В помощь дорогому студенту. Проверь себя

Проверь себя.

(x), и касательная к нему в точке с абсциссой х0.

Найдите значение
производной функции y = f (x) в точке х0.

Решение.

Ответ: - 0,75 .

А

В

С

А

В

С

Ответ: - 3 .

a)

б)

(x),
определенной на интервале (a;b). Определите количество целых
точек,

в которых производная функции положительна.

a)

б)

Решите самостоятельно!

Решение.

Целые решения при :
х=-2; х=-1; х=5; х=6.
Их количество равно 4.

Целые решения при :
х=2; х=3; х=4; х=10; х=11.
Их количество равно 5.

Ответ: 4.

Ответ: 5.

(x),
определенной на интервале (a; b). Найдите количество точек, в
которых

производная функции y = f (x) равна 0.

Решите устно!

Ответ: 7.

Ответ: 7.

Ответ: 8.

Ответ: 6.

1

3

4

2

(x),
определенной на интервале (a; b). Найдите количество точек, в
которых

касательная к графику функции параллельна прямой у = с.

1

3

4

2

Решите устно!

Ответ: 4.

Ответ: 9.

Ответ: 8.

Ответ: 9.

определенной на интервале (a; b). Найдите точку экстремума функции f

(x) .

Решите устно!

1

3

4

2

Видно, что таких точек на отрезке [-2; 7] три: —1,5;

4,5; 6,5. При этом в точке 4,5 производная слева отрицательна, а справа положительна, значит, это точка минимума. В точках -1,5 и 6,5 производная меняет знак с «+» на «—» это точки максимума.

Решение.

Ответ: 1 .

4,5

-

+

Задача 7.1. На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-3; 8). Найдите количество точек минимума функции y = f (x) на отрезке [-2; 7].

= f (x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки

возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

В этой задаче необходимо сначала найти промежутки возрастания функции, т.е. промежутки на которых f´(x) > 0.

Решение.

В нашем случае их три: (-11; -10), (-7; -1) и (2; 3), наибольшую длину из них, очевидно, имеет промежуток (-7; -1), его длина равна:
-1-(-7) = 6.

Ответ: 6 .

-10

-7

-1

2

6

на интервале (x1; x2). Найдите количество точек, в которых касательная

к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x + 7 или совпадает с ней.

1

Решение.

Ответ: 3 .

Касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x+7 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен -2.

Найдем количество точек, в которых f´(x)= -2.

Решение.

Поступим аналогично, найдем количество точек, в которых f´(x)= -2.

Ответ: 4 .

y = -2

y = -2

2

по рисунку с изображенным графиком функции y=f(x) и касательной к

нему в точке с абсциссой х0

на [-5;11]. Определите количество целых значений x, в которых f′(x)

< 0

1

0

-5

5

7

11

[а;b]. Найдите количество точек, в которых f′(x) =0

[-5;-3)U(-3;11]. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции

параллельна прямой у=С.

на (а;b). Найдите количество точек максимума.

изображен график ее производной. Укажите длину наибольшего из промежутков возрастания

функции.

к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите

значение производной функции f(x) в точке х0.

на (а;b). Найдите количество точек минимума.

y = ln(x+5)5 – 5x на отрезке [-4,5;

0]

max

Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума.
Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.

y = 5ln(x+5) – 5x

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

3. Вычислить значения функции в критических точках
и на концах отрезка.

4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее.

0

Можно рассуждать иначе

Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде

1.

Ответ: 20

на отрезке [-3π/;0]
Функция на всей области определения возрастает. Нетрудно догадаться,

что у / > 0.
Тогда наибольшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0.

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наибольшее.

0

2.

Ответ: 5

имеют те методы науки, которые позволяют решать практические задачи».
С такими

задачами в наше время приходится иметь дело
представителям самых разных специальностей:
1) инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции;
2) конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей;
3) экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными и т.д.

Задачи подобного рода носят общее название – задачи
на оптимизацию.

Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?
a=x

м

b=(100-X) м

Дано: Прямоугольник Р=200м
S=Sнаиб
Найти: а, b

Решение: Пусть a = x м, тогда b= (100-x) м
S=a*b S=x(x-100) S=x2-100x

Найдем, при каких значениях х, функция S=S(х) = x2-100x принимает
наибольшее значение при х принадлежащем [0;100]

S´=2x-100

max

2x-100 >0

X=50 – точка максимума

Т.О. a=50м b=50м Значит, искомый прямоугольник – квадрат