим:
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Геометрическое определение вероятностиПолагая, что вероятность события А пропорциональна площади SA области A, получим: © И.Р.Тимошина

Слайд 8Геометрическое определение вероятности
Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области,

благоприятствующей этому событию, к мере всей области.
Замечание. Отметим, что случайное

событие – попадание в заданную точку области B, имеет вероятность, равную нулю.

Геометрическое определение вероятностиГеометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей этому событию, к мере всей

Слайд 9Аксиоматическое определение вероятности
Наиболее корректным с точки зрения математики является аксиоматическое

определение вероятности, основанное на теоретико-множественном подходе.
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Аксиоматическое определение вероятностиНаиболее корректным с точки зрения математики является аксиоматическое определение вероятности, основанное на теоретико-множественном подходе.©

Слайд 10Действия над событиями.
Суммой или объединением двух событий А и

В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного

из них. Обозначается: С=А+В.
Теорема (о вероятности суммы событий).
Если события A и B несовместны, то P(A+B)=P(A)+P(B)

Действия над событиями. Суммой или объединением двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении

Слайд 11Следствия
Следствие 1. Если события А, В, С образуют полную группу,

то сумма их вероятностей равна 1.
Следствие 2. Сумма вероятностей двух

противоположных событий А и Ā равна 1.

СледствияСледствие 1. Если события А, В, С образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1.Следствие 2.

Слайд 12© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Вопрос на засыпку
Пример. Пусть вероятность того,

что в магазине очередной будет продана пара мужской обуви 44-го

размера, равна 0.12, 45-го  0.04, 46-го или большего  0.01. Найти вероятность того, что очередной будет продана пара мужской обуви не менее 44-го размера.

Решение. Искомое событие D произойдет, если будет продана пара обуви 44-го размера (событие А), или 45-го (событие В), или не менее 46-го (событие С), то есть событие D есть сумма событий А, В, С. События А, В, С несовместны. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей, получим: P(D)=P(А)+P(В)+P(С)=0,17

© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на засыпкуПример. Пусть вероятность того, что в магазине очередной будет

Слайд 13© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Вопрос на засыпку
Пример. Сохраняя начальные

условия предыдущего примера найти вероятность того, что очередной будет продана

пара обуви меньше 44-го размера.

Решение. События «очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера» и «будет продана пара обуви размера не меньше 44-го» - противоположные. Поэтому вероятность искомого события P( )=10,17=0,83

© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на засыпкуПример. Сохраняя начальные условия предыдущего примера найти вероятность

Слайд 14Действия над событиями.
Произведением или пересечением событий А и В

называется событие С, состоящее в совместном наступлении этих событий, то

есть в наступлении и события А, и события В. Обозначается: С=АВ.
Вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, называется условной вероятностью события В. Обозначается: P(B/A) или PA(В).

Действия над событиями. Произведением или пересечением событий А и В называется событие С, состоящее в совместном наступлении

Слайд 15Основные теоремы теории вероятностей
Теорема (умножения вероятностей) P(AB)=P(A)∙P(B/А) или P(AB)=P(B)∙P (A/B) Вероятность произведения

двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность

другого, при условии, что первое событие произошло.
Следствие. Если события независимые, то P(AB)=P(A)∙P (B)

Основные теоремы теории вероятностейТеорема (умножения вероятностей) P(AB)=P(A)∙P(B/А) или P(AB)=P(B)∙P (A/B) Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности

карточках напечатаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9, 0. Найти вероятность того, что три наудачу взятые и поставленные в ряд карточки составят число 125.

Решение. Искомое событие D произойдет, если первой будет взята карточка с цифрой 1 (событие А), вторая - с цифрой 2 (событие В), третья - с цифрой 5 (событие С). Вероятность его по теореме умножения вероятностей для трех независимых событий:

© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на засыпкуПример. На десяти карточках напечатаны цифры 1, 2,

Слайд 17Основные теоремы теории вероятностей
Теорема (сложения вероятностей для случая, когда события

совместны).
Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна

сумме вероятностей этих событий, минус вероятность их совместного появления, то есть

Основные теоремы теории вероятностейТеорема (сложения вероятностей для случая, когда события совместны).Вероятность наступления хотя бы одного из двух

Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?
Решение. Событие А

- «появление герба при подбрасывании первой монеты», событие В - «появление герба при подбрасывании второй монеты». Так как А и В - совместные события, то

© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на засыпкуПример. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадения хотя

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Теория вероятностей

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Теория вероятностей
Лекции по математике

Слайд 2Рекомендуемая литература
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:

Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 .
Гмурман В.Е. Теория вероятностей

Основные теоремы теории вероятностей
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 4Статистическое определение вероятности
Пусть проводилось N испытаний, в результате которых интересующее

нас событие А произошло M раз.
Статистической вероятностью события А

Слайд 5Замечание
На практике в качестве количественной оценки вероятности используют отношение M

/ N, в котором число проведённых испытаний N достаточно велико.

