Важные теоремы о непрерывных функциях

экономистов»,
Красс, Чупрынов, стр.

функция f(x), то для любого числа M, такого что f(a)≤M≤f(b)

найдется число СЄ[a,b] , такое что f(C)=M
Если функция задана и непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке (теорема Вейерштрасса)
Если функция задана и непрерывна на отрезке [a,b], то она принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значение (теорема Вейерштрасса 2)

ней существует производная функции,
то есть правая и левая производные

функции в этой точке равны

Пример недифференцируемой функции: |x| в точке x=0

Гладкая функция – имеет непрерывную производную
на всей области определения

х - количество продукции, тогда Δx- прирост продукции, а Δy

- приращение издержек производства.

В этом случае производная

выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство


дополнительной единицы продукции,где MC – предельные издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q - количество.

— это дополнительный доход (не прибыль!!!), полученный при переходе от

производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта.
Она представляет собой первую производную от выручки:


При этом R= PQ, где R–выручка (revenue); P–цена (price).

Таким образом , ⇒ MR= P.

Предельная выручка

графику функции
Упражнение: построить
касательную и нормаль к у=5x2
в точке

(1,5)

касательная

нормаль

y1=k1x+b1, y2=k2x+b2
Условие перпендикулярности:
k1k2=-1

угодно близко приближается к графику касательной


дифференциал функции df – это приращение ординаты

касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx

точке x0, причем 
Пусть в окрестности точки t0 определены функции x (t) и y (t), причем x (t) непрерывна и строго

монотонна. Пусть в этой окрестности существуют производные                 и          

Тогда сложная функция y = y (t (x)), где t (x) – функция, обратная x (t), дифференцируема по x, причем 

x + (3x3 -2x+1)cos x.
y=ln sin x.
y' = (ln

u)' u (sin x)' x = 

Упражнение: Вычислить производную y=ln 

Ответ:

                                                                                                                                                                                                                  .

точке этой функции мы ставим в соответствие некоторое число –

ее производную в данной точке. Таким образом, производная функции также является функцией.
Если функция   дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f и обозначают  : 

Аналогичным образом задаются производные высших порядков. Если функция 
f (n–1) дифференцируема, то ее производную называют производной n-го порядка f (n) функции f.
Важным применением второй производной является анализ выпуклости функции

х непрерывную производную, то и сама функция в этой точке

непрерывна
Если функция f(x) непрерывна на отрезке (a;b), и в точке x0 Є (a;b) принимает свое наибольшее (или наименьшее) значение,то f`(x0)=0 (теорема Ферма)
Если функция f(x) задана на отрезке [a;b], непрерывна на нем, дифференцируема на (a;b), и f(a)= f(b), то существует (.) С Є (a;b), такая что f`(С)=0. (теорема Ролля)

дифференцируема на (a;b), и f`(x)≥0 (f`(x)≤0) на (a;b), то f(x)

возрастает (убывает) на (a;b).
Точки x, такие что f`(x)=0 – точки, подозрительные на экстремум (выполнено необходимое условие экстремума)
Достаточное условие экстремума: f`(x) в точке x0 меняет знак или f ``(x0)=0

отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x1 и x2 из этого отрезка 

Другими словами, если для любых точек x1 и x2 отрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх
Сформулируйте определение функции, выпуклой вниз
Точка, в которой меняется выпуклость функции, называется точкой перегиба

меняет знак
Достаточное условие: f(x) любая, f ``(x0)=0 и f ```(x0)=0

Это не точки перегиба!!!!

X=0 точка возврата

X=0 угловая точка

X=0 точка разрыва 2 рода

функции точки разрыва? Какого рода?
Выяснить, является ли функция четной f(-x) = f(x)?

Нечетной f(-x) = - f(x)?
Выяснить, является ли функция периодической.
Найти точку пересечения графика функции с осью ординат.
Найти нули функции и промежутки знакопостоянства.
Вычислить 1 производную функции   и определить точки, в которых могут существовать экстремумы.
Найти промежутки монотонности функции.
Определить экстремумы функции.
Вычислить вторую производную  и, если необходимо, третью.
Определить точки перегиба.
Найти промежутки выпуклости функции.
Найти асимптоты графика.
Построить эскиз графика функции.

точка графика неограниченно удаляется от начала координат. Асимптоты могут быть

горизонтальными, вертикальными и наклонными

Если уравнение функции можно представить в виде
f(x) = kx + b + A , где А -> 0 при x стремящемся к бесконечности,
то f(x) имеет наклонную асимптоту при x стремящемся
к бесконечности

малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их

производных , если он существует


Примеры

Контрпример

предельным издержкам

на промежутке X, если для любого х е X функция

F(x) дифференцируема и выполняется равенство F‘(x) =f(x).
Совокупность всех первообразных функций дляфункции f ix) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции fix) на этом промежутке и обозначается символом