Уравнение Ньютона для неинерциальных систем отсчета

в инерциальной системе отсчета. А как описать движение тела в

неинерциальной системе?
Рассмотрим пример: вы стоите в троллейбусе спокойно. Вдруг троллейбус резко трогается, и вы невольно отклонитесь назад. Что произошло? Кто вас толкнул?

в тот момент, когда троллейбус тронулся, вы остались стоять на

месте – в соответствии с первым законом Ньютона.
С точки зрения сидящего в троллейбусе – вы начали двигаться назад, как если бы кто-нибудь вас толкнул. На самом деле, никто не толкнул, просто ваши ноги, связанные силами трения с троллейбусом «поехали» вперед из-под вас и вам пришлось падать назад.
Можно описать ваше движение в инерционной системе отсчета. Но это не всегда просто, так как обязательно нужно вводить силы, действующие со стороны связей.

– нет единого подхода к их описанию.
Можно и в неинерциальной

системе воспользоваться законами Ньютона, если ввести силы инерции. Они фиктивны. Нет тела или поля под действием которого вы начали двигаться в троллейбусе. Силы инерции вводят специально, чтобы воспользоваться уравнениями Ньютона в неинерциальной системе.
Силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а свойствами самих неинерциальных систем отсчета. На силы инерции законы Ньютона не распространяются.

системы отсчета.

Введем обозначения:
– ускорение тела относительно неинерциальной

системы;
– ускорение неинерциальной системы относительно инерциальной (относительно Земли).
Тогда ускорение тела относительно инерциальной системы:

(4.5.1)

m – масса движущегося тела, или

Мы можем и

представить в соответствии с законом Ньютона (формально)

сторону, противоположную ускорению неинерциальной системы.


тогда получим

– уравнение Ньютона для

неинерциальной системы отсчета.

Здесь – фиктивная сила, обусловленная свойствами системы отсчета, необходимая нам для того, чтобы иметь возможность описывать движения тел в неинерциальных системах отсчета с помощью уравнений Ньютона.

ней кронштейном, к которому подвешен на нити шарик (рис.1). Пока

тележка покоится или движется без ускорения, нить расположена вертикально и сила тяжести Р уравновешивается реакцией нити Fr. Теперь приведем тележку в поступательное движение с ускорением а. Нить отклонится от вертикали на такой угол, чтобы результирующая сил Р и Fr сообщала шарику ускорение, равное а. Относительно системы отсчета, связанной с тележкой, шарик покоится, несмотря на то, что результирующая сил Р и Fr отлична от нуля. Отсутствие ускорения шарика по отношению к этой системе отсчета можно формально объяснить тем, что, кроме сил Р и Fr равных в сумме та, на шарик действует еще и сила инерции Fin = -та.

Рис.1

Рис.2

этому свойству силы инерции оказываются аналогичными силам тяготения. Представим себе,

что мы находимся в удаленной от всех внешних тел закрытой кабине, которая движется с ускорением g в направлении, которое мы назовем «верхом» (рис. 2). Тогда все тела, находящиеся внутри кабины, будут вести себя так, как если бы на них действовала сила инерции — mg. В частности, пружина, к концу которой подвешено тело массы т, растянется так, чтобы упругая сила уравновесила силу инерции — mg. Однако такие же явления наблюдались бы и в том случае, если бы кабина была неподвижной и находилась вблизи поверхности Земли. Не имея возможности «выглянуть» за пределы кабины, никакими опытами, проводимыми внутри кабины мы не смогли бы установить, чем обусловлена сила — mg — ускоренным движением кабины или действием гравитационного поля Земли. На этом основании говорят об эквивалентности сил инерции и тяготения. Эта эквивалентность лежит в основе общей теории относительности Эйнштейна.

другую. Они не подчиняются закону действия и противодействия. Движения тела

под действием сил инерции аналогично движению во внешнем силовом поле. Силы инерции всегда являются внешними по отношению к любому движению системы материальных тел.

был бы двигаться прямолинейно по касательной к окружности. Однако он

связан с осью вращения веревкой. Веревка растягивается, появляется упругая сила, действующая на камень, направленная вдоль веревки к центру вращения. Это и есть центростремительная сила (при вращении Земли вокруг оси в качестве центростремительной силы выступает сила гравитации).