Слайд 6Геометрическое определение вероятности
Пусть, например, плоская фигура A составляет часть плоской

фигуры B. На фигуру B наугад бросается точка. Все точки

Слайд 7Геометрическое определение вероятности
Полагая, что вероятность события А пропорциональна площади SA

области A, получим:
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 8Геометрическое определение вероятности
Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области,

благоприятствующей этому событию, к мере всей области.
Замечание. Отметим, что случайное

Слайд 9Аксиоматическое определение вероятности
Наиболее корректным с точки зрения математики является аксиоматическое

определение вероятности, основанное на теоретико-множественном подходе.
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 10Действия над событиями.
Суммой или объединением двух событий А и

В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного

Слайд 11Следствия
Следствие 1. Если события А, В, С образуют полную группу,

то сумма их вероятностей равна 1.
Следствие 2. Сумма вероятностей двух

Слайд 12© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Вопрос на засыпку
Пример. Пусть вероятность того,

что в магазине очередной будет продана пара мужской обуви 44-го

Слайд 13© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Вопрос на засыпку
Пример. Сохраняя начальные

условия предыдущего примера найти вероятность того, что очередной будет продана

Слайд 14Действия над событиями.
Произведением или пересечением событий А и В

называется событие С, состоящее в совместном наступлении этих событий, то

Слайд 15Основные теоремы теории вероятностей
Теорема (умножения вероятностей) P(AB)=P(A)∙P(B/А) или P(AB)=P(B)∙P (A/B) Вероятность произведения

двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность

Слайд 16© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Вопрос на засыпку
Пример. На десяти

карточках напечатаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

Слайд 17Основные теоремы теории вероятностей
Теорема (сложения вероятностей для случая, когда события

совместны).
Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна

Слайд 18© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Вопрос на засыпку
Пример. Подбрасываем две монеты.

Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?
Решение. Событие А

Обратная связь

Что такое TheSlide.ru?

Разделы презентаций

Теория вероятностей

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Теория вероятностейЛекции по математике

Слайд 2Рекомендуемая литератураКремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:

Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман В.Е. Теория вероятностей

Основные теоремы теории вероятностей© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 4Статистическое определение вероятностиПусть проводилось N испытаний, в результате которых интересующее

нас событие А произошло M раз. Статистической вероятностью события А

Слайд 5ЗамечаниеНа практике в качестве количественной оценки вероятности используют отношение M

/ N, в котором число проведённых испытаний N достаточно велико.

Слайд 6Геометрическое определение вероятностиПусть, например, плоская фигура A составляет часть плоской

фигуры B. На фигуру B наугад бросается точка. Все точки

Слайд 7Геометрическое определение вероятностиПолагая, что вероятность события А пропорциональна площади SA

области A, получим: © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 8Геометрическое определение вероятностиГеометрической вероятностью события А называется отношение меры области,

благоприятствующей этому событию, к мере всей области.Замечание. Отметим, что случайное

Слайд 9Аксиоматическое определение вероятностиНаиболее корректным с точки зрения математики является аксиоматическое

определение вероятности, основанное на теоретико-множественном подходе.© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 10Действия над событиями. Суммой или объединением двух событий А и

В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного

Слайд 11СледствияСледствие 1. Если события А, В, С образуют полную группу,

то сумма их вероятностей равна 1.Следствие 2. Сумма вероятностей двух

Слайд 12© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на засыпкуПример. Пусть вероятность того,

что в магазине очередной будет продана пара мужской обуви 44-го

Слайд 13© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на засыпкуПример. Сохраняя начальные

условия предыдущего примера найти вероятность того, что очередной будет продана

Слайд 14Действия над событиями. Произведением или пересечением событий А и В

называется событие С, состоящее в совместном наступлении этих событий, то

Слайд 15Основные теоремы теории вероятностейТеорема (умножения вероятностей) P(AB)=P(A)∙P(B/А) или P(AB)=P(B)∙P (A/B) Вероятность произведения

двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность

Слайд 16© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на засыпкуПример. На десяти

карточках напечатаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

Слайд 17Основные теоремы теории вероятностейТеорема (сложения вероятностей для случая, когда события

совместны).Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна

Слайд 18© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»Вопрос на засыпкуПример. Подбрасываем две монеты.

Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?Решение. Событие А

Похожие презентации

Обратная связь

Что такое TheSlide.ru?

Слайд 1Теория вероятностей
Лекции по математике

Слайд 2Рекомендуемая литература
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:

Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 .
Гмурман В.Е. Теория вероятностей

Основные теоремы теории вероятностей
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 4Статистическое определение вероятности
Пусть проводилось N испытаний, в результате которых интересующее

нас событие А произошло M раз.
Статистической вероятностью события А

Слайд 5Замечание
На практике в качестве количественной оценки вероятности используют отношение M

Слайд 6Геометрическое определение вероятности
Пусть, например, плоская фигура A составляет часть плоской

Слайд 7Геометрическое определение вероятности
Полагая, что вероятность события А пропорциональна площади SA

области A, получим:
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 8Геометрическое определение вероятности
Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области,

благоприятствующей этому событию, к мере всей области.
Замечание. Отметим, что случайное

Слайд 9Аксиоматическое определение вероятности
Наиболее корректным с точки зрения математики является аксиоматическое

определение вероятности, основанное на теоретико-множественном подходе.
© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»

Слайд 10Действия над событиями.
Суммой или объединением двух событий А и

Слайд 11Следствия
Следствие 1. Если события А, В, С образуют полную группу,

то сумма их вероятностей равна 1.
Следствие 2. Сумма вероятностей двух

Слайд 12© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Вопрос на засыпку
Пример. Пусть вероятность того,

Слайд 13© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Вопрос на засыпку
Пример. Сохраняя начальные

Слайд 14Действия над событиями.
Произведением или пересечением событий А и В

Слайд 15Основные теоремы теории вероятностей
Теорема (умножения вероятностей) P(AB)=P(A)∙P(B/А) или P(AB)=P(B)∙P (A/B) Вероятность произведения

Слайд 16© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Вопрос на засыпку
Пример. На десяти

Слайд 17Основные теоремы теории вероятностей
Теорема (сложения вероятностей для случая, когда события

совместны).
Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна

Слайд 18© И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции»
Вопрос на засыпку
Пример. Подбрасываем две монеты.

Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?
Решение. Событие А