Терема Котельникова

прежде всего, необходимо преобразовать его в дискретный сигнал. Взяв определенный

(56)

Проблема восстановления непрерывного (аналогового) сигнала по заданному дискретному сигналу решается теоремой отсчетов.
В отечественной литературе эта теорема известна как теорема Котельникова, а в зарубежной – как теорема Найквиста или теорема Шеннона.

Продолжение Лекции 5

полосы, т.е. S(f) = 0 при | f | >

(57)

при помощи формулы.

(58)

Введенная здесь частота F называется частотой Найквиста.

использованием формул (56, 57) получаем выражение для дискретного сигнала

на отрезке f ∈ [-F, F] , периодически продолжим (с

(61)

Здесь учтено, что на интервале [-F, F] спектр S(f) и спектр совпадают. Сравнивая поученную запись с выражением для s(kΔt) (60), видим, что

(62)

была совершена замена

в ней спектр S(f) на спектр

(64)

Меняя в последнем выражении порядок интегрирования и суммирования, имеем

(65)

справедливость формулы (66).

аналоговый сигнал, если его спектр ограничен условием

(67)
Отсюда,

(68)

Другими словами, при дискретизации аналогового сигнала частоту Найквиста надо

! Написать программу в пакете MATLAB для восстановления сигнала с помощью ряда Котельникова . Проведя интегрирование, доказать справедливость формулы (58).

размерности N.

(1)
Компоненты этих векторов могут

(2)

Лекция 6

(ДПФ). Иногда говорят, что вектор

(3)

Доказательство. Подставим ДПФ (2) в формулу (3)

(4)

скобках в формуле (5)

(6)
Сумма в формуле (6) является суммой

(7)

вычисления суммы (6).

(8)
В последнем выражении применяем формулу Эйлера для

выражении (9) n и m целые числа принимают следующие значения

Поэтому если n ≠ m , то синус в числителе равен нулю, а в знаменателе нет.

сумма в выражении (6) равна нулю.

(10)
Если

(11)

Объединяя формулы (10) и (11), мы видим что сумма (6) равна символу Кронекера

(12)

символа Кронекера, сворачивать сумму. В результате получаем

(13)
Итак, Теорема доказана.

(14)

Дискретное преобразование Фурье и пакет MATLAB

В пакете MATLAB имеются средства для вычисления дискретного преобразования Фурье. Преобразование ДПФ, например, выполняет функция fft(x) . Вызов этой функции осуществляется следующим образом.

X = fft(x);

ДПФ для заданного вектора x , компоненты которого убывают по

N = 32;
n = 1 : N;
x = exp(-0.1*n);
X = fft(x);

stem(x);
stem(abs(X));
stem(angle(X));

На рисунках показан результат работы программы.

. Видно, что компоненты этого вектора убывают по экспоненциальному закону.

то на втором рисунке выводится абсолютные значения его компонентов (аналог

(аналог ФЧХ).

. Вызов этой функции осуществляется следующим образом.
x = ifft(X);

(15)

которые часто используются в приложениях. Сначала несколько слов об обозначениях.

то говорят, что эта последовательность имеет длину N . Также называют N - периодом последовательности. Кроме того, часто вектор x называют вектором-сигналом, а вектор ДПФ X называют вектором-спектром.

имеет в качестве ДПФ вектор X , то выполняются следующие

(16)

!Доказать самим соотношения (16).

и мнимых частей компонент вектора X .

(17)
! Доказать самим

! Доказать самим соотношения (18).

умножение компонент вектора-сигнала на фазовый множитель.

(19)
Доказательство. Запишем ДПФ для

(20)

компоненты вектора x с помощью условия (19.)

(21)
В сумме

выражении (22) является ДПФ для векторов .

Свойство доказано.

на m позиций компонент вектора-сигнала, соответствует умножение компонент вектора-сигнала на

(23)

! Доказать самим соотношения (23).

на m позиций компонент вектора-сигнала, соответствует умножение компонент вектора-сигнала на

(24)

! Доказать самим соотношения (24).

сдвигов. При любом циклическом сдвиге амплитуда компонентов ДПФ не меняется.

Доказательство. Используем результаты циклических сдвигов, отмеченные в формулах (19), (23), (24). Объединим эти результаты в виде формулы.

(25)

(26) учтено, модуль фазового множителя равен единице. Действительно по определению

Следствие доказано.

(27)

5. ДПФ свертки векторов. Вектор являющийся сверткой двух других векторов имеет ДПФ равный произведению ДПФ исходных векторов.

(28)

период 2N .

Выпишем ДПФ для этих векторов.

(29)

(28), (29), (30).

(31)

в скобках (31) сделаем замену индексов

В результате получи выражение:

(32)

отличны от нуля только для следующих значений индексов l.

(33)

для l

(34)

преобразование Фурье и спектр сигналов
Рассмотрим, какую роль играет

(35)

отсчеты дискретного сигнала. Предположим, что дискретный

Другими словами для n < 0 или для n > N – 1 можно считать . Поэтому ряд (35) заменяется конечной суммой.

(36)

с периодом 2F . На периоде [0, 2F] выберем N

(37)

В формуле (37) величина Δf называется шагом частотной дискретизации. Подставим дискретные значения частоты (37) в формулу спектра (36). В результате получим.

(38)

является ДПФ для последовательности .


(39)
Сравнивая формулы

(40)

дискретного сигнала

то связь (40) можно изобразить в виде.

(41)

спектром непрерывных сигналов. Спектр непрерывного сигнала определяется преобразованием Фурье.

(44)

равен интегралу с конечными пределами.

(45)
Проведем дискретизацию сигнала с шагом

где N для удобства четное число. Отсчеты сигнала берем в дискретные моменты времени

через частоту Найквиста

Тогда формула (46) примет вид

(47)

дискретного сигнала. Мы видим, что формулы очень похожи.

(48)

В формуле (47) нумерация другая.

(49)

частоты f > 0 ,так и для отрицательных значений частоты

(50)

Подставляем дискретные частоты (50) в формулу (47) и получаем:

(51)

сделаем замену индексов.

В результате формула (51) примет вид

(52)

по правилу.

(53)


В этом

(54)

Сумма в (54) внешне похожа на ДПФ для последовательности Выпишем эту сумму.

приведенного в формуле (2), состоит в следующем. В настоящем ДПФ

(56)

В сумме (55) индекс k принимает другие значения.

(57)

правую часть этого интервала

(58)
Интервал (58) содержится в

(59)

Итак, для интервала (58) получаем связь между спектром и ДПФ

(60)

спектра.

Теперь рассмотрим левую часть интервала (57)

(61)
Сделаем замену

(62)

сумма в (63) является ДПФ, так как интервал изменения индекса

(64)

интервала (61) получаем связь между спектром и ДПФ

(65)

! Доказать самим соотношение (65).

Итак формулы (60) и (65) устанавливают связь между дискретным спектром финитного непрерывного сигнала и ДПФ.