Векторная алгебра

направлением)

определенную длину и направление.





Определение 2.
Модулем вектора (длиной

вектора) называется длина отрезка :

А

В

Обозначения:

конец совпадают.

Определение 3.
Коллинеарными называются векторы, если они

лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Определение 4.
Углом между векторами
называется наименьший угол,
на который надо повернуть
один из векторов, чтобы их
направления совпали.

Обозначение:

они коллинеарные, имеют одинаковую длину

и одинаковое направление.





Следствие.
При параллельном переносе получаются равные векторы.

они коллинеарные, имеют одинаковую длину
и

противоположное направление.



Определение 7.
Компланарными называются векторы,
если они лежат в одной плоскости или
на параллельных плоскостях.

Замечание. Два вектора всегда компланарны.

начало второго вектора совпадает с концом первого.

Тогда вектор, соединяющий начало первого вектора
с концом второго, называется суммой этих векторов.

начала первого и второго векторов совпадают.
Построим на

этих векторах параллелограмм.
Тогда вектор, совпадающий с диагональю, проходящей
через общее начало, называется суммой этих векторов.

называется

такой вектор ,что сумма
Определение 2.
Пусть начала первого и второго векторов
совпадают.
Тогда разностью векторов называется
вектор, соединяющий их концы
и направленный из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.

на число называется

вектор ,
коллинеарный вектору ,
равный по модулю ,
направленный при в ту же сторону, что и ,
и в противоположную сторону, если .

. Построить векторы
Построение :





Теорема.
Пусть

. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда,
когда найдется такая постоянная , что

называется вектор ,

имеющий единичную длину и то же направление,
что и вектор .

любой вектор можно разложить по ортонормированному базису

:
Такое разложение единственное.

Векторы -единичные (орты),
направленные по осям x, y, z (соответственно)

Определение 2.
Тройка векторов называется
ортонормированным базисом
в пространстве.

называются прямоугольными координатами
вектора

:

Частный случай.
Если вектор расположен на координатной плоскости хоy,
то разложение будет иметь вид
Коэффициенты х, у называются прямоугольными координатами
вектора на плоскости :

и ось





Определение.
Проекцией вектора

на ось называется
разность проекций конца и начала вектора на эту ось;

0

задан двумя точками,

- начало, - конец,
то

произведение вектора на число.
Пусть

Тогда
1.
2.
Модуль вектора


Орт вектора

векторов, заданных в координатной форме.
Два

ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда
соответствующие координаты пропорциональны.

Пусть

Тогда


Доказательство.

называется число, равное произведению модулей векторов
на косинус

угла между ними.



Физический смысл.

Пусть материальная точка
под действием силы
перемещается из положения
в положение Работа силы по перемещению материальной точки равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Обозначения :

3.
4.
Следствия из формулы 4 :

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.
7.

Необходимое и достаточное условие
перпендикулярности векторов.
Два ненулевых вектора перпендикулярны
тогда и только тогда, когда
их скалярное произведение равно нулю:

Определение
перпендикулярных векторов:

90°

Пусть
Тогда

Скалярное произведение векторов равно
сумме произведений соответствующих координат.

Условие перпендикулярности векторов
в координатной форме :

Рассмотрим три упорядоченных
некомпланарных вектора
Определение 1.
Упорядоченная тройка векторов
имеет правую ориентацию, когда
смотришь с конца третьего вектора и
кратчайший поворот от первого вектора
ко второму происходит против часовой
стрелки.

:
Изменится ориентация тройки.
Определение 2.
Упорядоченная тройка векторов
имеет левую ориентацию, когда
смотришь

с конца третьего вектора и
кратчайший поворот от первого вектора
ко второму происходит по часовой стрелке.

Пример.
Тройка векторов
имеет правую ориентацию.

Система координат х, у, z
имеет правую ориентацию.

называется третий вектор

,
удовлетворяющий трем условиям :
1.
2.
3. Тройка векторов
имеет правую ориентацию.

Обозначения :

Пусть к твердому телу,
закрепленному в точке А, приложена в точке В сила

Момент силы , приложенной
в точке В, относительно точки А
равен векторному произведению
вектора и силы :

А

В

4. Геометрический смысл .

Модуль векторного произведения двух векторов
численно равен площади параллелограмма,
построенного на этих векторах:

коллинеарности двух векторов.
Два ненулевых вектора

коллинеарны
тогда и только тогда, когда их векторное
произведение равно нулевому вектору:



6.

Пусть
Тогда

называется векторное произведение первых двух
векторов, умноженное скалярно

на третий вектор:




Обозначения:

Замечание.
Результат смешанного произведения трех векторов
является скалярной величиной.

произведения трех векторов
равен объему параллелепипеда,

построенного
на этих векторах :



Знак смешанного произведения определяет
ориентацию тройки векторов :
если , то тройка имеет правую ориентацию;
если , то тройка имеет левую ориентацию.

компланарности трех векторов.
Три

ненулевых вектора компланарны
тогда и только тогда, когда смешанное
произведение этих векторов равно нулю.

Смешанное произведение векторов,
заданных в координатной форме.
Пусть

Тогда