Рис.4.8

веревку, т.е. это сила, приложенная к телу – сила инерции

второго рода.
Сила, приложенная к связи и направленная по радиусу от центра, называется центробежной.
Т.о. центростремительная сила приложена к вращающему телу, а центробежная сила – к связи.
Центробежная сила – сила инерции первого рода.

υ – линейная), то
(4.5.4)

скорость вращения Земли. Сила тяжести есть результат сложения
и
g

(а значит и mg) зависят от широты местности

g = 9,80665 м/с2 – ускорение свободного падения тела. Направлено g к центру только на полюсе и на экваторе.

что
ρ
где ρ – радиус окружности, по которой движется частица вместе

с Землей, получим

Введем обозначение

Таким образом вес тела массой m

где gR – ускорение свободного падения на широте, на которой расположена частица

P

кроме центростремительной и центробежной сил, появляется еще одна сила, называемая

силой Кориолиса или кориолисовой силой инерции (Г. Кориолис (1792 – 1843) – французский физик).

Рис. 5

расположенный диск, который может вращаться вокруг вертикальной оси. Прочертим на

диске радиальную прямую OA (рис. 5). Запустим в направлении от О к А шарик со скоростью v'. Если диск не вращается, шарик будет катиться вдоль прочерченной нами прямой. Если же диск привести во вращение в направлении, указанном стрелкой, то шарик будет катиться по изображенной пунктиром кривой ОВ, причем его скорость относительно диска v' будет изменять свое направление. Следовательно, по отношению к вращающейся системе отсчета шарик ведет себя так, как если бы на него действовала сила FK, перпендикулярная к скорости v'.

Рис. 5

а

б

нужно сделать направляющую, например, в виде ребра OA (рис. 5,

б). При качении шарика направляющее ребро действует на него с некоторой силой Fr. Относительно вращающейся системы (диска) шарик движется с постоянной по направлению скоростью. Это можно формально объяснить тем, что сила Fr уравновешивается приложенной к шарику силой инерции FК, перпендикулярной к скорости v'. Сила FK и есть кориолисова сила инерции.

Найдем сначала выражение силы Кориолиса для частного случая, когда частица т движется относительно вращающейся системы отсчета равномерно по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, с центром, находящимся на этой оси (рис. 6). Скорость частицы относительно вращающейся системы обозначим v'. Скорость "частицы относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета v равна по величине υ'+aR в случае (а) и \υ'—mR\ в случае (б), где ω — угловая скорость вращающейся системы, R — радиус окружности.

со скоростью υ=υ'+ωR, на нее должна действовать направленная к центру

окружности сила F, например, сила натяжения нити, которой частица привязана к центру окружности (см. рис. 6, а). Величина этой силы равна

Рис. 6

а

б

Относительно вращающейся системы частица в этом случае движется с ускорением т. е. так, как если бы на нее действовала сила

если бы на нее, кроме направленной к центру окружности силы

F, действовали еще две направленные от центра силы: Fцб = и FK, модуль которой равен (рис. 6, а). Легко сообразить, что силу FK можно представить в виде

Эта сила и есть кориолисова сила инерции. При = 0 эта сила отсутствует. Сила Fцб не зависит от v' — она, как мы уже отмечали, действует как на покоящиеся, так и на движущиеся тела. В случае, изображенном на рис. 6, б



Соответственно

бы на нее действовали две "направленные к центру окружности силы:

F и FК, а также направленная от центра сила Fцб = = (см. рис. 6, б). Сила Fr и в этом случае может быть представлена в виде векторного выражения.

берег в севером полушарии и левый – в южном. Эти

же причины объясняют неодинаковый износ рельсов железнодорожных путей.

Сила Кориолиса, действует на тело, движущееся вдоль меридиана в северном полушарии вправо и в южном – влево.

простоты предположим, что маятник расположен на полюсе:

Рис. 4.12

отсчета примет вид:

(4.5.7)
– сила инерции, обусловленная поступательным движением неинерциальной

системы отсчета;

– две силы инерции, обусловленные вращательным движением системы отсчета;

– ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчета.